基于模擬退火算法的水資源規(guī)劃問(wèn)題

翟庭鈺　曾鈺潔　王森正

摘 要：中國(guó)是目前世界上國(guó)土面積靠前的國(guó)家之一，而地勢(shì)的不均衡故而導(dǎo)致了我們國(guó)家的水資源不均勻。東部沿海城市不缺水源，然而在中國(guó)的西南片區(qū)，由于身居內(nèi)陸，降水不足，使人民的生活質(zhì)量大幅度降低，故采用合適的方法解決西南地區(qū)的水資源不足的問(wèn)題是我們國(guó)家當(dāng)前的重要問(wèn)題。參考《抗旱方案制定》數(shù)學(xué)建模題目，建立隨機(jī)因子選擇模型，為問(wèn)題的求解提供一種新的解決思路。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)因子選擇;模擬退火;高斯逼近;遍歷迭代

中圖分類(lèi)號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.03.091

1 問(wèn)題分析

通過(guò)計(jì)算，只打井或者鋪設(shè)管道均無(wú)法滿足村莊5年內(nèi)的用數(shù)量需求，所以我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化并且確定了限制條件，采取既進(jìn)行打井又鋪設(shè)管道的方案。根據(jù)題目要求，村莊只有前三年每年能夠得到60萬(wàn)的補(bǔ)助，而管道從開(kāi)工的完成總共需要三年的時(shí)間，所以為了盡快獲得管道輸水，管道的建設(shè)要從第一年開(kāi)始建設(shè)才能夠降低成本。

同時(shí)，由于管道建設(shè)長(zhǎng)度總長(zhǎng)度不變?yōu)長(zhǎng)=20km，則可以把修管道所投入的錢(qián)看作定值P=13.2Q0.51，根據(jù)每年村莊所得撥款為60萬(wàn)元，所以前三年打井所花費(fèi)的錢(qián)共計(jì)應(yīng)小于（180-P）萬(wàn)元，最后兩年則只需要使5年總費(fèi)用小于180萬(wàn)元即可，故我們根據(jù)以上條件建立了多因子回歸迭代分析模型。

2 添加約束條件

我們著手問(wèn)題本身，首先對(duì)問(wèn)題要求進(jìn)行簡(jiǎn)化并確定限制條件，題中要求5年總成本最小且均滿足村莊的需求，并且要前三年將輸水管道修好，管道的長(zhǎng)度為20公里，所以我們可以認(rèn)為，三年內(nèi)修管道的錢(qián)將會(huì)是一個(gè)定值：

P=0.66Q0.51×20（1）

其中Q為管道輸水量，P為打管道所需的費(fèi)用。

通過(guò)對(duì)題目的分析以及上述模型的準(zhǔn)備，我們?cè)诳紤]修水井問(wèn)題的時(shí)候可以暫且拋開(kāi)管道費(fèi)用問(wèn)題，只需要確定最優(yōu)的打井方案，并保證五年總金額小于180萬(wàn)元，且保證前三年內(nèi)打井費(fèi)用均小于60萬(wàn)元，剩余的錢(qián)用來(lái)維修管道即可。我們可以將模型簡(jiǎn)化為只需考慮打井費(fèi)用的問(wèn)題。

我們首先對(duì)4口井未來(lái)5年產(chǎn)水量情況進(jìn)行一個(gè)預(yù)測(cè)，即對(duì)未來(lái)幾年的產(chǎn)水量進(jìn)行函數(shù)擬合，接著，我們對(duì)問(wèn)題的模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化并確定了相關(guān)約束條件，我們?cè)诿磕晷薰艿赖腻X(qián)得以保證的前提下，對(duì)村莊的打井費(fèi)用進(jìn)行一定的投資。

既要滿足費(fèi)用限制又要滿足村莊用水需求，故根據(jù)這個(gè)條件我們建立了管道—水井—錢(qián)數(shù)的多因子回歸迭代分析模型。

根據(jù)上述方程組，我們決定模擬退火算法的思想為基礎(chǔ)。我們將每年打井的位置以隨機(jī)數(shù)的方式生成，直到滿足當(dāng)年村莊用水需求后。若已有的水井產(chǎn)水量無(wú)法滿足村莊下一年用水需求，則繼續(xù)隨機(jī)打井，直到滿足條件。當(dāng)三年后管道完成以后，限制條件則變?yōu)榱怂a(chǎn)水量與管道輸水量總和。

將此種隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生5年打井順序以及數(shù)量的方法通過(guò)迭代方式來(lái)取得最優(yōu)解，并且讓管道容量從100到200范圍內(nèi)遞增來(lái)計(jì)算全局最優(yōu)解，由于所有打井方法總共約為4萬(wàn)多種，所以隨機(jī)數(shù)迭代1億次已基本排除無(wú)法得到全局最優(yōu)解的情況。根據(jù)題目中所給的可以打的8個(gè)井的數(shù)據(jù)，故我們利用Java編程語(yǔ)言進(jìn)行模型求解，根據(jù)上述的條件約束，利寫(xiě)出了Java求解過(guò)程的程序算法。

通過(guò)計(jì)算可以得到全局最優(yōu)結(jié)果為第一年打井為1、2、4、6、7號(hào)井，第二年打第3號(hào)井，后三年不打井，同時(shí)管道的設(shè)計(jì)容量為100萬(wàn)噸，此時(shí)全局最優(yōu)解為169.22，由于保證投入費(fèi)用為整數(shù)，則投入應(yīng)當(dāng)為170萬(wàn)元，前三年打井費(fèi)用總和小于（180-P），則此時(shí)為最優(yōu)方案。

綜上所述，最優(yōu)方案為：第一年打1號(hào)、2號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、7號(hào)井，費(fèi)用為26萬(wàn)元，第二年打3號(hào)井，費(fèi)用為5萬(wàn)元，后三年均不打井，此時(shí)可得管道設(shè)計(jì)容量為100萬(wàn)噸，前兩年打井總費(fèi)用為31萬(wàn)元，維修管道費(fèi)用138.22萬(wàn)元，在前三年撥款180萬(wàn)的情況下完全符合費(fèi)用的限制要求，求出的最優(yōu)解為169.221，所以共需要投入170萬(wàn)元。

4 結(jié)語(yǔ)

本題以模擬退火的思想為切入點(diǎn)，通過(guò)回歸迭代的方法，將復(fù)雜的水資源分配問(wèn)題簡(jiǎn)化成了多因子遍歷的問(wèn)題。在很多方面，諸如資源分配等均可以采用多因子回歸迭代分析模型。另外，我們探究的打井與鋪設(shè)管道的水資源問(wèn)題所采用的方法，還可以廣泛運(yùn)用于其他設(shè)計(jì)中，例如車(chē)輛調(diào)度或者外界對(duì)該模型產(chǎn)生某種影響的產(chǎn)品設(shè)計(jì)能夠起到很好的舉一反三作用。

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