借助對稱思想，優(yōu)化幾何問題求解

江蘇省南通市海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 卞海新

高中數(shù)學(xué)幾何問題不僅包含了數(shù)學(xué)的代數(shù)美，更容納了數(shù)學(xué)的幾何美，幾何問題對稱思想就是一種兼具美學(xué)和實(shí)用價(jià)值的解題方法，對稱利用得巧、利用得妙，將使得問題解決又快又好。在平面解析幾何問題中，對稱問題就是其中一種十分常見又重要的問題。認(rèn)真分析對稱結(jié)構(gòu)，掌握對稱問題的解題技巧，可以很好地實(shí)現(xiàn)問題的解決。

一、求解參數(shù)取值

幾何中會(huì)涉及一些軌跡方程中求解參數(shù)的問題，一般需要借助點(diǎn)的坐標(biāo)，并將坐標(biāo)代入求解。但當(dāng)題意未直接告知點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，則需要借助題目信息進(jìn)行分析、判斷。

例1：已知圓C：x2+y2+2x+ay-3=0（a為任意實(shí)數(shù)），且任意屬于該圓C的點(diǎn)關(guān)于直線l：x-y-2=0 的對稱點(diǎn)均位于該圓上，試問a=_。

二、求解軌跡方程

軌跡方程是幾何中一個(gè)十分重要的要素，通過軌跡方程可以判斷曲線的類型和有關(guān)性質(zhì)等內(nèi)容，反過來，借助已知信息也可以求解軌跡的方程表達(dá)式。

反思：按照常規(guī)的解法，已知點(diǎn)P坐標(biāo)，可以先設(shè)出過點(diǎn)P的弦的點(diǎn)斜式方程，并與橢圓方程聯(lián)立，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)以及韋達(dá)定理和斜率等知識進(jìn)行求解。思路很清晰，但在具體操作過程中，求解過程相對煩瑣和復(fù)雜。

三、攻克最值問題

幾何中的最值問題，可以借助函數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化與求解，也可以將最值問題轉(zhuǎn)化為切線問題。每種解決方法都有自己最佳的使用范圍和條件，因此，當(dāng)有對稱性的幾何中問題涉及最值時(shí)，不妨從對稱的角度去思考。

例3：對于圓O：x2+y2=4，已知點(diǎn)P為該圓上的任一動(dòng)點(diǎn)，假定動(dòng)點(diǎn)P相對于x軸及y軸的距離之和為a，試求a的最大值。

反思：針對此類動(dòng)點(diǎn)類問題，尤其是涉及圓形時(shí)，不妨嘗試采用幾何對稱思想求解。以本題為例，構(gòu)造直線l：y=x，得到點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，將距離和問題轉(zhuǎn)化成直角梯形中線取值求解，取代學(xué)生首選的代數(shù)法求最值。

總之，把握對稱思想的本質(zhì)，挖掘題目中潛在的對稱信息，借助對稱的特性實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化、煩瑣問題極簡化，出奇制勝，降低問題的難度，最終實(shí)現(xiàn)巧妙解題。因此，在解決幾何問題中，將對稱思想化成意識內(nèi)容，以便在需要時(shí)迅速提取。