高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略研究
——以直線與圓相切問題為例

江蘇省昆山震川高級(jí)中學(xué) 趙靜茹

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由于知識(shí)體量大，方法多樣，學(xué)生在新課學(xué)習(xí)后常常會(huì)有知識(shí)方法零碎繁多的感受，因此復(fù)習(xí)課十分重要。高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排整體是螺旋上升、分層遞進(jìn)的，在一段新課學(xué)習(xí)后需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行條理化、綜合化、系統(tǒng)化的整理，使學(xué)生對(duì)知識(shí)加深理解、牢固掌握、靈活運(yùn)用。復(fù)習(xí)階段，每節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與新授課是不同的，基礎(chǔ)知識(shí)已然學(xué)過，部分學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)課的興趣比新授課低，如何將復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)得既有內(nèi)容又有深度，是教師在備課時(shí)應(yīng)該思考的內(nèi)容。復(fù)習(xí)課要有利于建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，提示知識(shí)之間內(nèi)在的、本質(zhì)的、必然的聯(lián)系，從縱、橫兩方面加深對(duì)知識(shí)的理解，彌補(bǔ)學(xué)習(xí)上的缺陷，減少記憶負(fù)擔(dān)，防止遺忘，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和完善，與此同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生逐步形成正確的價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。筆者借助解析幾何中“直線與圓位置關(guān)系”一節(jié)的復(fù)習(xí)課，例談高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略。

一、教學(xué)背景概述

在直線與方程、圓與方程兩節(jié)內(nèi)容學(xué)完后，針對(duì)高一學(xué)生的學(xué)情和特點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)專題復(fù)習(xí)，將直線與圓中的經(jīng)典問題進(jìn)行整理和分析，把常見方法和解題思路嵌入簡化的題目，關(guān)注重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生梳理直線與圓的知識(shí)和方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納和整理典型例題的方法，促使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)分析

筆者將典型例題挑選出來并重新整合，將直線與圓相切問題歸結(jié)為兩大類：定與不定。其中常見的、高頻的動(dòng)切線問題整合到一道題目中，涵蓋了“最值問題、存在性問題、軌跡問題”等，自編題目，強(qiáng)調(diào)“化動(dòng)為靜”的思想方法。

1.基礎(chǔ)梳理

基礎(chǔ)知識(shí)包括直線的方程、圓的方程、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系。本節(jié)內(nèi)容“直線與圓的位置關(guān)系”有幾個(gè)典型的模型，包括“相切模型”“相交模型”等，涉及切線長、弦長，同時(shí)復(fù)習(xí)和回顧直線與圓的位置關(guān)系的基本知識(shí)，在此過程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)。特別需要指出的是，學(xué)生對(duì)于已有的學(xué)習(xí)材料、例題進(jìn)行歸納整理，分析總結(jié)出有價(jià)值的方法、模型的過程，事實(shí)上培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)具有重要意義。

2.典例精講

題型1：求切線方程

學(xué)生總結(jié)：過不同的點(diǎn)A可作圓O的切線條數(shù)。

基礎(chǔ)但是易錯(cuò)的點(diǎn)在于學(xué)生會(huì)忽略斜率不存在的討論，另外，本題引出學(xué)生對(duì)于題目中已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的預(yù)判斷，提供一種做這一類題的策略，這對(duì)于復(fù)習(xí)課來講十分重要。當(dāng)然，該例題不僅是針對(duì)這一類求切線方程的題目，更滲透了深層次的做題經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)”而非僅“學(xué)會(huì)”，感受站在更高一層看待問題，抽象出數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

題型2：動(dòng)切線問題（覆蓋最值問題、切線角問題、定點(diǎn)問題、軌跡問題）

已知直線l：x-y+4=0 和圓O：x2+y2=4，P是直線l上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N。

題干信息清晰、簡潔，略去多數(shù)題目中較為復(fù)雜的背景，關(guān)注本質(zhì)。

（1）若PM⊥PN，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

該問從一個(gè)特殊位置出發(fā)，讓學(xué)生感受直線與圓問題的常見轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化為P到圓心的距離與半徑的關(guān)系上。目的是為后面研究“動(dòng)”的問題提供一個(gè)“靜”的實(shí)例，從而幫助學(xué)生理解“化動(dòng)為靜”的作用，注重由特殊到一般思想方法的滲透，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（2）求PM的最小值。

該問在（1）的“靜”的問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步升華，研究“動(dòng)”切線長的最值，需要學(xué)生感受動(dòng)態(tài)變化過程中，動(dòng)切線長可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到圓心的距離與半徑的表達(dá)式，從（1）的定的問題變?yōu)閯?dòng)態(tài)情況下的最值問題，但其本質(zhì)的直線與圓問題轉(zhuǎn)化模型并沒有變，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)、逐步深入的特點(diǎn)，過程中有利于發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)強(qiáng)化動(dòng)態(tài)背景下最值問題的研究方法，即轉(zhuǎn)化的思想方法。

（3）求四邊形ONPM面積的最小值。

該問與（2）同為“動(dòng)”的問題，但進(jìn)一步深化，由切線長的動(dòng)態(tài)變化最值變?yōu)樗倪呅蚊娣e的動(dòng)態(tài)變化最值，這里涉及解決面積問題常用技巧，將四邊形切割成等面積的兩個(gè)三角形計(jì)算其面積，最終將問題仍然化歸到切線長的最值問題，再次突出了直線與圓問題的常見轉(zhuǎn)化，化動(dòng)為靜，將各幾何元素往直線與圓的位置關(guān)系上轉(zhuǎn)化，本質(zhì)仍然是直線與圓問題轉(zhuǎn)化模型，但更為深入，有利于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)做題技巧，把握問題本質(zhì)，關(guān)注轉(zhuǎn)化的思想方法，有利于發(fā)展學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

該問在（2）（3）的基礎(chǔ)上再次深入，也是對(duì)最值問題的一個(gè)變式，以學(xué)生練為主，在教師講解了前面兩種最值問題之后，學(xué)生已有了對(duì)于直線與圓問題常見轉(zhuǎn)化的意識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)講練結(jié)合、當(dāng)堂鞏固。該問題綜合了平面向量的數(shù)量積內(nèi)容，在復(fù)習(xí)回顧向量的同時(shí)，不忘直線與圓問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的螺旋上升、分層遞進(jìn)的特點(diǎn)，突出了高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的整體觀。

（5）若圓O上存在點(diǎn)A、B，使∠APB=60°，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍。

該問在（2）動(dòng)切線長的基礎(chǔ)上進(jìn)一步升華，變?yōu)閯?dòng)切線夾角的存在性問題，仍然是“動(dòng)”的問題，但由原來的單動(dòng)切線轉(zhuǎn)變?yōu)殡p動(dòng)切線，需要一定的轉(zhuǎn)化技巧，包括兩切線夾角轉(zhuǎn)化為一條切線與PC夾角的兩倍。另外，存在性的一類問題仍然可轉(zhuǎn)化為最值問題，但需要一定思維能力，將存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題，需要有尋找臨界狀態(tài)的想法，并理解如何轉(zhuǎn)化成最值，是最大值還是最小值，具備一定難度，也是直線與圓部分中的一類典型問題。在前面幾例問題引入后，仍需給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，可學(xué)生間互動(dòng)探討、交流溝通，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究與合作精神。

（6）MN所在直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過，說明理由。

該問涉及動(dòng)直線的定點(diǎn)問題，需要借助直線與圓相切模型，尋找出四點(diǎn)共圓，且該圓以PC為直徑，從而得到MN所在直線即為該圓與已知圓公共弦問題的結(jié)論，最終求解出動(dòng)直線MN的定點(diǎn)。該問仍然需要建立在學(xué)生熟悉對(duì)直線與圓問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，同時(shí)綜合了定點(diǎn)問題，是直線與圓的綜合運(yùn)用。本問中突出強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法，幾何與代數(shù)結(jié)合得到本題的最優(yōu)解，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（7）已知Q（2，0），求證：圓O上存在點(diǎn)P，使PQ=2PM。

本題主要考查了“隱形軌跡”問題，在前面直線與圓切線長轉(zhuǎn)化問題的鋪墊下，學(xué)生有了將PQ切線長轉(zhuǎn)化到關(guān)于PC關(guān)系式上的意識(shí)。接下來是一類常見題型“隱形軌跡”問題的考查，學(xué)生在平時(shí)的做題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，可自行總結(jié)該類隱形問題的解決方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)和歸納方法，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

整題中涵蓋了直線與圓相切問題中?？嫉膸追N類型，既包含不同解題方法，又包含不同的題型，在一道題干下變化題型，這一做法省去了學(xué)生重復(fù)審題的步驟，強(qiáng)化了題目本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)“化動(dòng)為靜”的思想方法，一題多變，關(guān)注本質(zhì)，淡化題目，使學(xué)生能夠在做題中體會(huì)不同的題目中蘊(yùn)含的共同的思想方法，舉一反三，這在復(fù)習(xí)課中尤其重要。

3.當(dāng)堂練習(xí)

（1）已知圓x2+y2=9 的圓心為P，點(diǎn)Q（a，b）在圓P外，以PQ為直徑作圓M與圓P相交于A，B兩點(diǎn)。若QA=QB=4，試問點(diǎn)Q在什么曲線上運(yùn)動(dòng)？

（改編自蘇教版必修二117 頁練習(xí)題）

利用圓的性質(zhì)得到垂直位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化到相切模型中，進(jìn)而將切線長轉(zhuǎn)化到與圓心距離的關(guān)系上，考查了本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容，加深了學(xué)生對(duì)于直線與圓位置關(guān)系的理解。

（2）已知圓M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為（）。

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

（選自2020 高考數(shù)學(xué)全國一卷理科數(shù)學(xué)11 題）

本題較為綜合，但沒有脫離本節(jié)重點(diǎn)，該題涉及的“動(dòng)點(diǎn)問題”“切線長轉(zhuǎn)化問題”“公共弦問題”等皆在例題中有所鋪墊，因此，雖是高考題，但完全符合學(xué)生的思維發(fā)展，同時(shí)，恰當(dāng)?shù)木C合練習(xí)有助于學(xué)生更好地掌握直線與圓部分的內(nèi)容，使學(xué)生感受知識(shí)與方法在復(fù)雜情境中的應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.課堂小結(jié)

反思以上不同的題目中貫穿始終的本質(zhì)思想，感受由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，再由動(dòng)態(tài)到靜態(tài)的過程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的直線與圓中本質(zhì)的方法和思想，感受數(shù)形結(jié)合的重要思想方法，生成直線與圓相關(guān)問題的知識(shí)方法體系，準(zhǔn)確應(yīng)用模型解決問題。

三、復(fù)習(xí)課教學(xué)策略總結(jié)

加強(qiáng)日常教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生熱情。筆者按照本班學(xué)生學(xué)習(xí)情況和對(duì)知識(shí)方法的把握，設(shè)計(jì)這樣的“打碎重構(gòu)”課堂內(nèi)容，將每節(jié)課局部與整體聯(lián)系起來，讓學(xué)生能夠架構(gòu)出知識(shí)方法網(wǎng)絡(luò)，融會(huì)貫通。教學(xué)中要觀察學(xué)生反應(yīng)，通過提問、學(xué)生板演、小組討論等方式調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，及時(shí)進(jìn)行作業(yè)、測試反饋，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，營造愉快寬松的教學(xué)氛圍，希望教師能夠用自己的教學(xué)激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和動(dòng)力。

解題教學(xué)中融入數(shù)學(xué)思維，關(guān)注原理，淡化技巧。例題選取和講評(píng)重思維，一道簡單題干背景下，一題多變，感受變化的是題目，不變的是思維方法和原理。本堂課中例題剔除了復(fù)雜的計(jì)算，重視方法和原理，即直線與圓的幾何與代數(shù)特征，促進(jìn)學(xué)生思考本質(zhì)。正如數(shù)學(xué)家波利亞所主張，數(shù)學(xué)教育的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，教會(huì)學(xué)生思考。

數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)在幫助學(xué)生掌握知識(shí)技能的同時(shí)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要滲透進(jìn)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，包括目標(biāo)設(shè)計(jì)、情境創(chuàng)設(shè)、問題設(shè)計(jì)、教法選擇、課堂評(píng)價(jià)等，如本例中直線與圓復(fù)習(xí)課關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，主動(dòng)建立起知識(shí)方法之間有機(jī)聯(lián)系的知識(shí)體系。