三階幻方中的數(shù)字計算

藺學(xué)益

相傳，大禹治水時，洛水中出現(xiàn)了一個“神龜”，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書”，把“洛書”中的數(shù)填在對應(yīng)的九宮格內(nèi)，就是三階幻方，

幻方是一種智力填數(shù)游戲，它是根據(jù)事先提供的數(shù)，運(yùn)用邏輯推理的思維方法和排除法，把數(shù)填入空白的方格中.中國不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對幻方進(jìn)行深入研究的國家，

三階幻方是最簡單的幻方，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)組成的九宮格（如圖1所示），其對角線、橫行、縱列上三個數(shù)的和都為15，我們稱這個最簡單的幻方的幻和為15.中心數(shù)為5.

三階幻方在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都有所體現(xiàn).那么，這里的“其對角線、橫行、縱列上三個數(shù)的和都為15”“中心數(shù)為5”隱含著怎樣的數(shù)學(xué)計算呢？

我們先來說“其對角線、橫行、縱列上三個數(shù)的和都為15”中的“和為15”

如圖2所示，我們設(shè)每個格子的未知數(shù)分別為x1至x9，從中選取橫行（或者縱列）來分析，那么有：

x1+x2+x3=S;

x4+x5+x6=S;

x7+x8+x9=S.

三個式子相加，則有：

3S=x1 +x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9.

因?yàn)閤l至x9 -定是1至9這九個數(shù)，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=45.

由3S=45.得到S=15.

由每個橫行上三個數(shù)的和都是15，同理可推得每個縱列和對角線上三個數(shù)的和都是15.

再來說“中心數(shù)為5”，我們選擇中間的橫行、中間的縱列和兩個對角線上的三個數(shù)之和，由于S=15，則有：

x4+x5 +x6 =15，x2 +x5 +x8=15，x1+x5 +x9 =15，X3+X5+X7=15.

四個式子相加，則有：

x1+x2+x3+x4+x5+x 6+x7+x8+x9+3x5=60.

故45+3xs=60，求得x5=5，也就是說“中心數(shù)為5”.

這樣我們就解釋了三階幻方中的兩個值的由來，下面，就可以進(jìn)行填寫這九個數(shù)值的操作了，

利用以上兩個填寫依據(jù)，我們來看和為15的八個（三個橫行、三個縱列、兩個對角線）等式：

1+5+9=15，2+5+8=15;

3+5+7=15，4+5+6=15;

1+6+8=15，2+4+9=15;

2+6+7=15. 3+4+8=15.

這八個等式會出現(xiàn)在三階幻方中（也只有這八個等式），我們會再次發(fā)現(xiàn)有趣的事實(shí)：“5”出現(xiàn)了四次，而在九個格子中只有中間格被用了四次，因此“5”就必須在幻方最中間的位置.這樣，就再次解釋了“中心數(shù)為5”的緣由.

另外，“2”“4”“6”“8”四個數(shù)在等式中都出現(xiàn)了三次，而在九個格子中只有四個角的格子被用了三次，因此這四個數(shù)應(yīng)放在幻方的四個角中.當(dāng)然，“2”和“8”在同一等式中，“4”和“6”在同一等式中.

同樣地，“1”“3”“7”“9”四個數(shù)在等式中都出現(xiàn)了兩次，只能將這四個數(shù)放在幻方的靠邊的四個中間格子中.“1”和“9”在同一等式中，“3”和“7”在同一等式中.

綜合以上解釋，三階幻方要滿足橫行、縱列和對角線上三個數(shù)之和等于15，只能將“5”放在最中間的方格中，將“2”“4”“6”“8”放在四個角中，將“1”“3”“7”“9”放在靠邊的四個中間格子中.

有了以上更清晰的數(shù)的位置填寫要求，在兼顧三數(shù)之和為15的情況下，會得到八種不同的三階幻方填法.有興趣的同學(xué)可以自己試著填一下，

通過對三階幻方的數(shù)學(xué)計算與填寫解釋，大家是不是感受到了幻方的魅力呢？探究幻方的奧秘是一件既有趣又有意義的事情，能讓大家對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更濃厚的學(xué)習(xí)興趣，這也許就是幻方的迷人之所在吧！