5-7歲兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識的發(fā)展

安茜 吳念陽

摘 要： 辨別兒童概念性知識和程序性知識的水平，對理解兒童數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要意義。該研究以141名被試為研究對象，探討5—7歲兒童數(shù)數(shù)概念性和程序性知識的發(fā)展特點(diǎn)。結(jié)果表明：（1）根據(jù)兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)上的表現(xiàn)，將其分為數(shù)數(shù)概念性知識理解型兒童、僵硬型和不穩(wěn)定型兒童。（2）兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識均呈線性增長模式，兒童對數(shù)數(shù)概念性知識理解的進(jìn)程并未在7歲時(shí)結(jié)束，非本質(zhì)的時(shí)間和空間連續(xù)性規(guī)則存在于他們的判斷中。（3）兒童在數(shù)數(shù)概念性知識上的表現(xiàn)和程序性知識呈中等程度的相關(guān)。在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，教育者應(yīng)該創(chuàng)設(shè)多種數(shù)數(shù)情境，通過反省抽象促進(jìn)兒童數(shù)數(shù)概念性知識的發(fā)展;在優(yōu)先發(fā)展數(shù)學(xué)概念性知識的同時(shí)兼顧兩類知識的融合。

關(guān)鍵詞： 數(shù)數(shù);概念性知識;程序性知識

作者簡介：安茜，上海師范大學(xué)教育學(xué)院博士研究生，主要從事兒童認(rèn)知和語言發(fā)展研究;吳念陽，上海師范大學(xué)教育學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事兒童認(rèn)知和語言發(fā)展研究。

一、問題提出

數(shù)數(shù)是兒童算術(shù)能力發(fā)展的基礎(chǔ)，盡管數(shù)數(shù)對兒童來說是一項(xiàng)基本技能，但它卻又是一個(gè)復(fù)雜且相互關(guān)聯(lián)的過程，需要多個(gè)數(shù)學(xué)思維的協(xié)調(diào)。[Johnson N C ， Turrou A C ， Mcmillan B G ， et al. “Can You Help Me Count these Pennies？”： Surfacing Preschoolers Understandings of Counting[J]. Mathematical Thinking and Learning， 2019，21（6）：1-27.]當(dāng)兒童能用手一個(gè)接著一個(gè)去點(diǎn)排成直線的物體，同時(shí)按順序唱數(shù)，且知道最后唱出的數(shù)就是總數(shù)，他是否已經(jīng)掌握了數(shù)數(shù)？從表面來看，數(shù)數(shù)程序中所需要的要素在上述幼兒的行動中都具備了。但如果和兒童再進(jìn)一步互動，主試從左數(shù)到右，再從右數(shù)到左，然后問兒童“為什么總數(shù)還是一樣多”，則會出現(xiàn)分化現(xiàn)象：有的兒童的回答是不管從左到右、還是從右到左，東西還是那么多;有的兒童的回答是他學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)都是從左到右的。這里兒童對數(shù)數(shù)背后必然性的理解就是概念性知識（conceptual knowledge），執(zhí)行的數(shù)數(shù)步驟所反映的知識是程序性知識（procedural knowledge）。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中概念性知識和程序性知識是兒童獲得的兩類基本的知識，概念性知識指的是對程序有效性的理解，程序性知識是執(zhí)行序列動作來解決問題的能力;概念性知識能增加兒童解決問題的靈活性，使得兒童在不同問題情境中靈活應(yīng)用程序，是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志。[Baroody， A.， Feil， Y.， & Johnson， A. An Alternative Reconceptualization of Procedural and Conceptual Knowledge[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 2007，38（2）， 115–131.]什么是數(shù)學(xué)能力？這一問題會影響研究者對兒童數(shù)學(xué)能力不同維度特征的聚焦。數(shù)學(xué)思維理論（the mathematical thinking perspective）關(guān)注的是兒童對數(shù)字真正的理解，兒童如何從邏輯上思考數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)概念性知識和程序性知識的劃分正是基于這一理論，在數(shù)學(xué)思維理論下理解算術(shù)概念的核心是理解數(shù)量之間的關(guān)系，而不僅僅是孤立地了解數(shù)字。[Nunes，T.， Bryant， P.， Barros， R.， & Sylva， K. The Relative Importance of Two Different Mathematical Abilities to Mathematical Achievement[J]. British Journal of Educational Psychology，2012， （82）：136-156.]

Gelman和Gallistel提出了數(shù)數(shù)五原則，分別為：一一對應(yīng)原則、固定順序原則、基數(shù)原則、抽象原則以及順序無關(guān)原則。[Gelman R ， Meck E . Preschoolers Counting： Principles before Skill[J]. Cognition， 1983， 13（3）：343-359.]Briars和Siegler提出“數(shù)詞—物體對應(yīng)”是數(shù)數(shù)的本質(zhì)原則，同時(shí)從反面確定了數(shù)數(shù)的四個(gè)非本質(zhì)原則：標(biāo)準(zhǔn)方向、連續(xù)、每個(gè)物體只能點(diǎn)一次以及始于一端。[Briars D ， Siegler R S . A Featural Analysis of Preschoolers Counting Knowledge[J]. Developmental Psychology， 1984， 20（4）：607-618.]如果兒童認(rèn)為一個(gè)正確的數(shù)數(shù)行為必須具備以上四個(gè)特征，則說明他們把一些非本質(zhì)的要素認(rèn)定為必要的特征，其學(xué)習(xí)是表面模仿性的，他們的數(shù)數(shù)概念性知識比較僵化，還沒有完全發(fā)展起來。Rodríguez及其合作者從兒童對他人數(shù)數(shù)行為的解釋中，區(qū)分了兩種類型的連續(xù)： 空間連續(xù)性和時(shí)間連續(xù)性;空間連續(xù)性是指在點(diǎn)數(shù)過程中不能跳躍，如在數(shù)蘋果過程中跳過第三個(gè)，數(shù)完其他物體后再返回?cái)?shù)，就違反了空間連續(xù)性;時(shí)間連續(xù)性是指數(shù)詞不向或向后跳躍或重復(fù)，如在數(shù)數(shù)的過程中只報(bào)告偶數(shù)，這樣就違反了時(shí)間連續(xù)性原則。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Childrens Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46]

數(shù)數(shù)的本質(zhì)原則遵循的是邏輯規(guī)則，是不可更改和必需的;數(shù)數(shù)的非本質(zhì)原則遵循的是傳統(tǒng)規(guī)則，是可以更改的。[Marta Laupa. Childrens Understanding of Logical and Conventional Rules in Arithmetic Algorithms[J].The Journal of Mathematical Behavior， 2000，19（3）：219-305.]違反數(shù)數(shù)的本質(zhì)原則肯定會導(dǎo)致錯(cuò)誤，如一個(gè)對象對應(yīng)兩個(gè)不同的數(shù)詞;但是違反非本質(zhì)原則并不一定會產(chǎn)生錯(cuò)誤，如標(biāo)準(zhǔn)方向是從左往右數(shù)，當(dāng)從右往左數(shù)時(shí)也是正確的。綜上，可以看出數(shù)數(shù)概念性知識體現(xiàn)為：對數(shù)數(shù)本質(zhì)原則必然性和對非本質(zhì)原則可變性的理解。

研究者普遍將兒童鑒別他人數(shù)數(shù)行為的能力和正確數(shù)出物體的能力，分別用來測查兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識的發(fā)展。值得注意的是，雖然必須將概念性和程序性知識分開測查，但必須認(rèn)識到在測量中很難只衡量一種類型的知識而完全排斥另一種類型的知識。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]

已有研究對兒童數(shù)數(shù)概念性知識的發(fā)展進(jìn)行了許多探索，在兒童數(shù)數(shù)概念性知識的發(fā)展研究中，發(fā)現(xiàn)了線性增長和U型發(fā)展兩種模式。所謂的線性增長，就是兒童概念性知識的發(fā)展隨著年齡的增長而不斷趨于成熟，兒童對數(shù)數(shù)本質(zhì)原則的掌握隨著年齡的增長而增強(qiáng)，同時(shí)兒童越來越強(qiáng)地意識到非本質(zhì)原則是可以改變的。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Childrens Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46]U型發(fā)展模式是指在最初發(fā)展階段，兒童對違反非本質(zhì)原則的偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為接受程度很高，隨著他們數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，這種接受度反而會下降;當(dāng)他們的數(shù)數(shù)知識變得更加穩(wěn)定時(shí)，這種接受度又開始增加。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]

兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識之間的關(guān)系也是研究者探討的重點(diǎn)。Gelman等人研究發(fā)現(xiàn)，兒童在掌握數(shù)數(shù)程序性知識之前就對數(shù)數(shù)概念性知識有了很好的理解;而其他研究者則報(bào)告了兒童程序性知識先于概念性知識發(fā)展;Rittle-Johnson等提出數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識是相互交織共同發(fā)展的。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]

已有研究對兒童數(shù)數(shù)概念性知識的考察中只涉及了數(shù)數(shù)概念性知識的某一方面，缺乏系統(tǒng)的探究。此外，大多數(shù)研究僅以兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)中的判斷為評分依據(jù)，這可能會產(chǎn)生誤報(bào)，無法獲得兒童是基于什么理由而做出判斷的。Kamawar等人的研究表明，兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)中的判斷不受數(shù)數(shù)集合大小的影響，然而“兒童對不同數(shù)數(shù)行為的解釋是否受到集合大小的影響”還有待進(jìn)一步研究。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]此外，在為數(shù)不多的以“兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)中的解釋”為評分依據(jù)的研究中，只問了“為什么這樣數(shù)是不對的”，在對數(shù)數(shù)本質(zhì)規(guī)則的解釋中，兒童可能只是復(fù)述了玩偶的數(shù)數(shù)行為，如“他跳著數(shù)了”，難以區(qū)分兒童是理解數(shù)數(shù)的邏輯規(guī)則了，還是從常規(guī)規(guī)則進(jìn)行的解釋。當(dāng)進(jìn)一步追問“跳著數(shù)為何是錯(cuò)的”，有的兒童會說“這里本來有5個(gè)，跳著數(shù)就是4個(gè)，少了”，有部分兒童會回答“我們數(shù)數(shù)不能跳著的”，或者說“大人教的就是不能跳的”。

本研究在前人的研究基礎(chǔ)之上，對兒童數(shù)數(shù)概念性知識所涵蓋的內(nèi)容進(jìn)行梳理，以半結(jié)構(gòu)化的訪談形式較為系統(tǒng)和全面地考察5-7歲兒童數(shù)數(shù)概念性知識的發(fā)展模式，并與數(shù)數(shù)程序性知識進(jìn)行結(jié)合，探討兩種知識之間的關(guān)系。

基于以往的研究，本研究提出以下三種研究假設(shè)：

研究假設(shè)1：兒童對數(shù)數(shù)概念性知識的理解隨著年齡的增加逐步提高，兒童對違反本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的識別優(yōu)于對非本質(zhì)數(shù)數(shù)行為的識別。

研究假設(shè)2：兒童數(shù)數(shù)程序性知識隨著年齡的增加，數(shù)數(shù)的正確率逐步提高，數(shù)數(shù)速度更快。

研究假設(shè)3：兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識呈中等相關(guān)。

二、研究方法

1.研究對象

從上海市某所幼兒園和小學(xué)按照年齡班分層抽樣，共選取141名兒童為研究被試，被試基本來源于社區(qū)中的工薪家庭。選取5歲組（中班）兒童共47名，平均年齡62.41個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差3.60，其中男生25人，女生22人;6歲組（大班）兒童49名，平均年齡73.28個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差3.45，其中男生25人，女生24人;7歲組（一年級）兒童共45名，平均年齡84.76個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差3.38，其中男生23人，女生22人。

2.研究工具

（1）數(shù)數(shù)行為探測任務(wù)

數(shù)數(shù)行為探測任務(wù)是根據(jù)Kamawar等人和Rodrígue及其合作者采用的數(shù)數(shù)探測任務(wù)改編而成。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.][Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Childrens Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46.]

在實(shí)驗(yàn)任務(wù)中有28個(gè)數(shù)數(shù)行為需要兒童進(jìn)行判斷，其中包括4個(gè)正確數(shù)數(shù)行為、8個(gè)違反本質(zhì)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為和16個(gè)違反非本質(zhì)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為。其中一半數(shù)數(shù)行為涉及小集合（物體數(shù)量為3—5個(gè)），另一半涉及大集合（物體數(shù)量為11—13個(gè)），實(shí)驗(yàn)任務(wù)中玩偶數(shù)數(shù)行為的呈現(xiàn)順序是隨機(jī)的。

在數(shù)數(shù)行為探測任務(wù)中，被試將看到小狗拿著小木棒數(shù)各種各樣排成一行的物品，如菠蘿等。實(shí)驗(yàn)任務(wù)通過電腦屏幕呈現(xiàn)，這種任務(wù)呈現(xiàn)方式對每個(gè)被試來說，玩偶總是以相同的語速和語調(diào)來數(shù)數(shù)。玩偶的數(shù)數(shù)行為結(jié)束后，主試就問：“小狗是數(shù)對了，還是數(shù)錯(cuò)了？”在兒童回答之后，主試會問一些問題來讓兒童澄清理由，如“你是怎么知道小狗數(shù)的是對的”或“小狗數(shù)數(shù)的時(shí)候哪里不對了”等。

在對不同類型的數(shù)數(shù)行為的判斷計(jì)分上，兒童拒絕違反本質(zhì)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為，計(jì)1分;兒童接受違反偽錯(cuò)誤的數(shù)數(shù)行為，計(jì)1分;在對不同數(shù)數(shù)類型的解釋上，兒童能對不同數(shù)數(shù)行為背后的邏輯規(guī)則進(jìn)行解釋，計(jì)1分。

（2）唱數(shù)任務(wù)

采用趙振國編制的幼兒數(shù)感測查工具中的唱數(shù)部分，共有22個(gè)題目，滿分為69分。[趙振國：《3～6歲兒童數(shù)感發(fā)展的研究》，《心理發(fā)展與教育》2008年第4期，第8-12頁。]

（3）數(shù)物體任務(wù)

改編自Lefevre及其合作者采用的數(shù)物體任務(wù)施測，通過E-prime編程將一系列隨機(jī)排列的物體呈現(xiàn)在電腦屏幕上，讓兒童盡可能快速且準(zhǔn)確地說出屏幕上有多少物體，并按相應(yīng)的數(shù)字鍵，共有21個(gè)試次，其中3個(gè)是練習(xí)，其余為正式施測項(xiàng)目。在每個(gè)試次中呈現(xiàn)的所有物體外觀都是相同的，這些物體的數(shù)量從1到10不等。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]

（4）兒童表達(dá)性詞匯測試（EVT）

采用兒童表達(dá)性詞匯測試（EVT）評估兒童的一般語言能力，共有66道題。若兒童在連續(xù)7題中答錯(cuò)任意5題，就停止測試。最高題項(xiàng)減去錯(cuò)誤題目數(shù)就等于兒童在EVT上的得分。

3.實(shí)驗(yàn)程序

由通過專業(yè)培訓(xùn)的學(xué)前教育專業(yè)研究生擔(dān)任，所有測驗(yàn)一對一進(jìn)行，每位被試測試兩次，每次測驗(yàn)的時(shí)間為25分鐘左右。

三、研究結(jié)果

1.5—7歲兒童數(shù)數(shù)概念性知識的發(fā)展

（1）不同年齡組兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)上的整體表現(xiàn)

每個(gè)年齡組的兒童對正確數(shù)數(shù)行為的判斷的平均正確率達(dá)到了95%以上，這些數(shù)據(jù)不再納入后續(xù)的分析中。各年齡組兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)上的表現(xiàn)見表1。

以兒童在EVT上的得分為協(xié)變量，以兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)中的正確率進(jìn)行“6（數(shù)數(shù)類型）×2（反應(yīng)類型）×3（年齡）”三因素混合重復(fù)測量方差分析，結(jié)果表明，數(shù)數(shù)類型主效應(yīng)顯著[F（5， 134）=47.85，p<0.001，η2=0.64]，表明兒童在對違反不同數(shù)數(shù)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為的識別上存在顯著差異;反應(yīng)類型主效應(yīng)顯著[F（2， 139）=221.32，p<0.001，η2=0.61]，表明兒童對數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋差異顯著;年齡主效應(yīng)顯著[F（2， 138）=19.61，p<0.001，η2=0.22]，說明不同年齡的兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)中的表現(xiàn)存在顯著差異。數(shù)數(shù)類型和反應(yīng)類型的交互作用顯著[F（5， 134）=24.62，p<0.001，η2=0.48]。

其一，對數(shù)數(shù)類型的主效應(yīng)進(jìn)行事后分析發(fā)現(xiàn)，兒童對違反“一一對應(yīng)”和“標(biāo)準(zhǔn)方向”原則的判別最高，其次是對違反“抽象原則”和“空間連續(xù)性原則”的數(shù)數(shù)行為的判別，再次是對違反“時(shí)間連續(xù)性原則”數(shù)數(shù)行為的判別，對違反“時(shí)空連續(xù)性原則”的判別最低。其二，對反應(yīng)類型主效應(yīng)進(jìn)行事后分析發(fā)現(xiàn)，兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)上的判斷正確率顯著高于解釋正確率。其三，對年齡主效應(yīng)進(jìn)行事后分析發(fā)現(xiàn)，5歲組和6歲組的兒童在數(shù)數(shù)概念性的理解上差異不顯著，7歲組兒童對數(shù)數(shù)概念性知識的理解顯著高于5歲組和6歲組。其四，在數(shù)數(shù)類型和反應(yīng)類型的交互作用進(jìn)行簡單效應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)，兒童對違反“空間連續(xù)性原則”數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋差異不顯著，在其他類型的數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋差異均顯著。

此外，數(shù)數(shù)探測任務(wù)中的集合大小不影響兒童對數(shù)數(shù)行為的判斷[t（140）=-1.654，p>0.05]和解釋[t（140）=-1.624，p>0.05]。

（2）兒童對數(shù)數(shù)概念性知識掌握的聚類分析

數(shù)數(shù)概念性理解要求兒童既能拒絕違反本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為，又能接受只違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為?？紤]到兒童在數(shù)數(shù)探測任務(wù)上的整體反應(yīng)模式，基于Kamawar及其合作者的研究，采用K均值聚類的方法，將兒童在數(shù)數(shù)概念性知識上對錯(cuò)誤和偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋的表現(xiàn)分為三種類型：不穩(wěn)定型（n=52）、僵硬型（n=41）和理解型（n=48）。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]類別檢驗(yàn)的結(jié)果表明，參與聚類分析的四個(gè)指標(biāo)能很好地區(qū)分各類，類間的差異足夠大（p<0.01）。數(shù)數(shù)概念性知識理解型的兒童在判斷和解釋錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為和偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為上完成度比較好;數(shù)數(shù)概念性知識僵硬型的兒童能夠正確地判斷錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為，但不善于解釋錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為背后的邏輯原則，將偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為視為無效的數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)概念性知識不穩(wěn)定型的兒童可以判斷和解釋一些偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為，能識別部分錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為，但在解釋錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為時(shí)會發(fā)生偏差。

如圖1所示，不同年齡組的兒童在數(shù)數(shù)概念性知識上的反應(yīng)模式存在顯著的差異，Symbol`@@SymbolcA@2（4）=29.89，Cramers V=0.32， p<0.01。5歲組的兒童在數(shù)數(shù)概念性知識上的表現(xiàn)屬于不穩(wěn)定型的居多，SymbolcA@2（2）=16.25，p<0.01;7歲組的兒童在概念性知識上屬于理解型的居多SymbolcA@2（4）=16.50，p<0.01。

2.5-7歲兒童程序性知識的發(fā)展

不同年齡組兒童在數(shù)數(shù)程序性知識上的表現(xiàn)如表2所示。

為了考察不同年齡組兒童在數(shù)數(shù)程序性知識任務(wù)上表現(xiàn)的差異，以兒童在這三個(gè)任務(wù)上的表現(xiàn)為因變量，以年齡和性別為自變量，進(jìn)行多元方差分析。結(jié)果顯示，不同年齡組的兒童在數(shù)數(shù)程序性知識上[F（2，135）=28.25，p<0.001，η2=0.29]，數(shù)物體正確率[F（2，135）=17.35，p<0.001，η2=0.20]和數(shù)物體反應(yīng)時(shí)[F（2，135）=26.25，p<0.001，η2=0.28]上的主效應(yīng)顯著，性別在數(shù)數(shù)程序性知識上的主效應(yīng)不顯著，年級和性別交互作用不顯著。進(jìn)一步對各個(gè)年齡組在不同任務(wù)上的表現(xiàn)的均值做事后檢驗(yàn)，兩兩比較年級間差異。結(jié)果表明，隨著年齡的增長，兒童在唱數(shù)任務(wù)上表現(xiàn)更好，數(shù)物體的正確率逐步提高，數(shù)物體的速度更快。

3.數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識的相關(guān)分析

采用相關(guān)分析考察兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識之間的關(guān)系，結(jié)果如表3所示。兒童在數(shù)數(shù)概念性知識任務(wù)和程序性知識任務(wù)上的表現(xiàn)大多存在極其顯著的相關(guān)，只有兒童對違反非本質(zhì)原則的判斷和數(shù)物體的正確率之間存在顯著相關(guān)，還有兒童對違反數(shù)數(shù)本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的判斷和數(shù)物體反應(yīng)時(shí)之間的相關(guān)性不顯著。

數(shù)數(shù)概念性知識上的判斷和解釋，與數(shù)數(shù)正確率呈中等程度正相關(guān)（r>0.4）;兒童對不同數(shù)數(shù)行為的解釋均和唱數(shù)呈中等程度正相關(guān)（r>0.3），和數(shù)物體反應(yīng)時(shí)呈中等程度負(fù)相關(guān)（r<-0.3）。兒童在數(shù)數(shù)概念性知識上的解釋和程序性知識的相關(guān)程度要高于對概念性知識的判斷，兒童對違反本質(zhì)原則數(shù)數(shù)行為的解釋和程序性知識的相關(guān)系數(shù)，均高于其他概念性知識任務(wù)上的表現(xiàn)和程序性知識的相關(guān)系數(shù)。

四、討論與分析

1.兒童數(shù)學(xué)概念性知識和程序性知識的發(fā)展

本研究表明，隨著年齡的增長，兒童對違反本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的區(qū)分能力日益增強(qiáng)，與Rodríguez等人研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)一致。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Childrens Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]然而LeFevre等人的研究發(fā)現(xiàn)，5—8歲的兒童對違背本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的識別隨著年齡的增長而增加，然而很多兒童拒絕了那些違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為，令人感到驚奇的是與5—6歲的兒童相比，7—8歲的兒童更容易拒絕違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為，也就是說他們難以區(qū)分?jǐn)?shù)數(shù)的本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則，將兩者視為同等重要[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但本研究并沒有發(fā)現(xiàn)這一U型趨勢。本研究發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)探測任務(wù)中，數(shù)數(shù)集合大小不影響兒童的判斷和解釋，這與Kamawar等人的研究結(jié)果一致。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al. Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？[J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]

盡管兒童的數(shù)數(shù)程序性知識整體較好，但他們對數(shù)數(shù)概念性知識的理解不完整也不靈活。和以往研究有所不同的是，兒童對違反本質(zhì)原則的識別并非總是優(yōu)于其他類型，兒童對違反“一一對應(yīng)”和“標(biāo)準(zhǔn)方向”原則數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋要優(yōu)于其他，其次是對違反“抽象原則”和“空間連續(xù)性原則”的數(shù)數(shù)行為的判別，對違反“時(shí)空連續(xù)性原則”數(shù)數(shù)行為的正確判斷和解釋弱于其他類型。主要有兩種可能的原因：一是研究中沒有系統(tǒng)把違反本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為綜合起來考察;二是即使在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，概念性知識也可能有相當(dāng)大的可變性，如Canobi的研究發(fā)現(xiàn)，6—8歲的兒童對加減運(yùn)算概念性知識理解中，對交換律的識別要優(yōu)于對補(bǔ)充律的識別。[Canobi K H . Individual Differences in Childrens Addition and Subtraction Knowledge[J]. Cognitive Development， 2004， 19（1）：81-93.]

兒童對數(shù)數(shù)概念性知識的全面掌握是一個(gè)長期而漸進(jìn)的過程。[Lago M O ， Rodríguez， Purificación， Escudero A ， et al. Detection of Counting Pseudoerrors： What Helps Children Accept Them？[J]. British Journal of Developmental Psychology， 2015， 34（2）：169-180.]教育者普遍認(rèn)為，能唱數(shù)的兒童知道如何數(shù)數(shù)，并且準(zhǔn)備開始學(xué)習(xí)更高層次的算術(shù)技能，比如加減法。然而，真正意義上的學(xué)會數(shù)數(shù)是一個(gè)漫長而復(fù)雜的過程，它并不僅僅是會背數(shù)和識數(shù)，還需理解數(shù)數(shù)要實(shí)現(xiàn)一組本質(zhì)原則，同時(shí)忽略不必要的非本質(zhì)原則，即使兒童進(jìn)入小學(xué)一年級這一發(fā)展過程仍在繼續(xù)。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Childrens Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]為什么即使小學(xué)一年級兒童也難以協(xié)調(diào)數(shù)數(shù)本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征呢？這可能與在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中對規(guī)則的強(qiáng)調(diào)有關(guān)，那些嚴(yán)格遵守規(guī)則的兒童往往能取得更高的分?jǐn)?shù)。在這些

被強(qiáng)調(diào)的規(guī)則中，一些規(guī)則是數(shù)學(xué)中的規(guī)律，而另一些僅僅是常規(guī)。在這種情況下，兒童會按部就班地、機(jī)械地接受某些特定的步驟來減少錯(cuò)誤，他們難以接受那些違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為。

2.兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識的關(guān)系

本研究中兒童的數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識呈顯著中等程度相關(guān)，說明那些在數(shù)數(shù)概念性知識上表現(xiàn)更好的兒童在唱數(shù)和數(shù)物體上表現(xiàn)也很好，對數(shù)數(shù)規(guī)則透徹的理解和熟練的程序性技能是密切聯(lián)系的。盡管LeFevre等人的研究發(fā)現(xiàn)兒童數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識是呈弱相關(guān)的[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但是還有不少研究證實(shí)兒童數(shù)學(xué)概念性知識和程序性知識之間有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，如Canobi發(fā)現(xiàn)加法概念性知識高水平兒童在解決加法問題時(shí)更快、更準(zhǔn)確，并且比其他兒童能使用更復(fù)雜的解決問題的程序。[Canobi K H . Childrens Profiles of Addition and Subtraction Understanding[J]. Journal of Experimental Child Psychology，2005， 92（3）：220-246.]

Rittle-Johnson等人提出數(shù)學(xué)概念性知識和程序性知識是相互促進(jìn)、迭代發(fā)展的，一旦兒童發(fā)展了一種知識，則會促進(jìn)另一種知識的發(fā)展，第二種知識的發(fā)展反過來又會促進(jìn)第一種知識的發(fā)展。在后續(xù)的研究中，可以通過干預(yù)某一類知識來考察對另一種知識的促進(jìn)程度，或者是通過追蹤研究來更深入地探討數(shù)數(shù)概念性知識和程序性知識之間的關(guān)系。

五、結(jié)論與啟示

1.創(chuàng)設(shè)多種數(shù)數(shù)情境，通過反省抽象促進(jìn)兒童數(shù)數(shù)概念性知識的發(fā)展

數(shù)數(shù)概念性知識包括對數(shù)數(shù)本質(zhì)原則必然性和對非本質(zhì)規(guī)則可變性的理解，盡管有的兒童已經(jīng)理解了數(shù)數(shù)本質(zhì)原則，但是無法在數(shù)數(shù)本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則之間進(jìn)行協(xié)調(diào)。在教育實(shí)踐中，教育者常常為兒童提供傳統(tǒng)的數(shù)數(shù)行為規(guī)則，如從左到右連續(xù)數(shù)，很少讓兒童去觀察非傳統(tǒng)數(shù)數(shù)，如從中間數(shù)。這可能會讓兒童認(rèn)為傳統(tǒng)的數(shù)數(shù)行為才是最合理和正確的，他們能很快去模仿這些傳統(tǒng)數(shù)數(shù)行為，能夠正確數(shù)出集合中物體的數(shù)量，而忽視了其中的邏輯規(guī)則。有研究已經(jīng)表明，小學(xué)低年級數(shù)學(xué)困難兒童的數(shù)數(shù)概念性知識并不成熟，與普通兒童相比更弱。[Geary D C ， Hoard M K ， Byrd-Craven J ， et al. Strategy Choices in Simple and Complex Addition： Contributions of Working Memory and Counting Knowledge for Children with Mathematical Disability[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2004， 88（2）：121-151.]