基于多項(xiàng)式電池模型估算電池荷電和健康狀態(tài)

劉光軍 湯文韜

（湖北工業(yè)大學(xué)太陽能高效利用及儲能運(yùn)行控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北省武漢市 430068）

1 引言

大多數(shù)電動汽車使用電池組作為主要能源[1]，可用于電動車輛的電池有很多種，例如鉛酸電池，鎳鎘（NiCd）電池，鎳氫（NiMH）電池和鋰離子電池等等[2]。其中鋰離子電池是電動汽車中使用最廣泛的電池，鋰離子電池具有以下優(yōu)點(diǎn)：重量輕；體積?。还ぷ鳒囟确秶鷱V；充電速度快；電池壽命長；自放電率低以及不釋放氫氣[3]。另外，該電池還具有比其他類型的電池更高的功率和能量密度。隨著鋰離子電池的需求日益增加，如何建立一個(gè)良好的電池管理系統(tǒng)成為一個(gè)熱點(diǎn)問題。

在建立一個(gè)好的電池管理系統(tǒng)的過程中，有兩個(gè)電池參數(shù)是必須獲取的：荷電狀態(tài)(SOC)和健康狀態(tài)(SOH)。SOC 是一個(gè)顯示電池內(nèi)部電荷狀態(tài)的參數(shù)，而SOH 是一個(gè)顯示電池健康狀態(tài)的參數(shù)。而SOC 和SOH 不能夠直接測量，為確定電池的SOC 和SOH，必須采用估算方法。最常用的SOC 估算方法是安時(shí)積分法[4]。安時(shí)積分法是一種通過對進(jìn)出電池的電荷求和并積分的SOC估算方法。但該方法在使用過程中未考慮測量噪聲，估算精度較低，且僅適用于已知電池SOC 的初始狀態(tài)的情況下才能進(jìn)行。

也有一些學(xué)者采用了一些先進(jìn)的方法，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[5]，李亞普諾夫觀測器[6]。但這些方法需要一個(gè)絕對理想化的電池模型，且計(jì)算量較大。擴(kuò)展卡爾曼濾波器是對用于估算非線性系統(tǒng)的普通卡爾曼濾波器的改進(jìn)，它是一種易于使用且能得到最優(yōu)結(jié)果的估算方法。該方法將非線性系統(tǒng)在各種狀態(tài)下線性化，并對測量過程中的噪聲進(jìn)行補(bǔ)償，此濾波器復(fù)雜度低，且計(jì)算量較低。

為同時(shí)估計(jì)SOC 和SOH，Plett 提出了雙重?cái)U(kuò)展卡爾曼濾波器(DEKF)[7]，該方法使用分離的EKF 估計(jì)狀態(tài)和參數(shù)，因此復(fù)雜度低。考慮到該方法的優(yōu)點(diǎn)，本文采用雙重?cái)U(kuò)展卡爾曼濾波(DEKF)對鋰離子電池的SOC 和SOH 進(jìn)行估計(jì)。DEKF 由兩個(gè)擴(kuò)展卡爾曼濾波器組成，其中一個(gè)EKF 估算SOC 初始狀態(tài)，另一個(gè)估算電池內(nèi)部參數(shù)：電池內(nèi)阻和電池容量[8]，這些估算器的結(jié)果可循環(huán)使用。此外，還利用DEKF 第一步估算的電池內(nèi)阻和電池容量來計(jì)算SOH，SOH 值的估算采用內(nèi)阻增長法和容量衰減法[9]。電池模型采用多項(xiàng)式模型[10]，參數(shù)預(yù)測采用廣義簡約梯度(GRG)優(yōu)化方法。

為了進(jìn)行比較，使用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)估算SOC，然后使用絕對偏差來判斷EKF 和DEKF 之間哪個(gè)估算性能更好。本文第一節(jié)介紹了本文所使用的電池模型，第二節(jié)介紹了雙擴(kuò)展卡爾曼濾波的算法，第三節(jié)給出了研究結(jié)果和討論，最后第四節(jié)對整個(gè)工作進(jìn)行了總結(jié)。

圖1：鋰離子電池二階RC 等效電路模型

2 多項(xiàng)式電池模型

本文采用二階RC 電路等效模型對鋰離子電池進(jìn)行建模，選擇該模型是因?yàn)樵撃Ｐ途雀?，?jì)算時(shí)間短，易獲取電池參數(shù)。該模型具體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中R0表示電池的歐姆內(nèi)阻；R1、R2、C1、C2分別表示電池的極化電阻和極化電容；Vb代表了電池的路端電壓，且是SOC 的函數(shù)。

式中Vb，z(k)，I(k)分別表示在時(shí)間k 處測量的電池電壓、SOC 和電流。開路電壓(Vocv)是SOC 的多項(xiàng)式函數(shù)，如下式2所示：

Vocv多項(xiàng)式用五階多項(xiàng)式逼近，其中p1,p2,p3,p4,p5,p6是多項(xiàng)式的連續(xù)項(xiàng)，用安時(shí)積分法來計(jì)算SOC：

其中ΔT 和Q 分別是時(shí)間采樣(S)和電池容量(mAh)。因電池是全新的,電池效率μ 可假設(shè)為1。根據(jù)基爾霍夫電流定律(KCL)計(jì)算第一個(gè)RC 電路上的電壓(V1)，并將其轉(zhuǎn)化為離散時(shí)間模型公式（4）：

其中，V1(k)是k 時(shí)刻的第一個(gè)RC 電路電壓，R1和R2分別是兩個(gè)RC 電路中的電阻。同上，第1 個(gè)RC 電路中的電壓也可由基爾霍夫電流定律計(jì)算得出，然后被轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間模型，得到公式（5）：

式中V2(k)是時(shí)間k 處的第2 個(gè)RC 電路電壓。基于上述推導(dǎo)，電池模型可表示為：

圖2

模型采用非線性廣義簡約梯度(Generalized Reduced Gradient)優(yōu)化方法，通過測量電池電壓和電池模型電壓之間的誤差來獲得模型參數(shù)。之所以選擇這種優(yōu)化方法，是因?yàn)檫@種方法適用于大多數(shù)非線性系統(tǒng)且易于使用。此優(yōu)化方法的形式如下：

受制于：

X 表示優(yōu)化中所用變量的向量，Ii和ui分別為上界和下界。

3 雙擴(kuò)展卡爾曼濾波器

雙擴(kuò)展卡爾曼濾波算法用于估計(jì)SOC、內(nèi)阻(R0)和電池容量(Cp)。雙擴(kuò)展卡爾曼濾波器使用2 個(gè)擴(kuò)展卡爾曼濾波器，其中第一個(gè)擴(kuò)展卡爾曼濾波器用于估計(jì)快變狀態(tài)，而第二個(gè)擴(kuò)展卡爾曼濾波器用于估計(jì)慢變狀態(tài)。第一個(gè)EKF 首先工作，然后第二個(gè)EKF 使用估計(jì)誤差來估計(jì)參數(shù)。

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法由預(yù)測步驟和更新步驟組成，圖2 和圖3描述了EKF 算法。DEKF 算法由2 個(gè)EKF 算法組成，如圖2b 和圖4所示。設(shè)x 表示系統(tǒng)的狀態(tài)，如式8所示，θ 表示系統(tǒng)的參數(shù)，如式11所示。假設(shè)P，S，Q，R 分別代表狀態(tài)的誤差協(xié)方差、參數(shù)的誤差協(xié)方差、過程噪聲協(xié)方差和測量噪聲協(xié)方差。設(shè)K，A，C，y 分別代表卡爾曼增益，系統(tǒng)矩陣A 的雅可比矩陣，系統(tǒng)矩陣C 的雅可比矩陣，以及系統(tǒng)的輸出結(jié)果。

圖3：EKF 算法構(gòu)架

圖4：DEKF 算法構(gòu)架

在兩個(gè)RC 電路的初始條件為零的情況下，因?yàn)槌跏紶顟B(tài)無電流，第一個(gè)EKF 的三個(gè)參數(shù)的數(shù)值由公式6 和7 決定，可以使用公式（1）來獲得電池電壓，此外，第二個(gè)EKF 的動態(tài)更新可定義為：

圖5

其中θ 代表電池參數(shù)，qk代表系統(tǒng)中的噪聲，R0和Cp分別代表電池內(nèi)阻和電池容量。內(nèi)阻初始值為0.03mΩ，電池容量初始值為1400mAh。

圖6：電池容量估算：循環(huán)1-循環(huán)3

表1：SOC 估算絕對誤差比較

表2：基于電池容量的SOH 估算

表3：基于電池內(nèi)阻的SOH 估算

第一個(gè)EKF（稱為EKFx）用于SOC 估計(jì)，第二個(gè)EKF（稱為EKFθ）用于估計(jì)內(nèi)阻(R0)和電池容量(Cp)。在確定SOH 時(shí)，采用了容量衰減法和雙擴(kuò)展卡爾曼濾波前估計(jì)的內(nèi)阻法，采用容量衰減法計(jì)算SOH 如下：

式中，ci和c0分別表示由DEKF 估計(jì)的實(shí)測電池容量和從數(shù)據(jù)表中提取的標(biāo)稱電池容量。SOH 值也將根據(jù)實(shí)測內(nèi)阻計(jì)算如下：

式中Reol為電池壽命結(jié)束時(shí)的內(nèi)阻，Rbat為被測內(nèi)阻，Rnew為全新電池的內(nèi)阻。

4 結(jié)果與討論

4.1 估算SOC

基于公式1 的結(jié)果搭建了一個(gè)多項(xiàng)式電池模型，模型參數(shù)由GRG 非線性估計(jì)，如下所示：

且受以下條件限制：

其中Vb是實(shí)際電池電壓，是估計(jì)電池型號。

實(shí)驗(yàn)使用了18650-1400mAH 型鋰離子電池進(jìn)行充放電循環(huán)試驗(yàn)。根據(jù)一個(gè)充電周期的SOC 估算結(jié)果顯示其平均絕對偏差為0.28%。相應(yīng)的在一次充電循環(huán)內(nèi)對電池電壓進(jìn)行估計(jì)，其平均絕對偏差約為0.15%，而一個(gè)放電循環(huán)的SOC 估算平均絕對偏差約為0.62%。此外，還比較了雙擴(kuò)展卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波的性能，如表1所示。從表1 可以看出，DEKF 的絕對偏差小于1%。還可得出結(jié)論：DEKF 比EKF 估算精度更高。

這是因?yàn)樵贒EKF 估算過程中，自始至終都估算了電池的內(nèi)阻和實(shí)際容量，因此SOC 估算值可以更準(zhǔn)確。其中電池內(nèi)阻（R0）和電池容量的估計(jì)很重要，隨著電池的老化，這些參數(shù)會發(fā)生變化，這可能會影響SOC 和SOH 的估算。

4.2 內(nèi)阻和電池容量估計(jì)

DEKF 算法的另一個(gè)輸出是內(nèi)阻(R0)和電池容量(Cp)。圖5 顯示了三個(gè)循環(huán)后電池內(nèi)阻估算結(jié)果（以Ω 為單位）?？梢钥闯?，從循環(huán)2 到循環(huán)3 的內(nèi)阻都在增加。這種內(nèi)阻增加對應(yīng)于電阻增長理論，其中電池電阻量將隨著電池的使用而增加。電池使用時(shí)間越長，電池的內(nèi)阻就越大，因?yàn)殡姵刂邪l(fā)生了更劇烈的化學(xué)反應(yīng)，導(dǎo)致電池中的材料變形，且導(dǎo)體和電極被腐蝕，電解質(zhì)變少。電池內(nèi)阻的增加使得出入電池的電流量降低，且會導(dǎo)致負(fù)載電壓下降、電池溫度升高。鋰離子電池的內(nèi)阻在電池壽命結(jié)束前的增量往往很小，這是因?yàn)橄啾扔谄渌姵?，鋰離子電池電解質(zhì)液體導(dǎo)電性更強(qiáng)。

圖6 顯示了實(shí)際電池容量的估計(jì)結(jié)果(以mAh 為單位)。三個(gè)循環(huán)數(shù)據(jù)的實(shí)際電池容量為1398-1400mAh，因數(shù)據(jù)周期太短，所以沒有顯著的電池容量下降。此外，數(shù)據(jù)周期也不會在電池壽命的開始，中期和結(jié)束時(shí)獲取，因此我們無法看到電池容量在電池壽命中的變化情況。

4.3 SOH估計(jì)

從圖6 可以看出，DEKF 很好地估計(jì)了電池容量，但是估計(jì)結(jié)果仍在1400mAh 上下波動。表2 展示了基于容量衰減法的所有三個(gè)周期的SOH 估算結(jié)果，電池的SOH 值仍接近于100%，這三個(gè)循環(huán)不足以體現(xiàn)電池容量的顯著差異。表3 顯示了基于電池電阻的SOH 估算，結(jié)果表明，SOH 值也在99%左右，說明隨著電池內(nèi)阻的增大，SOH 值減小，電池容量的估算結(jié)果是成功的。

5 結(jié)論

采用兩個(gè)并聯(lián)工作的擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)，即雙擴(kuò)展卡爾曼濾波器(DEKF)，對電池的荷電狀態(tài)(SOC)和健康狀態(tài)(SOH)進(jìn)行了估計(jì)。首先采用電路等效的方法對鋰離子電池進(jìn)行建模，得到了多項(xiàng)式電池模型，然后采用GRG 非線性優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)了電池模型的參數(shù)化，結(jié)果表明，DEKF 比EKF 能更好地估計(jì)電池的SOC和SOH。