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    解題之道 在于悟法

    2020-02-04 06:37:30過小明
    關(guān)鍵詞:標(biāo)價分母整體

    過小明

    方程的出現(xiàn)源于解決實(shí)際問題的需要,方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系,的有效的數(shù)學(xué)模型.

    一元一次方程是其他類型方程的基礎(chǔ),在數(shù)學(xué)知識體系中起著至關(guān)重要的作用.一元一次方程的知識點(diǎn)包括:基本概念、等式性質(zhì)、解方程等,要想高效掌握解題方法,靈活運(yùn)用知識,必須掌握幾種數(shù)學(xué)思想.

    一、整體思想

    整體思想是將注意力放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,著眼于宏觀上的整體分析.運(yùn)用整體思想,往往能事半功倍,出奇制勝.

    點(diǎn)評:將x+l和x-l分別看作一個整體,通過整體移動,整體合并,解答就很簡捷,同時省略了去分母的步驟,簡化了去括號的過程.

    應(yīng)用整體思想,要從結(jié)構(gòu)上對問題的條件進(jìn)行分析,把握問題的整體特征,對問題進(jìn)行整體處理.

    二、分類思想

    分類的原則是“不重復(fù)、不遺漏”.先確定分類的標(biāo)準(zhǔn),然后將問題分成幾個部分或者幾種情況,逐一解決,各個擊破,最后得出結(jié)論,

    點(diǎn)評:當(dāng)方程含有字母參數(shù)時,方法步驟與一般方程一樣.把方程化為ax=b的形式后,在進(jìn)行“系數(shù)化為1”時,要根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分類討論.注意:最后的解不能合并,只能分情況進(jìn)行說明,

    例3 已知A.B兩地相距120 km,一輛汽車以每小時50 km的速度從A地出發(fā),另一輛貨車以每小時40 km的速度從B地同時出發(fā),兩車相向而行.經(jīng)過多長時間兩車相距30 km?

    解析:兩車相遇前相距30 km:行程之和+30 km=兩地距離;兩車相遇后相距30 km:行程之和-30 km=兩地距離,

    設(shè)經(jīng)過x小時兩車相距30 km.根據(jù)題意,得:

    ①兩車相遇前相距30 km:50x+40x+30=120.解得x=l;

    ②兩車相遇后相距30 km:50x+40x-30=120,解得x=5/3.

    答:經(jīng)過l小時或5/3小時兩車相距30 km

    點(diǎn)評:對于“兩車相距30 km”這個條件,要分類討論.分別是“兩車相遇前相距30 km”和“兩車相遇后相距30 km”.

    分類思想往往用于解決開放性問題,如解含字母參數(shù)的方程、含絕對值符號的方程,以及解決有關(guān)方案設(shè)計(jì)的實(shí)際問題.解題時需要考慮可能出現(xiàn)的所有情況,然后總結(jié)分析,

    三、轉(zhuǎn)化思想

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,轉(zhuǎn)化思想無處不在,它是分析問題、解決問題的基本思想.轉(zhuǎn)化的紐帶是新舊知識之間的聯(lián)系,

    點(diǎn)評:本題分母不為整數(shù),要運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”將分母化為整數(shù),但要注意與去分母的區(qū)別.解一元一次方程的過程,實(shí)質(zhì)上就是利用等式基本性質(zhì),通過去分母,去括號,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),系數(shù)化為l等步驟同解變形,不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程,最后逐步把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式,體現(xiàn)了化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想.

    例5小明從家里騎摩托車到火車站,若每小時行30千米,則比火車開車時間早到15分鐘;若每小時行18千米,則比火車開車時間遲到15分鐘,現(xiàn)在小明打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站,求小明騎摩托車的速度.

    點(diǎn)評:火車開出的時間和小明從家到火車站的路程不變,直接設(shè)未知數(shù)較難,應(yīng)該轉(zhuǎn)變角度,合理地間接設(shè)未知數(shù)以尋求新的解決途徑.

    轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中分析問題和解決問題的基本思想.轉(zhuǎn)化是指將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件,將生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題,將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題,將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件,將正向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等.

    四、數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)字、符號用直觀的圖形體現(xiàn),或者通過精確的數(shù)量計(jì)算研究圖形的形狀大小,即代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化,

    例6 甲、乙兩站相距480 km.一列慢車以每小時90 km的速度從甲站開出,一列快車以每小時140 km的速度從乙站開出,慢車與快車同時出發(fā),同向而行,經(jīng)過多少小時兩車相距600 km?

    解析:設(shè)經(jīng)過x小時兩車相距600 km,則可將此題情境用線段圖表示,如圖1.

    根據(jù)題意得90x+600=480+140x.

    解得x=2.4.

    答:經(jīng)過2.4小時兩車相距600 km.

    點(diǎn)評:用一元一次方程解決行程問題,畫線段圖是常用的方法.

    著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難人微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事非,以形輔數(shù),以數(shù)助形,能更快找到解題途徑,

    五、方程思想

    方程思想就是利用方程來解決問題,是學(xué)習(xí)方程的目的和意義,方程思想是從問題的等量關(guān)系人手,運(yùn)用代數(shù)式將條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,然后通過解方程使問題獲得解決,

    例7某商場購進(jìn)甲、乙兩種服裝后,都加價40%標(biāo)價出售.春節(jié)期間商場搞優(yōu)惠促銷,決定將甲、乙兩種服裝分別按標(biāo)價的八折和九折出售.某顧客購買甲、乙兩種服裝各一件,共付款182元,兩種服裝標(biāo)價之和為210元.這兩種服裝的進(jìn)價和標(biāo)價各是多少元?

    答:甲種服裝的進(jìn)價是50元,標(biāo)價是70元;乙種服裝的進(jìn)價是100元,標(biāo)價是140元.

    點(diǎn)評:初中數(shù)學(xué)中的方程思想無處不在,最常見的就是列方程解應(yīng)用題,其一般步驟如下.

    (1)審題,搞清已知量和待求量,分析數(shù)量關(guān)系,尋找等量關(guān)系.

    (2)根據(jù)數(shù)量關(guān)系與解題需要設(shè)出未知數(shù),根據(jù)等量關(guān)系建立方程.

    (3)解方程.

    (4)檢查和反思解題過程,檢驗(yàn)答案的正確性以及是否符合題意,并作答,

    其中“尋找等量關(guān)系”最為關(guān)鍵.

    方程法實(shí)現(xiàn)了由算術(shù)方法向代數(shù)方法的轉(zhuǎn)化,是最基本的數(shù)量關(guān)系分析方法,有等式就可以有方程,有公式就可以有方程.方程思想是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵,是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的重要手段.

    練一練

    1.解方程|x-2|=3.

    2.如圖2.矩形ABCD由六個顏色不同的正方形組成,若設(shè)中間最小的一個正方形邊長為1.則矩形ABCD的面積為____ .

    參考答案:

    1.x=5或x=-l.2.143

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