基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的探究性教學(xué)的反思

王曉燕

[摘? 要] 研讀教材，精選探究主題，通過設(shè)計(jì)延伸探究、逆向探究、類比探究、實(shí)驗(yàn)探究等方法，建構(gòu)探究性教學(xué)，提升學(xué)生課堂復(fù)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);探究性教學(xué)

培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的一個(gè)重要體現(xiàn)，它標(biāo)志著學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面是否獲得良好教育. 因此，作為一線數(shù)學(xué)教師，積極探索提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法，尋找提升核心素養(yǎng)的途徑，是我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師肩負(fù)的責(zé)任和重?fù)?dān).

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家Yuri Oganessian（尤里·奧加涅相）在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中指出：“必須重視，很多習(xí)題潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性……”然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，大多數(shù)教師擅長(zhǎng)將教材知識(shí)進(jìn)行整合，他們只是教材的搬運(yùn)工，他們用教材，并沒有深刻挖掘教材的隱性知識(shí)，也沒花時(shí)間去仔細(xì)研究教材習(xí)題的地位和作用，更沒有研發(fā)例題、習(xí)題的相關(guān)資源，從而浪費(fèi)了很多寶貴的教學(xué)素材，導(dǎo)致教學(xué)效率不高. 我們知道，課本例題、習(xí)題都是數(shù)學(xué)專家精心編撰的，符合中學(xué)生的心理特點(diǎn)和生理成長(zhǎng)特點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)接觸最多的最有代表性的素材. 教材開發(fā)專家博眾家之長(zhǎng)，精心鉆研，仔細(xì)推敲，精心編寫，才形成今天的系統(tǒng)教材. 研讀教材，深度挖掘教材例題、習(xí)題的功能，設(shè)計(jì)探究教學(xué)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在人教版選修2-1第二章“圓錐曲線和方程”的“習(xí)題2.4”中，教材安排了一道關(guān)于“拋物線中的直角問題”的習(xí)題. 考慮到所帶班級(jí)為重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力;與此同時(shí)，又是復(fù)習(xí)課，難度可以適當(dāng)放大. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，筆者本人立足教材，仔細(xì)研究教材習(xí)題，設(shè)計(jì)了一堂圍繞“圓錐曲線中的垂直問題”的探究性教學(xué)，效果頗好，在此分享，供大家參考. 若有不當(dāng)之處，請(qǐng)多多指教.

■原題的呈現(xiàn)及解答

問題呈現(xiàn)：設(shè)直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

問題解答：

方法1：聯(lián)立y=x-2，y2=2x，得x2-6x+4=0.

所以A（3-■，1-■），B（3+■，1+■）.

所以k■·k■=■×■= -1，所以O(shè)A⊥OB.

方法2：在方法1的基礎(chǔ)上，運(yùn)用斜率來解決垂直條件.

由韋達(dá)定理得x■+x■=6，x■x■=4.

所以y■y■=（x■-2）·（x■-2）=x■x■-2（x■+x■）+4=-4.

所以k■·k■=■.■=-1，所以O(shè)A⊥OB.

方法3：在方法1的基礎(chǔ)上，運(yùn)用向量知識(shí)來解決垂直條件.

設(shè)點(diǎn)A（x■，y■），B（x■，y■），則■=（x■，y■），■=（x■，y■）.

？搖？搖所以■·■=x■x■+y■y■=4-4=0，所以O(shè)A⊥OB.

■構(gòu)建探究過程

1. 延伸探究

其實(shí)，如果我們仔細(xì)研究直線方程和拋物線方程，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=1，直線過定點(diǎn)（2，0），定點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的兩倍. 于是，我們可以大膽地猜想，引導(dǎo)學(xué)生把問題結(jié)論延伸到一般性的問題，從而得出以下結(jié)論.

變式1：若直線y=x-2p與拋物線y2=2px（p>0）相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：OA⊥OB.

證明：將y=x-2p代入y2=2px中，得（x-2p）2=2px，即x2-6px+4p2=0.

方法1：解方程得A（（3-■）p，（1-■）p），B（（3+■）p，（1+■）p）. ？搖？搖？搖？搖 因?yàn)閗■·k■=■×■=-1，所以O(shè)A⊥OB.

方法2：由韋達(dá)定理得x■+x■=6p，x■x■=4p2，

所以y■y■=（x■-2p）·（x■-2p）=x■x■-2p（x■+x■）+4p2=-4p2，

所以k■·k■=■.■=-1，所以O(shè)A⊥OB.

方法3：設(shè)點(diǎn)A（x■，y■），B（x■，y■），則■=（x■，y■），■=（x■，y■），

所以■·■=x■x■+y■y■=4p2-4p2=0，所以O(shè)A⊥OB.

2. 逆向探究

教學(xué)中，我們不能局限于自己的固有思維，完全可以嘗試打破慣性思維的束縛，通過設(shè)置逆向探究，幫助學(xué)生從另一個(gè)角度認(rèn)識(shí)問題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行探究，把握問題的本質(zhì). 試想：如果以問題的結(jié)論為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行逆推，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)呢？于是，我們又可以得出以下結(jié)論：

變式2：直線AB與拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線AB過定點(diǎn)（2p，0）.

證明：設(shè)直線AB：y=kx+b（b≠0），代入拋物線y2=2px，得（kx+b）2-2px=0，即k2x2+（2kb-2p）x+b2=0.

由韋達(dá)定理可得：x■+x■=■，x■x■=■.

所以y■y■=（kx■+b）·（kx■+b）=k2x■x■+bk（x■+x■）+b2=■.

因?yàn)镺A⊥OB，所以■·■=x■x■+y■y■=■+■=■=0.

所以b+2pk=0，所以b=-2pk.

所以直線AB過定點(diǎn)（2p，0）.

3. 類比探究

我們知道，圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線有著相似密切的關(guān)系，它們?cè)诙x、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等方面都有一定相似，于是在教學(xué)中，我們可以適當(dāng)設(shè)置類比遷移、猜想與論證，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究. 譬如，對(duì)于上述問題，我在實(shí)際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比探究后，發(fā)現(xiàn)還有如下結(jié)論：

變式3：點(diǎn)P（-a，0）為橢圓■+■=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作互相垂直的弦PA和PB，求證：直線AB必過定點(diǎn)■，0（e為橢圓的離心率）.

證明：設(shè)直線AB：y=kx+m（m≠0），代入橢圓■+■=1，得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0.

由韋達(dá)定理可得x■+x■=-■，x■x■=■（？鄢）.

因?yàn)镻A⊥PB，所以■·■=（x■+a）（x■+a）+y■y■=0，

即（1+k2）x■x■+（a+km）（x■+x■）+a2+m2=0.

將（？鄢）式代入并整理得m=■=■，所以直線AB過定點(diǎn)■，0.

變式4：點(diǎn)P（a，0）為雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作互相垂直的弦PA和PB，求證：直線AB必過定點(diǎn)■，0（e為雙曲線的離心率）.

證明：設(shè)直線AB：y=kx+m（m≠0），A（x■，y■），B（x■，y■），代入雙曲線■-■=1，得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.

由韋達(dá)定理可得x■+x■=■，x■x■=■（？鄢）.

因?yàn)镻A⊥PB，所以■·■=（x■-a）（x■-a）+y■y■=0，

即（1+k2）x■x■+（km-a）（x■+x■）+a2+m2=0.

將（？鄢）式代入并整理得m=-■，所以直線AB過定點(diǎn)■，0.

4. 實(shí)驗(yàn)探究

在變式3中，PA，PB過橢圓■+■=1的左頂點(diǎn)P（-a，0）時(shí)，直線AB過點(diǎn)■，0;引導(dǎo)學(xué)生分析，“定點(diǎn)”和“頂點(diǎn)”之間是否有聯(lián)系？如果“頂點(diǎn)”變成橢圓上任意一點(diǎn)P（x■，y■），則直線AB還過定點(diǎn)嗎？于是，筆者通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，借助幾何畫板，讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)，從而得出以下結(jié)論.

變式5：過橢圓■+■=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P（x■，y■）作兩條互相垂直的弦PA和PB，則直線AB必過定點(diǎn)■x■，-■y■（證明類似定理1）.

同理，類比到雙曲線和拋物線中，我們還可以得出以下兩個(gè)結(jié)論：

變式6：過雙曲線■-■=1上任意一點(diǎn)P（x■，y■）作兩條互相垂直的弦PA和PB，則直線AB必過定點(diǎn)■x■，-■y■.

變式7：過拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)P（x■，y■），作直線PA，PB交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若PA⊥PB，則直線AB必過定點(diǎn)（x■+2p，-y■）.

■探究性教學(xué)反思

1. 仔細(xì)研讀教材，精選探究主題

在實(shí)際教學(xué)中，尤其是復(fù)習(xí)課教學(xué)中，部分教師認(rèn)為：教材內(nèi)容過于基礎(chǔ)，過于簡(jiǎn)單，部分內(nèi)容根本達(dá)不到高考考試大綱的要求，于是選擇脫離教材，完全信奉那些所謂的名師權(quán)威參考書，在不知不覺中拔高了我們的教學(xué)要求，從而讓學(xué)生陷入了題海戰(zhàn)術(shù). 如此一來，學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)加重了，長(zhǎng)此以往，可謂身心疲憊，學(xué)習(xí)積極性嚴(yán)重受到打擊，使得學(xué)生談“數(shù)”色變. 其實(shí)，筆者個(gè)人認(rèn)為，教材是教與學(xué)的最具權(quán)威的“輔導(dǎo)書”，是生成數(shù)學(xué)思維的陣地，是形成數(shù)學(xué)思想方法的利器. 殊不知，我們很多的高考題的設(shè)計(jì)和構(gòu)思就是來源于教材，它們有的是教材習(xí)題的引申，有的是例題、習(xí)題的變式，有的是例題、習(xí)題的重組，有的是例題、習(xí)題的變式. 其實(shí)，如果學(xué)生能真正吃透課本，全面系統(tǒng)掌握教材上的知識(shí)和方法，從應(yīng)試的角度來講，學(xué)生的基礎(chǔ)扎實(shí)，學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)水平也有，高考成績(jī)自然也不會(huì)差. 因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，要仔細(xì)研究課本中的例題、習(xí)題，精選并探究主題，學(xué)會(huì)“小題大做”，由易至難、由點(diǎn)到面，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí);另外，教師完全可以放大課本的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)教材效益最大化，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有幫助.

2. 設(shè)計(jì)例題變式，開展探究學(xué)習(xí)

當(dāng)代著名的蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基曾說過：“在人的心靈深處，都有一種需要，希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者.” 心理學(xué)研究表明，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力來自好奇心與求知欲. 與常規(guī)復(fù)習(xí)課（總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，講解例題，鞏固練習(xí)）相比，探究性學(xué)習(xí)更容易點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花. 在探究主題明確的情況下，教師合理設(shè)計(jì)教學(xué)，如設(shè)置推廣探究、逆向探究、類比探究、實(shí)驗(yàn)探究等方法，開展探究性學(xué)習(xí)，學(xué)生通過對(duì)基本問題的解決，不僅可以形成這類問題的解題思路，還可以掌握此類問題的解決方法;更有甚者，還會(huì)根據(jù)題目條件和解題目標(biāo)進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化，并抽象形成典型的數(shù)學(xué)模型，做到有章可循，有法可依，行之有效. 筆者認(rèn)為，學(xué)生通過對(duì)典型問題的探索，根據(jù)自己的親身體驗(yàn)嘗試解決問題，從而形成解題能力. 不僅可以激發(fā)學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還可以開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，喚醒學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng).

3. 小組分工合作，豐富探究形式

我們知道，物理、化學(xué)、生物等自然學(xué)科，很多知識(shí)跟生活密切相關(guān)，有很多教學(xué)素材，可以通過做實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一系列探究性的學(xué)習(xí). 但是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，探究性教學(xué)實(shí)施起來要相對(duì)困難一些，不過教師利用自身專業(yè)知識(shí)和積累的教學(xué)素材，設(shè)計(jì)一些與學(xué)生日常學(xué)習(xí)緊密相關(guān)的解題類研究活動(dòng)，還是比較容易的. 為了讓數(shù)學(xué)探究性活動(dòng)更有意義，能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，我們可以在組織形式上進(jìn)行大膽嘗試，如開展小組合作探究學(xué)習(xí)，實(shí)踐證明效果很好. 具體操作如下：（1）策劃學(xué)習(xí)小組. 筆者通常按照一定的方式，將學(xué)生分成幾個(gè)小組，各小組成員推薦一名組長(zhǎng)，實(shí)施組長(zhǎng)責(zé)任制，組長(zhǎng)負(fù)責(zé)督促、分工以及老師溝通等一系列工作. （2）教師協(xié)助并參與各小組的學(xué)習(xí). 由于每個(gè)小組成員不同，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不同，學(xué)習(xí)能力不同，感興趣的研究主題不同，所以教師要對(duì)各小組的能力進(jìn)行評(píng)估，根據(jù)各小組的特點(diǎn)，結(jié)合自己的教學(xué)需要，提供一些探究主題，分享一些教學(xué)素材，指導(dǎo)各小組合理選擇. （3）小組確定研究主題. 各小組成員通過查閱課外輔導(dǎo)書，借助網(wǎng)絡(luò)，查閱與專題相關(guān)的資料，并做好材料分析工作，提煉解法，總結(jié)規(guī)律，形成講稿. 在此期間，教師適時(shí)參與，適當(dāng)點(diǎn)撥，給予指導(dǎo). （4）小組試講. 為了讓各小組展示得更充分，教師安排各小組試講是非常必要的. 不僅可以了解各小組探究時(shí)期所存在的問題，還有利于教師對(duì)各問題宏觀把控. （5）小組展示. 采取抽簽形式，確定各小組在班級(jí)中展示的順序，這種方式不僅豐富了探究的形式，還讓探究學(xué)習(xí)更具體，更有針對(duì)性. 因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)過自主研究、合作學(xué)習(xí)、公開展示等過程，體驗(yàn)了探究過程，解題思路和方法領(lǐng)悟得更深刻.

4. 革新教育觀念，明確探究?jī)r(jià)值

目前，不少教師對(duì)開展探究性教學(xué)，還心存疑慮，認(rèn)為開展一堂探究性學(xué)習(xí)會(huì)占用學(xué)生不少課外的學(xué)習(xí)時(shí)間，教師費(fèi)心費(fèi)力，效果也未知. 但筆者認(rèn)為，學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)過程，在過程中體驗(yàn)成功，在過程中開發(fā)數(shù)學(xué)思維，在過程中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，效果更明顯，影響也更深遠(yuǎn). 萬事開頭難，“費(fèi)心費(fèi)力”也是值得的. 從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，探究性學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、對(duì)提高學(xué)生的思維品質(zhì)、對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等大有幫助. 總之，探究性學(xué)習(xí)不僅能提高學(xué)生的自學(xué)能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，還能激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

最后，筆者認(rèn)為，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)鍵在于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，而探究性教學(xué)改變了傳統(tǒng)的教師傳授知識(shí)的教學(xué)方式，為學(xué)生構(gòu)建了開放的學(xué)習(xí)平臺(tái)，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).