等腰三角形輔助線怎么作？

劉海運(yùn)

一、作頂角的平分線（或底邊上的中線，底邊上的高線）

例1， 如圖1，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D.求證：∠BAC=2 ∠DBC.

證明：作∠BAC的平分線AE，交BC于E，如圖2，則∠1=∠2=1/2∠BAC，AE⊥BC.

∵∠2=∠DBC（均與∠C互余），

∴ ∠BA C=2∠ DBC.

二、有底邊中點時，常作底邊上的中線

例2 如圖3，△ABC中，AB=AC.D為BC的中點，DE ⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：DE=DF

證明：如圖4.連接AD.

∵ D為BC的中點，AB=AC，

∴AD平分∠ABC

∵ DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

三、將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形

例3 如圖5，△ABC中，AB=Ac.在BA的延長線和AC上各取一點E，F(xiàn)，使AE=AF求證：EF⊥BC.

證明：如圖6，延長BE到N，使AN=AB.連接CN，則AB=AN=AC.

∴ ∠B=∠A CB， ∠ACN=∠N.

∵ ∠B+ ∠A CB+ ∠A CN+ ∠N=180°.

∴ 2∥ACB+2∠A CN=180°.

∴ ∠ACB+ ∠ACN=90°.即∠BCN=90°.

∴NC⊥BC.

∵AE=AF。

∴∠A EF= ∠A FE.

又∵ ∠BA C= ∠A EF+ ∠A FE.

∠BA C= ∠A CN+ ∠N，

∴ ∠BA C=2 ∠AEF=2 ∠N.

∴∠AEF= ∠N，EF//NC.

∴ EF⊥ BC.

四、過一腰上的某已知點作另一腰的乎行線

例4 如圖7，在△ABC中，AB=A C.D在AB上.E在AC的延長線上，且BD=CE.連接DE交BC于F，求證：DF=EF

證明：過D點作DN//AE，交BC于Ⅳ，則∠DNB=∠ACB、∠NDE=∠E.

∵ AB=AC.

∴ ∠B= ∠ACB.

∴ ∠B= ∠DNB ，BD=DN.

又∵BD=CE.

∴DN=CE.

從而易證△DNF≌△ECF（角角邊），DF=EF.

點評：也可過E點作EM //AB交BC的延長線于M.如圖9.

五、過一腰上的某已知點作底的平行線

例5 同例3. 證明：過點E作ED∥BC交CA的延長線于D，如圖10.

∵AB=AC.

∴ ∠B=∠C.

∴ ∠A ED= ∠A DE.

∵AE=AF.

∴ ∠A EF= ∠A FE.

又 ∵ ∠ADE+ ∠AED+ ∠A EF+ ∠A FE=180°.

∴ 2 ∠AED+2 ∠AEF=180°.

∴∠DEF=90° ，DE⊥EF

又∵ED//BC，

∴ EF⊥ BC.

六、以角平分線所在直線為對稱軸構(gòu)造等腰三角形

例6 如圖11，在△ABC中，∠A=2∠BCD平分∠A CB，AD=2.2，AC=3.6.求BC的長.

分析：因為∠A=2∠B.所以可以嘗試轉(zhuǎn)化∠A.以便出現(xiàn)一個等腰三角形.因為CD平分∠A CB，所以可在CB邊上取一點E，使EC=AC，連接DE（如圖12）.這樣，很容易得到△DEC≌△DAC，△BED是等腰三角形.再經(jīng)過推理就能使問題得到解決.

解：在CB邊上取一點E，使EC=AC，連接DE.

∴ △DEC≌△DA C（邊角邊）.

∴

EC=AC=3.6， DE=AD=2.2， ∠A=LDEC.

∴ ∠DEC=2∠B.從而有∠BDE= ∠B.

∴ BE=DE=2.2，BC=BE+EC=5.8.

點評：當(dāng)題目中有角平分線以及內(nèi)角間關(guān)系時，可設(shè)法以角平分線所在直線為對稱軸，構(gòu)造等腰三角形與全等三角形，從而實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)化.本題還可以構(gòu)造等腰△ADE與全等三角形來解，如圖13.