數學建模思想滲透于概率論與數理統(tǒng)計教學的實踐

王宏軍

(山西醫(yī)科大學 汾陽學院，山西 汾陽 032200)

所謂的數學建模，就是將問題做出假設并簡化，用數學符號寫出表達式或者表示成圖表、圖示等，根據表達式或者圖表建立模型，并對所建立的模型進行分析、求解、評價、檢驗和應用在實踐中。是一個可以將現實系統(tǒng)的內在聯系和外在特征表示出來的數學工具。目前，各種模型尤其是概率模型被廣泛應用于生產實踐中，可以說模型在現實生活中無處不在，所以數學建模的思想顯得愈發(fā)重要。

一、概述數學建模思想

數學建模的中心思想主要是透過問題表象看到問題的實質和其內在規(guī)律，然后將問題用數學表符號表示出來。也就是運用數學那種發(fā)現問題、分析問題、解決問題的思想和方法解決現實中的問題，即首先將問題做出假設并簡化，用數學符號寫出表達式或者表示成圖表、圖示等，根據表達式或者圖表建立模型，并對所建立的模型進行分析、求解、評價、檢驗和應用在實踐中。邏輯思維、推理能力、計算能力等對于數學學科的學習固然重要，但將知識運用到實踐中的能力也是非常重要的，而很多學校的教育都重視學生的邏輯思維的培養(yǎng)而忽略了學生的實踐應用能力[1]。為了應對這種教育方式的不足，很多學者和高校對教育體系、教育內容、教育方式等做了深入的研究和探討，繼而教育體系的改革、教學內容的改革及教育方式的改革等都陸續(xù)發(fā)生在很多高等院校及中小學院校中。面對這些改革，培養(yǎng)適應新的教育體系的新型教師是當前的首要任務。但是，雖然近幾年我國的數學專業(yè)在多方面(如教學內容、教學方法、教學方式、課程體系等方面)都進行了一系列的改革，新的教育體系對新型教育人才的需求卻遠遠超過了改革的速度。主要表現在以下幾個方面：

(1)數學教學體系仍然以單一學科自身為重點，重視學生對專業(yè)課程自身的學習而忽略學生的實踐應用能力，使數學學科與其他學科嚴重割裂，即相對于與其他學科的聯系相比更加重視本學科。這樣很難培養(yǎng)學生的整體數學觀點，而且使本專業(yè)學生應用專業(yè)知識能力很差，無法提高專業(yè)水平。

(2)隨著社會文化的發(fā)展和科學技術的進步，數學專業(yè)的新教學體系應該有所改進，教學內容應該涵括近代數學研究的成果，但是，恰恰相反，大多數高校的數學教學內容仍然僅僅是傳統(tǒng)的數學內容，這樣陳舊老化的教學體系脫離了現代教育的現狀，不利于學生的學習。

(3)雖然傳統(tǒng)的數學教學方式和教學內容對學生的學習和發(fā)展也是有幫助的，但在學生將專業(yè)知識實踐在社會生活中已經不再適用?，F代數學教育體系要求在傳統(tǒng)的教學體系基礎上培養(yǎng)學生的數學建模思想，能將專業(yè)知識熟練應用于現實生產生活及各個領域之中[2]。將數學學科與其他學科緊密聯系起來，滲透數學建模思想，培養(yǎng)學生的實踐應用能力，這樣既適應了現代社會對人才需求的趨勢，又進一步推進了數學學科教育事業(yè)的發(fā)展，對實踐和應用型的發(fā)展具有重大的理論和實際意義。

二、數學建模思想融入概率論與數理統(tǒng)計課程教學中的必要性

概率論和數理統(tǒng)計學科中也包含了很多類似于建立模型、變換模型、構造方法、將模型數量化等數學方法，是一門將邏輯思維與理性思維相結合的學科，分析和模型化的方法在概率論和數理統(tǒng)計學的教學中也是必不可少的。近年來，我國開展了很多有關數學建模的競賽，而從競賽題目中可以很明顯地看出數學建模競賽題目中所涉及的知識面越來越廣，尤其是概率論及統(tǒng)計學方面的知識。例如，2010年，大學生數學建模比賽中有關儲油罐與罐容表標定的題目；2011年，大學生數學建模比賽中關于交巡警服務平臺的設置與調度的題目；而葡萄酒的評價與腦卒中發(fā)病因素是2012年大學生數學建模比賽的題目；2013年，大學生數學建模比賽的題目是城市交通與共享單車的問題，這些題目多多少少都涉及了概率論和統(tǒng)計學的知識。但是，在比賽過程中發(fā)現，很多同學數學理論知識學習得很好，但真正面對問題時完全忽略了對真實數據的統(tǒng)計、研究和分析，也沒有預估和假設檢驗所建立的模型，而只是單一地使用統(tǒng)計軟件按照一些時間順序或假設來建立模型，甚至有的同學面對問題時完全想不到運用概率論和統(tǒng)計學知識[3]。由此看來，數學建模思想對概率論和數理統(tǒng)計的學習是非常重要的，也是非常必要的。只有培養(yǎng)學生在概率論和數理統(tǒng)計的學習中建立數學建模思想，學生才能將理論知識與實際問題結合起來，真正做到學有所用。

1.由數學模型引入概率論與數理統(tǒng)計課程

要想將數學建模思想滲透進概率論與數理統(tǒng)計的學習中，就要將數學建模引進到課程中讓學生對其產生興趣。就像“三門一羊”這種等可能概型問題，教師可以將其組織成一場游戲，讓全班同學都參與進來，并分成A、B、C三組，將門分成M、N、S三種，然后讓AB兩組的同學在M、N、S中隨機抽取兩扇門，讓C組同學抽取一種門，這樣可以讓每一位同學都體會到學科的特點并引起興趣，教師在課程中還可以像講故事一樣，將概率統(tǒng)計的歷史背景和由來講給學生聽，或者出一些簡單并貼近現實生活的問題讓學生思考，進一步激發(fā)學生對本門學科的學習興趣。例如，在日常生活中經常做的猜硬幣的行為，假設兩個人就猜硬幣正反面來賭200元錢，約定先猜對3局的人勝利并贏得200元，而在進行了3局后，其中一人贏了兩局，另外一個人贏了一局，那么這時讓學生思考一下這時兩個人應該都拿多少錢才算公平呢?然后在學習等可能概型事件后，再讓大家思考這個問題，并讓學生根據所學的等可能事件和全概率事件的公式用不同的方法來計算兩人應該得到的錢數[4]。即在5局之后必有一人勝出，而現在已經進行了3局，所以剩下的兩局有4種可能，根據每種可能最后得出已經贏了2局的人應該分得150元，贏得1局的人應該分得50元。這樣不僅增加了課堂樂趣，還有助于提高學生的學習興趣。

2.有利于加強教材建設

在學習的過程中，學生是主體，教師則起到引導作用。教師根據教材內容引導學生來學習，而現在很多概率論與數理統(tǒng)計課程教材內容過于陳舊，所以，在能讓學生掌握傳統(tǒng)教材知識的同時，要對概率論與數理統(tǒng)計課程教材進行改革，這種改革的主要目的是增加理論與實踐相結合的部分，即降低某些知識點的難度，增加部分應用問題在教材中。其中《經濟應用數學基礎(三)概率統(tǒng)計分冊》就是一本既有基礎知識又有應用案例的教材，這本教材在每一章節(jié)后面都加入了一個能應用本章理論知識解決的應用性問題，這樣可以使學生將理論知識和時間問題結合起來，舉一反三，激發(fā)學習興趣，提高學習效率，真正感受到概率論與數理統(tǒng)計的使用性，為以后的學習和應用打下良好的基礎。

3.鼓勵和培養(yǎng)學生參加數學建模競賽

早在1985年，美國舉辦了第一屆數學建模大賽，競賽以實際問題的解決為主自主選題，要求三個人一組在三天內完成選題和相關論文。我國的大學生數學建模大賽的舉辦是在1992年，隨著文化教育的發(fā)展，我國大學生數學建模大賽題目涉及的知識和領域越來越廣泛，尤其是概率論和數理統(tǒng)計方面的知識。很多同學都對數學建模感興趣，但其概率和統(tǒng)計學等數學方面的基礎不太好，那么就需要教師的指導和幫助。很多教師在大學一年級講高等數學時就會簡單向學生介紹數學建模，然后，在課下指導對此感興趣的學生，讓他們學習相關軟件(如Word, Excel, Lingo,SPSS和MATLAB等軟件)并查閱相關資料，提前為參加數學建模大賽做準備[5]。并且學校還專門設立了數學建模的課程且對學生進行考核和選拔，使對數學建模感興趣的學生有學習的機會。汾陽學院在2002年開始組織學生參加數學建模大賽，一直以來取得的成績都比較優(yōu)異。

三、數學建模思想滲透于概率論與數理統(tǒng)計教學的實踐

一直以來，數學在日常生活中扮演一個重要的角色，在各個領域的作用也都非常重要。概率論和統(tǒng)計學同樣在生活中發(fā)揮著非常重要的作用。例如，隨著社會經濟的發(fā)展，越來越多的人注重理財和投資，而這時，概率和統(tǒng)計學就會起到非常大的作用。而且概率和統(tǒng)計學理論早在1953年就已經被美國的一位學者應用到現實中，這位學者創(chuàng)立了可以幫助人們以最小的風險達到最大收益的證券組介理論。然后，布萊克和斯科爾斯作為美國的經濟學家在1974年運用了概率和統(tǒng)計學的定理創(chuàng)造了聞名世界的布萊克一斯科爾斯公式，這一創(chuàng)作進一步推進了數學的發(fā)展。近幾年，不僅投資和理財的人越來越重視概率統(tǒng)計學的作用，而且概率統(tǒng)計學還引起了很多高校的高度重視，尤其是概率統(tǒng)計學在證券交易中的作用。

現實生活中很多人都買過彩票，很多人甚至希望通過買彩票來發(fā)家致富，所以就一直買彩票，甚至不惜花費幾萬甚至幾十萬去買彩票，但學過概率和統(tǒng)計學知識的人就會知道，這樣發(fā)家致富的概率基本上是千萬分之一，也就是說中獎的概率是非常小的，中獎的人也是非常少的，那么如果想靠買彩票來發(fā)家致富的人更是大錯特錯，由此可以看出，概率統(tǒng)計學在人們生活中的重要性。

當然概率統(tǒng)計學的作用不僅僅局限于證券或者彩票交易中，在很多其他專業(yè)領域也需要用概率統(tǒng)計的知識來解決問題。比如，類似于對市場上蔬菜水果的需求量和合理價格的預測這種經濟貿易領域的問題、發(fā)貨時間和數量等物流管理專業(yè)方面的問題、機械維修和產品質量檢測等機械專業(yè)的相關問題等很多專業(yè)領域的問題都與概率統(tǒng)計學有關。還有在學校教學過程中，可以總結歷年來在數學建模競賽中的經驗，并讓學生搜集一些大賽中比較優(yōu)秀的論文來學習，這樣可以激發(fā)學生的學習興趣，增強學生的學習能力，提高學生的學習效率，對概率統(tǒng)計學的學習更加深刻[6]。從學生反饋和教學實踐來看，這種方法對學生的數學建模思想的建立和概率統(tǒng)計學的學習都有很大的幫助。

四、經典建模問題的概率統(tǒng)計解法

概率論是數理統(tǒng)計學的前提。但是，概率論的研究對象是隨機變量，其研究隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。數理統(tǒng)計則是首先抽取一部分研究對象，然后對相應的數據進行統(tǒng)計研究。因此，概率論和數理統(tǒng)計在很多方面是不同的，例如，思考問題的出發(fā)點，思考方式和所適用的領域等方面，數理統(tǒng)計是根據對數據資料的研究和統(tǒng)計來解決問題，這也是與概率論的最大不同之處。而數學建模思想是一種涉及知識和領域非常廣泛、并將各方面知識相結合的思想，并且解決問題的過程中很多時候都要依靠概率論和數理統(tǒng)計的理論知識。

在數學建模中，在很多問題的解決中都應用了數理統(tǒng)計中的對數據進行分析、求解、檢驗等數學思想方法，例如，對產品的銷售額進行預測的問題、預估產品售價和銷量的問題、估計學生某學科平均成績的問題等?？梢哉f，數學建模思想和概率論與數理統(tǒng)計的思想是相輔相成，不可分割的。這樣的案例也有很多，例如，摸不同顏色球的概率、不同事件配對和貨車裝運等隨機事件的問題，像某些收益變化和開水房水龍頭數量等隨機變量問題。在解決諸如此類的問題時，將數學建模思想和概率論與數理統(tǒng)計的思想相結合，并將理論與實踐相結合，這樣既拓展了學生的思維，有增加了學生知識面，使學生可以獨立解決現實中的數學建模問題。

五、概率統(tǒng)計在數學建模中應用意義

在概率論和統(tǒng)計學的學習過程中培養(yǎng)學生的數學建模思想是需要一個過程的，不能急于求成，教師要在教學過程中不斷引導學生，激發(fā)學生的學習興趣，并將課本中的理論知識與實際問題相結合，培養(yǎng)學生自主解決問題的能力，讓學生在學習過程中真正體會到數學建模思想的重要性，并在教師的指導和幫助下用數學建模思想解決問題，真正做到學有所用。

六、結語

總而言之，通過對數學建模思想在概率論與數理統(tǒng)計學習中作用的探討，確定數學建模思想在學生學習過程中的重要性，不僅可以將概率論與數理統(tǒng)計的理論知識和現實生活中的實際問題緊密聯系起來，還可以拓展學生的思維，增強學生的實踐能力，使學生發(fā)展成為實踐型和應用型人才。