靜待思維花開(kāi)，守望自然生成

馮俊

[摘? 要] 對(duì)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，老師不要吝嗇給學(xué)生發(fā)現(xiàn)的時(shí)間，要充分體現(xiàn)以學(xué)生為本，要引導(dǎo)學(xué)生自主觀察分析，自覺(jué)發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律. 概念課的教學(xué)一定要強(qiáng)調(diào)4個(gè)“關(guān)注”：關(guān)注經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)、關(guān)注質(zhì)疑反思、關(guān)注拓展延伸、關(guān)注變式鞏固，促進(jìn)4個(gè)“實(shí)現(xiàn)”：實(shí)現(xiàn)抽象發(fā)現(xiàn)、實(shí)現(xiàn)概念生成、實(shí)現(xiàn)思維升華、實(shí)現(xiàn)銜接融通. 如果這樣，我們的課堂一定會(huì)促使知識(shí)的“自然”生成，也能在平時(shí)教學(xué)中不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)課堂;4個(gè)關(guān)注;4個(gè)實(shí)現(xiàn);自然生成

“為什么要學(xué)習(xí)××概念？”

“××概念是怎么來(lái)的？”

“學(xué)習(xí)××概念有什么用？”

“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了考試？真沒(méi)勁！”

……

我們經(jīng)常聽(tīng)到學(xué)生這樣的吐槽，每當(dāng)此時(shí)，老師都會(huì)感慨現(xiàn)在的學(xué)生這是怎么了？不就是學(xué)習(xí)嗎，怎么會(huì)有這么多想法？久而久之，這樣的課堂逐漸降低了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的好奇心、削弱了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣.如果老師借助于“同理心”，設(shè)身處地地以學(xué)生的參照標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看事物，使得能夠從學(xué)生的處境來(lái)體察他的思想行為，了解他因此而產(chǎn)生的獨(dú)特感受. 我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在課堂上長(zhǎng)期經(jīng)受了被動(dòng)接受學(xué)習(xí)，導(dǎo)致他們覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是件枯燥無(wú)味的事情，喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣就不奇怪了.

那么，如何改變這種現(xiàn)狀呢？怎么讓我們的課堂更有吸引力呢？我們的課堂應(yīng)當(dāng)著重培養(yǎng)什么呢？“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)（征求意見(jiàn)稿）”透露，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng). 因而，提升學(xué)生的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”就成為當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂的主要任務(wù)，這也成為改變我們課堂現(xiàn)狀的途徑. 但面對(duì)紛繁復(fù)雜的核心素養(yǎng)體系，老師往往會(huì)感覺(jué)無(wú)所適從，這就需要我們找到一個(gè)打造切實(shí)有效的“靈動(dòng)課堂”的抓手.

新課程改革伊始就在強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)體系的變革，建構(gòu)主義等理念得到一線(xiàn)教師的認(rèn)同. 雖然歷經(jīng)近20年的教育改革，但老師們迫于考試壓力、教學(xué)進(jìn)度等影響，日常教學(xué)還是過(guò)于急躁，忽視了知識(shí)的螺旋上升，仍更注重“灌輸”，缺乏“發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”. 從認(rèn)知學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生對(duì)一個(gè)學(xué)習(xí)對(duì)象認(rèn)知的首印象很關(guān)鍵. 有很好的建構(gòu)和認(rèn)同，才會(huì)有完整的圖式建構(gòu)、表象表征. 葉瀾教授指出“教學(xué)過(guò)程是師生、生生積極有效互動(dòng)的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，要改變?cè)瓉?lái)中心輻射的狀態(tài)，本質(zhì)上轉(zhuǎn)變成網(wǎng)絡(luò)式溝通.”“每個(gè)學(xué)生以完整的生命個(gè)體狀態(tài)存在于課堂生活中，他們不僅是教學(xué)的對(duì)象、學(xué)習(xí)的主體，而且是教育的資源，是課堂生活的共同創(chuàng)造者.”因此，我認(rèn)為“加強(qiáng)過(guò)程性教學(xué)，注重知識(shí)的生成”的課堂可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生課堂參與的積極性，這也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的諸多方法中比較容易落實(shí)的舉措. “數(shù)學(xué)概念課”是實(shí)現(xiàn)該設(shè)想的一個(gè)切入口，也是老師們要終身研究的課題.

影響學(xué)生學(xué)習(xí)概念的因素有學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、感性材料、學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力. 這4個(gè)因素當(dāng)中，最容易被老師忽視的是第2個(gè)，不注重培養(yǎng)的是后兩個(gè). 我們也常常感慨學(xué)生不會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá). 可能很多時(shí)候，這個(gè)“板子”應(yīng)當(dāng)打在老師頭上. 沒(méi)有感性材料的呈現(xiàn)和凸顯個(gè)性的平臺(tái)，何來(lái)培養(yǎng)之說(shuō)？俗話(huà)說(shuō)“時(shí)光不語(yǔ)、靜待花開(kāi)”，只有隨著時(shí)間的推移，花朵才會(huì)逐漸綻放，展現(xiàn)它的絢麗. 知識(shí)的生成也不可能一蹴而就，它需要思維不斷地碰撞，擦出創(chuàng)造的火花，照亮發(fā)現(xiàn)的道路，由此激發(fā)學(xué)生的求知欲. 因此，筆者認(rèn)為概念課的教學(xué)一定要強(qiáng)調(diào)4個(gè)“關(guān)注”：關(guān)注經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)、關(guān)注質(zhì)疑反思、關(guān)注拓展延伸、關(guān)注變式鞏固，促進(jìn)4個(gè)“實(shí)現(xiàn)”：實(shí)現(xiàn)抽象發(fā)現(xiàn)、實(shí)現(xiàn)概念生成、實(shí)現(xiàn)思維升華、實(shí)現(xiàn)銜接融通. 相信這樣的課堂一定會(huì)促使知識(shí)的“自然”生成，唯有這樣也才能在平時(shí)教學(xué)中不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

蘇州市教科院申報(bào)了省級(jí)課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實(shí)踐”，此課題的課堂教學(xué)觀摩活動(dòng)暨開(kāi)題研討會(huì)在筆者所在學(xué)校舉行. 此次活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了蘇教版必修五《等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式》這節(jié)課.江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室數(shù)學(xué)教研員李善良教授，蘇州市教科院數(shù)學(xué)教研員、特級(jí)教師吳鍔老師，蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心數(shù)學(xué)教研員、蘇州市名教師許平老師親臨現(xiàn)場(chǎng)，給予指導(dǎo)，并對(duì)本節(jié)課做了精彩的點(diǎn)評(píng). 筆者收獲很多，也讓筆者對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)有了更深的認(rèn)識(shí)和理解. 下面筆者就將本節(jié)課的教學(xué)片段、專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)和筆者自己的設(shè)計(jì)意圖、思考整理如下.

■關(guān)注經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)抽象發(fā)現(xiàn)

學(xué)生在小學(xué)對(duì)等差數(shù)列就有直觀的認(rèn)識(shí)，儲(chǔ)備了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，能夠大致了解什么樣的數(shù)列是等差數(shù)列，他們欠缺的就是如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將它的定義表達(dá)出來(lái). 現(xiàn)在，老師要做的就是搭建平臺(tái)，逐步引導(dǎo)學(xué)生合理、充分表達(dá)自己所想、所思.

【教學(xué)片段1】

情境引入1：某鋼材庫(kù)新到200根相同的圓鋼，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓鋼盡可能地少，那么將剩余多少根圓鋼？

師：在這個(gè)題目中，你能找到“數(shù)列”嗎？

生：圓鋼個(gè)數(shù)從上往下構(gòu)成數(shù)列1，2， 3，4，….

師：這個(gè)題目可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)列的什么問(wèn)題呢？

生：此數(shù)列前多少項(xiàng)和最接近200？比200少多少？

師：你能解決嗎？

學(xué)生饒有興致地思考，對(duì)這個(gè)數(shù)列，學(xué)生雖然感覺(jué)很熟悉，但要順利得到答案，還是有難度的. 既然有困難，那學(xué)生就感覺(jué)有必要研究這個(gè)數(shù)列，他們也能“心甘情愿”地接受新知識(shí). 為了能發(fā)現(xiàn)這類(lèi)數(shù)列的規(guī)律，并給學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)表達(dá)的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的意識(shí)和習(xí)慣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.筆者順勢(shì)叫學(xué)生舉了幾個(gè)類(lèi)似的數(shù)列. 在看起來(lái)幾乎“零難度”的舉例中，學(xué)生學(xué)會(huì)的是如何嘗試多角度抽象概括、類(lèi)比研究新的事物，從數(shù)學(xué)層面去提出問(wèn)題、解決問(wèn)題.

師：現(xiàn)有知識(shí)解決以上問(wèn)題不是很方便，我們先將它放一放，在后續(xù)學(xué)習(xí)中再解決. 今天接下來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓我們一起思考如下幾個(gè)問(wèn)題：①如何研究這樣的數(shù)列？②這些數(shù)列有沒(méi)有什么共同特征？③能不能給這樣的數(shù)列一個(gè)統(tǒng)一定義？

此時(shí)，筆者給學(xué)生提供了一個(gè)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法，即“從特殊到一般”，也明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)了直觀想象能力和提出問(wèn)題能力.

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)課堂要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程. 所以，概念建構(gòu)之前需要情境引入.數(shù)學(xué)課堂情境引入是一個(gè)“技術(shù)活”，實(shí)例引入時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，就會(huì)導(dǎo)致課堂缺乏“數(shù)學(xué)味”，沒(méi)有實(shí)例引入，又會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得“去生活化”. 當(dāng)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中遇到困難時(shí)，我們的課堂自然就過(guò)渡到要學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)就成為一種必要. 教師選擇由實(shí)例引出學(xué)習(xí)等差數(shù)列的必要性，這樣的引入“合情合理”，懸而未解的數(shù)學(xué)問(wèn)題也激發(fā)了學(xué)生的求知欲.

情境引入2：

師：以下是剛才同學(xué)們給出的兩個(gè)數(shù)列，你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為它們和上述數(shù)列類(lèi)似呢？

（1）4，7，10，13.

（2）7，12，17，22.

生：剛才的數(shù)列中有2-1=3-2=4-3=1，這兩個(gè)數(shù)列也有這樣的特征，7-4=10-7=13-10=3，12-7=17-12=22-17=5.所以，這些數(shù)列都是同一類(lèi)數(shù)列.

師：你能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言概括出你發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”嗎？

生：以上每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差相等.

師：先想一想4和7對(duì)應(yīng)項(xiàng)的位置關(guān)系.再斟酌一下，看能不能更準(zhǔn)確一點(diǎn)？

生：“后一項(xiàng)”減去“前一項(xiàng)”的差相等.

雖然等差數(shù)列特征的關(guān)鍵信息已經(jīng)抽象出來(lái)了，但筆者認(rèn)為，此時(shí)還不宜直接告知定義. 否則，首先會(huì)缺少知識(shí)的完整建構(gòu)過(guò)程，也會(huì)導(dǎo)致對(duì)概念中的關(guān)鍵信息理解不到位. 小學(xué)課堂上經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生就題目自己增加或減少條件，或根據(jù)給定話(huà)語(yǔ)選擇幾句進(jìn)行組合，變成一道新數(shù)學(xué)問(wèn)題. 這給筆者很大的啟發(fā)，數(shù)學(xué)知識(shí)，抑或數(shù)學(xué)概念的“發(fā)現(xiàn)”在有可能的情況下要盡量讓學(xué)生去主動(dòng)完成.

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)：認(rèn)識(shí)到7-4=10-7=13-10=3，這只是感性的，數(shù)學(xué)關(guān)系的抽象性、本質(zhì)屬性并沒(méi)有得以體現(xiàn). 教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)7是4的“后一項(xiàng)”，4是7的“前一項(xiàng)”. 第一個(gè)數(shù)列的“后一項(xiàng)”與“前一項(xiàng)”的差等于3，第二個(gè)數(shù)列的“后一項(xiàng)”與“前一項(xiàng)”的差等于5.這樣，“用數(shù)列中前、后項(xiàng)的關(guān)系”來(lái)描述這些數(shù)列的共同點(diǎn)就很自然了. 這個(gè)轉(zhuǎn)變，充分體現(xiàn)了教師在“以學(xué)生為主體”上動(dòng)了腦筋. 教師較好地引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，學(xué)會(huì)捕捉信息，建立數(shù)學(xué)概括和數(shù)學(xué)表達(dá)的基礎(chǔ)，延伸了思維的深度和廣度，培養(yǎng)了邏輯推理能力.

■關(guān)注質(zhì)疑反思，實(shí)現(xiàn)概念生成

【教學(xué)片段2】

師：既然很多數(shù)列具有這樣共同的特征，那我們就有研究它的必要，給這類(lèi)數(shù)列取一個(gè)什么名稱(chēng)比較合適呢？

生：等差數(shù)列.

對(duì)于數(shù)學(xué)概念，如果我們像這樣從生活中來(lái)，再回到生活，學(xué)生應(yīng)當(dāng)不會(huì)再有文始的抱怨了. 從感知到舉例，從舉例到理性思考，學(xué)生對(duì)“等差”已經(jīng)不陌生.“等差數(shù)列”這個(gè)名稱(chēng)的生成就水到渠成，避免了“尷尬”的告知式教學(xué).

師：怎么定義等差數(shù)列呢？

生：若一個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列.

學(xué)生給的這個(gè)定義有瑕疵，有不夠完善的地方，但不能帶著居高臨下的權(quán)威感和優(yōu)越的批評(píng)感來(lái)聆聽(tīng)他們的講話(huà)，而要提供給學(xué)生更多的解釋和評(píng)價(jià)自己的思維結(jié)果的權(quán)利. 唯有這樣，學(xué)生才能“刻骨銘心”，才能學(xué)會(huì)自行優(yōu)化自己的所思、所想，才能逐漸提升批判性思維品質(zhì).

師：數(shù)列1，2，4，6，8是等差數(shù)列嗎？

討論之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，原因在于，要強(qiáng)調(diào)“從第二項(xiàng)起”后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是常數(shù).

師：既然這個(gè)數(shù)列也不是等差數(shù)列，那么等差數(shù)列的定義可以怎么修正？

生：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列.

這個(gè)定義已經(jīng)比較精確，但還是沒(méi)有強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞“同一個(gè)常數(shù)”.筆者繼續(xù)創(chuàng)造條件，留給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和改正的機(jī)會(huì).要解決這個(gè)問(wèn)題，概念辨析題依然是不錯(cuò)的選擇.

師：數(shù)列0，2，4，6，7，9，11是等差數(shù)列嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從第二項(xiàng)起，有的差是2，有的差是1，雖然都是常數(shù)，但該數(shù)列不是等差數(shù)列.

師：思考它和剛才的數(shù)列的不同，怎么完善這個(gè)定義呢？

生：“差”要是同一個(gè)常數(shù).

至此，等差數(shù)列的定義圓滿(mǎn)生成：“如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫公差，通常用d表示.”

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)：“靈動(dòng)”的課堂需要教師采用“啟發(fā)式對(duì)話(huà)教學(xué)模式”，讓學(xué)生放開(kāi)自己的思維，大膽地去聯(lián)想，去總結(jié).教師可以詢(xún)問(wèn)學(xué)生已經(jīng)了解了什么，而不是一味要求他按照你的思路進(jìn)行. 否則，我們培養(yǎng)的學(xué)生的腦子“總是習(xí)慣了在別人的腦子走過(guò)的路上活動(dòng)”，缺乏創(chuàng)造性. 教師將給“等差數(shù)列”下定義的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，對(duì)學(xué)生的“犯錯(cuò)”采取了寬容態(tài)度，舍得花時(shí)間讓學(xué)生“糾錯(cuò)”，充分保護(hù)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，這樣的處理也能讓學(xué)生很好地掌握概念中的關(guān)鍵詞.

■關(guān)注拓展延伸，實(shí)現(xiàn)思維升華

數(shù)學(xué)的美在于抽象概括，這也就理所當(dāng)然成為學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常遇到的是數(shù)、抽象的式子、字母等等. 所以，掌握數(shù)學(xué)概念，不僅僅要從文字語(yǔ)言來(lái)認(rèn)識(shí)它，更要從數(shù)學(xué)本質(zhì)上去洞悉它，數(shù)學(xué)概念的形式化要求就將概念學(xué)習(xí)提升到拓展階段. 如果現(xiàn)在問(wèn)“如何用數(shù)學(xué)的式子來(lái)表達(dá)定義”，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)很唐突.他們會(huì)問(wèn)“為什么要學(xué)習(xí)形式化定義？”學(xué)生只有不斷地思維遇挫，才會(huì)有思維的升華，“生成”也才會(huì)“自然”.

【教學(xué)片段3】

師：以下數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？（1）an=n2，（2）an=4-2n，（3）an=3n+1.

學(xué)生剛剛感知的等差數(shù)列都是有限集，一旦遇到無(wú)限集，他們想到的還是從等差數(shù)列的定義著手去逐項(xiàng)研究它，化無(wú)限為有限.

生：對(duì)于第一個(gè)數(shù)列，a2-a1=3，a3-a2=5，所以它不是等差數(shù)列 .第二個(gè)數(shù)列，a■-a■=-2，a■-a■=-2，…，第三個(gè)數(shù)列，a■-a■=3，a■-a■=3，…，它們都滿(mǎn)足等差數(shù)列的定義，所以后兩個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列.

師：若一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)滿(mǎn)足等差數(shù)列定義，能說(shuō)明它就是等差數(shù)列嗎？

“是不是一定要逐項(xiàng)列舉？”“能列舉得盡嗎？”“若列舉不盡，那又該怎么處理呢？”筆者相信這些問(wèn)題一定會(huì)縈繞在學(xué)生心頭. 學(xué)生對(duì)后兩個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列很確定，但只是停留在特殊到一般的歸納推理上. 這一步能否得到論證和突破，某種程度上來(lái)說(shuō)就是學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn). 此刻，筆者的引導(dǎo)和平臺(tái)的搭建對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就顯得尤為關(guān)鍵. 稍不留神，會(huì)讓培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的機(jī)會(huì)從筆者眼前“劃過(guò)”.

師：既然能發(fā)現(xiàn)a■-a■=-2，a■-a■=-2，…，我們又不能列出所有的“差”，你能用一個(gè)數(shù)學(xué)的式子來(lái)描述這樣的運(yùn)算嗎？

架梯搭橋后，形式化定義的提出就事出有因了，學(xué)生容易接受.他們也自然會(huì)從“迷?！钡健傲祷鳌?很快，他們意識(shí)到，既然數(shù)列中通常用a■表示任一項(xiàng)，那么an-an-1就應(yīng)當(dāng)可以表示“每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)”.

生：第1個(gè)數(shù)列，可從an-an-1=2n-1不是常數(shù)來(lái)說(shuō)明它不是等差數(shù)列.第2個(gè)數(shù)列，an-an-1=（4-2n）-[4-2（n-1）]=-2;第3個(gè)數(shù)列，an-an-1=（3n+1）-[3（n-1）+1]=3，所以，后兩個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.

師：由上面的分析和討論，我們發(fā)現(xiàn)，滿(mǎn)足“an-an-1=常數(shù)”的數(shù)列就是等差數(shù)列. 對(duì)照等差數(shù)列定義看看，這個(gè)式子的書(shū)寫(xiě)有什么要求？

短暫沉默后，有學(xué)生提出：“要加上n≥2，n∈N*”.

師：為什么要加呢？

生：加了以后才能保證“從第二項(xiàng)起”.

師：非常棒！還有其他寫(xiě)法嗎？

生：還可以寫(xiě)成an+1-an=常數(shù)（n∈N*）.

利用三個(gè)具體的數(shù)列，我們就將一個(gè)難點(diǎn)順利破解. 等差數(shù)列的形式化定義產(chǎn)生了：若一個(gè)數(shù)列，對(duì)于任意n≥2，n∈N*滿(mǎn)足an-an-1=常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.新概念的“生成”就是需要不斷地“發(fā)現(xiàn)”，所以，有經(jīng)驗(yàn)的老師都不會(huì)放過(guò)繼續(xù)追問(wèn)的機(jī)會(huì)，便于學(xué)生更深入地理解、掌握概念.

師：既然能用連續(xù)兩項(xiàng)來(lái)描述這個(gè)概念，能用連續(xù)更多項(xiàng)來(lái)描述嗎？

生：a■-a■=a■-a■=…=a■-a■=a■-a■=常數(shù).

顯然，這樣的表達(dá)式?jīng)]有達(dá)到筆者預(yù)期的目的. 它不夠簡(jiǎn)潔，更不夠概括.

師：“常數(shù)”兩個(gè)字可以去掉嗎？

生：可以.

師：還能再去掉一些式子嗎？

學(xué)生迅速展開(kāi)討論，結(jié)果如下：去掉第一個(gè)式子和去掉前有限個(gè)式子效果一樣.總感覺(jué)這樣不滿(mǎn)足定義中“從第二項(xiàng)起”. 但如果有“a■-a■=a■-a■”，考慮到n的任意性，它就可以從“式”的角度說(shuō)明所有前后項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù).

生：可以寫(xiě)成a■-a■=a■-a■（n≥2，n∈N*）.

師：很好！將上式變?yōu)閍■=■，稱(chēng)a■為a■，a■的等差中項(xiàng).

引入等差中項(xiàng)后，我們就比較深入地研究了等差數(shù)列概念，同時(shí)為后續(xù)證明、判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的第二個(gè)方法埋下伏筆.

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)：對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解等差數(shù)列的形式化定義是有難度的.因?yàn)?，剛剛接觸文字語(yǔ)言的定義，就跳躍到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，這個(gè)跨度太大.這需要師生經(jīng)歷從特殊到一般、具體到抽象的過(guò)程.本節(jié)課，教師循循善誘，設(shè)置的問(wèn)題啟發(fā)性強(qiáng)，目標(biāo)指向明確，難度梯度分明，能力要求逐層推進(jìn).從有限到無(wú)限，令學(xué)生“愉快地”覺(jué)得形式化定義的學(xué)習(xí)是有必要的，這樣的處理，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)能力在思維碰撞、屢次沖突中自然地被提高到更高層次要求，在“最近發(fā)展區(qū)”是可以實(shí)現(xiàn)的.“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)不是一蹴而就的，這樣的課堂不應(yīng)當(dāng)是“曇花一現(xiàn)”，這不僅需要學(xué)生的毅力和勇氣，更需要老師的思考和堅(jiān)持.

■關(guān)注變式鞏固，實(shí)現(xiàn)銜接融通

學(xué)習(xí)到一定程度就需要再“添把火”，否則只會(huì)“溫?zé)帷?，缺乏思維的長(zhǎng)度.鞏固練習(xí)不但會(huì)對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容及時(shí)反饋，也往往是學(xué)生思維能力提升的源泉.

【教學(xué)片段4】

師：已知等差數(shù)列{a■}中，a■=3，a■=5，求d和a■.

生：d=2，a■=1.

此題的設(shè)計(jì)意圖在于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)a■是a■的后一項(xiàng)，則公差d就是a■-a■=2，且a■=a■-d=1，也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)公差d是聯(lián)系前后項(xiàng)關(guān)系的紐帶.筆者覺(jué)得不能就題論題，還要想辦法充分利用它的價(jià)值，將有限的課堂作用發(fā)揮到最大.因此，筆者將本題做了如下變式.

變式1：等差數(shù)列{a■}中，a■=2，a■=5，求d和a■.

變式2：等差數(shù)列{a■}中，a■=2，a■=5，求a■.

變式3：等差數(shù)列{a■}中，a■=2，a■=5，求a■.

變式題中的數(shù)據(jù)、項(xiàng)數(shù)都不是很大，目的是讓學(xué)生學(xué)以致用，發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與項(xiàng)之間靠d聯(lián)系著. 我們知道，依賴(lài)“題海戰(zhàn)術(shù)”取勝的課堂治標(biāo)不治本，抑制了學(xué)生個(gè)性的展示，掩蓋了思維廣度的短板，學(xué)生只會(huì)循著老師的思維印跡去解決熟知的問(wèn)題. 當(dāng)學(xué)生能力不能提升，沒(méi)有自己的思維時(shí)，他們?cè)诿鎸?duì)陌生問(wèn)題時(shí)會(huì)束手無(wú)策. 這也是很多“高分”學(xué)生在高考中分?jǐn)?shù)“直線(xiàn)下降”的本質(zhì)原因.學(xué)習(xí)是一個(gè)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，我們的課堂不能搞題海戰(zhàn)術(shù)，對(duì)變式題要關(guān)注“題量”和“再利用”，實(shí)現(xiàn)前后知識(shí)間的融通.

師：通過(guò)以上題目的解答，你收獲了什么？

生：在等差數(shù)列中，已知任意兩項(xiàng)，可以求出該數(shù)列其他任何一項(xiàng).

師：你能說(shuō)出具體的解決方案嗎？

生：根據(jù)給定兩項(xiàng)的值，計(jì)算出公差，再求出首項(xiàng)，最后計(jì)算要求的項(xiàng).

學(xué)生的回答是不是精確、規(guī)范，具有操作性，這已經(jīng)不是此刻的主要問(wèn)題.至少筆者認(rèn)為，這3個(gè)變式訓(xùn)練讓學(xué)生深切感受到可以用兩個(gè)量來(lái)刻畫(huà)等差數(shù)列，這為下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“等差數(shù)列的通項(xiàng)公式”鋪路搭橋，做好了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之間的有效預(yù)設(shè).

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)：變式教學(xué)策略的重要性在于它為未來(lái)的變異做準(zhǔn)備，由于未來(lái)具有更大的變異性和不確定性，因此我們只有通過(guò)體驗(yàn)現(xiàn)在的變異才能為未來(lái)的變異做準(zhǔn)備. 本節(jié)課的變式訓(xùn)練中，師生共同創(chuàng)造了一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儺惪臻g，獲得了探究性的有意義學(xué)習(xí). 題目選擇恰當(dāng)，難度適中，不但起到了反饋的作用，還增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，最難能可貴的是為尋找“等差數(shù)列通項(xiàng)公式”的兩個(gè)關(guān)鍵要素打下基礎(chǔ)，真正實(shí)現(xiàn)了知識(shí)體系間的螺旋上升.

通過(guò)這樣的4個(gè)“關(guān)注”和4個(gè)“實(shí)現(xiàn)”，我們就完成了等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí). 回顧整個(gè)教學(xué)過(guò)程，筆者始終在關(guān)注學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”，創(chuàng)造機(jī)會(huì)鍛煉學(xué)生的思維. 課后的后測(cè)成績(jī)非常好，這也佐證了這樣的課堂需要老師長(zhǎng)期堅(jiān)持和維系，不斷提升教與學(xué)的雙重收益.

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”. 特級(jí)教師孫雙金也說(shuō)“課堂應(yīng)是放飛師生思想的天堂，教師應(yīng)用自己思想的火種點(diǎn)燃學(xué)生思想的火花”.因此，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，乃至所有的課堂教學(xué)，需要我們不要吝嗇給學(xué)生發(fā)現(xiàn)的課堂時(shí)間，要充分體現(xiàn)以學(xué)生為本，尊重學(xué)生主體地位的教學(xué)理念，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和優(yōu)化;需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺(jué)發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律，在思維碰撞中生成新的概念;需要通過(guò)概念辨析、變式訓(xùn)練來(lái)不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí). 唯有這樣，學(xué)生在獲得概念的同時(shí)，才能提升數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力和創(chuàng)新精神，也才能更熱愛(ài)數(shù)學(xué)，渴望學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 所以，作為一線(xiàn)教師，我們應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持走在“過(guò)程性教學(xué)”研究的路上，靜待思維花開(kāi)，守望自然生成.