淺談如何在復(fù)習(xí)課中建模

徐穎

摘? 要：要想激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，可以從在教學(xué)中滲透模型思想開(kāi)始。文章以四下《運(yùn)算律的整理與復(fù)習(xí)》為例，從三個(gè)方面闡述如何在復(fù)習(xí)課中建立模型，如何幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，從此促進(jìn)學(xué)生各方面能力的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;參與探究;靈活應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型可以從狹義和廣義兩個(gè)角度進(jìn)行定義，大多數(shù)學(xué)專(zhuān)家偏向于狹義角度。張奠宙教授認(rèn)為：廣義的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)的各種基本概念和基本算法;而狹義的數(shù)學(xué)模型是一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，以反映特定事物系統(tǒng)。史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把現(xiàn)實(shí)世界描繪出來(lái)，是銜接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶。王憲昌將數(shù)學(xué)模型定義為：針對(duì)現(xiàn)實(shí)中某事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系，采用數(shù)學(xué)概念、符號(hào)或數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)的某種關(guān)于事物系統(tǒng)的與研究目的有關(guān)的本質(zhì)特征的關(guān)系結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)之，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律的特定結(jié)構(gòu)就是數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)基本思想首次被明確地列入學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)中，這是新課標(biāo)的一大亮點(diǎn)，也是一大進(jìn)步。教師應(yīng)該讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，經(jīng)歷探究、抽象、預(yù)測(cè)、推理和反思的過(guò)程，親身感悟數(shù)學(xué)思想與方法，逐漸積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，逐步形成數(shù)學(xué)的思維方式和能力。所以說(shuō)要想激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，可以從在教學(xué)中滲透模型思想開(kāi)始。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)只有深入“模型”這個(gè)層面上，才算是真正意義上的學(xué)習(xí)。

現(xiàn)階段受傳統(tǒng)教育的影響，有些教師習(xí)慣性為了孩子掌握某些知識(shí)，搞題海戰(zhàn)術(shù)，以應(yīng)付考試，不但教師如此，有些家長(zhǎng)也喜歡讓孩子多寫(xiě)作業(yè)，孩子“淪陷”于題海中，成了做題目的機(jī)器，最終導(dǎo)致孩子不喜歡數(shù)學(xué)，缺乏對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。接下來(lái)，筆者以四下《運(yùn)算律的整理與復(fù)習(xí)》為例，談?wù)勅绾卧趶?fù)習(xí)課中建立模型，從會(huì)做一道題到會(huì)做一類(lèi)題，從而靈活應(yīng)用各種運(yùn)算律。

■一、鎖定目標(biāo)，感知數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的年齡特征和知識(shí)水平，采取積極有效的措施，有目的、有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模思想，樹(shù)立數(shù)學(xué)建模的意識(shí)。

課前鼓勵(lì)學(xué)生自主整理運(yùn)算律，明確要求：1. 回顧本單元的運(yùn)算律，舉例說(shuō)明并用字母表示，用喜歡的方式進(jìn)行整理;2. 通過(guò)整理想一想哪些地方還存在困難或問(wèn)題。

根據(jù)學(xué)生整理的情況，知道學(xué)生的所想、所思、所困，潛意識(shí)里已經(jīng)認(rèn)為加法交換律和乘法交換律相似，加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律相似，隱約知道它們之間有某些聯(lián)系。根據(jù)對(duì)困惑的描述，知道他們主要有兩個(gè)問(wèn)題：1. 對(duì)乘法結(jié)合律和乘法交換律是容易混淆的，不能準(zhǔn)確應(yīng)用;2. 拆數(shù)的時(shí)候不知道拆成兩個(gè)數(shù)的和，還是拆成兩個(gè)數(shù)的積計(jì)算更簡(jiǎn)便。根據(jù)課前的整理，筆者重新制定了科學(xué)的教學(xué)目標(biāo)：1. 使學(xué)生回顧本單元學(xué)到的知識(shí)，進(jìn)一步掌握加法和乘法運(yùn)算律并能用字母表示，加深運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)，能合理應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算;2. 讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，能根據(jù)一些算式的特點(diǎn)靈活選用運(yùn)算律，簡(jiǎn)便計(jì)算，以培養(yǎng)學(xué)生靈活、簡(jiǎn)捷計(jì)算的能力;3.使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)充滿(mǎn)內(nèi)在的聯(lián)系，產(chǎn)生對(duì)整理與練習(xí)的興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性。

本節(jié)復(fù)習(xí)課根據(jù)學(xué)生的困惑制定教學(xué)目標(biāo)，這樣制定的教學(xué)目標(biāo)更具思考性，更有針對(duì)性。有效的數(shù)學(xué)課，離不開(kāi)清晰明確的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)引領(lǐng)著課的方向。確定了教學(xué)目標(biāo)，為后續(xù)模型的建立打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

■二、參與探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，及時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過(guò)程，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力與品質(zhì)。

（一）通過(guò)分類(lèi)，初步建立模型

PPT出示：

（1）254+72+46+28;

（2）125×（9×8）;

（3）（20+3）×25。

上面各題能簡(jiǎn)算嗎？

筆者讓學(xué)生邊做邊思考，分別用了哪些運(yùn)算律？通常情況下，交流完運(yùn)算律之后，這道題就結(jié)束了，而筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)又增加了兩個(gè)環(huán)節(jié)，第一個(gè)環(huán)節(jié)“設(shè)問(wèn)”，“怎樣的題目也同樣可以用交換律或結(jié)合律？怎樣的題目又可以用乘法分配律？”引發(fā)學(xué)生思考，初步感知運(yùn)算律的模型。第二個(gè)環(huán)節(jié)“選一選”，（1）37×4×5;（2）45×99+45;（3）87+46+13+54;（4）12×（40-5）;（5）25×4×8×125。

思考：它們各自可以運(yùn)用什么運(yùn)算律？請(qǐng)大家依次選一選，選完之后和同桌說(shuō)一說(shuō)能用交換律、結(jié)合律的算式有什么特點(diǎn)？能使用乘法分配律的算式又有什么特點(diǎn)？

通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)交換律、結(jié)合律和分配律的結(jié)構(gòu)有了準(zhǔn)確的把握，知道能用交換律或結(jié)合律的式子的特點(diǎn)“同級(jí)運(yùn)算”，能用乘法分配律的特點(diǎn)“兩個(gè)積相加或者兩個(gè)積相減，既有乘，又有加或減，也就含有兩級(jí)運(yùn)算并且都有相同的乘數(shù)”，從而知道了交換律、結(jié)合律和運(yùn)算律的模型。

（二）從“一”到“類(lèi)”，抓住模型本質(zhì)

精心設(shè)計(jì)題組，帶領(lǐng)學(xué)生深入觸及規(guī)律模型的本質(zhì)所在，基于層層思考，緊抓相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，有助于揭示數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，從而在這個(gè)過(guò)程中進(jìn)行深度建模。

首先PPT出示：簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題：（1）237+402;（2）36×101。

然后請(qǐng)同學(xué)們觀察數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。

最后交流：1. 這兩題在計(jì)算的過(guò)程中有什么相同點(diǎn)？

（都是拆：402拆成400+2，101拆成100+1）

2. 為什么都要這樣拆呢？

（拆成接近的整百數(shù)和一位數(shù)，方便計(jì)算）

3. 計(jì)算的過(guò)程中又有什么不同點(diǎn)呢？

（第一個(gè)算式拆完之后要用到加法結(jié)合律，237+400再加2，第二個(gè)算式拆完之后要用到乘法分配律把36×101拆成100個(gè)36和1個(gè)36）

這兩題的相同點(diǎn)是都要把接近整百的數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和，不同點(diǎn)是第一題拆完之后是連加，也就是都是同級(jí)運(yùn)算，要用乘法結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，而第二題拆完之后既有乘又有加，含有兩級(jí)運(yùn)算，要用乘法分配律。通過(guò)這樣的對(duì)比練習(xí)，既進(jìn)一步讓學(xué)生加深對(duì)運(yùn)算律模型的理解，又能幫助學(xué)生區(qū)分結(jié)合律和乘法分配律。

到此筆者并沒(méi)有結(jié)束，趁熱打鐵，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從會(huì)做一道題到會(huì)做一類(lèi)題思想上的改變：“在這個(gè)算式237+402中，除了402，換成哪些數(shù)也同樣能用這種策略？”。“ 237+___ ”，這里學(xué)生除了想到比整百數(shù)大的數(shù)，如237+103，還會(huì)想到比整百數(shù)小的數(shù)，如237+98。同樣 36×101，其中101又可以換成哪些數(shù)？通過(guò)這樣的填空交流，進(jìn)一步升華模型。像這樣的式子，一個(gè)數(shù)加或乘一個(gè)接近整百的數(shù)，都可以拆成整百數(shù)與一位數(shù)的和或差。加法就可以用交換或結(jié)合律，乘法用分配律，也就是說(shuō)拆完之后符合上面構(gòu)建的結(jié)構(gòu)。

■三、舉一反三，靈活應(yīng)用模型

不少學(xué)生存在思維定式的問(wèn)題，常用一種固定的思維和習(xí)慣思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，主要表現(xiàn)為受其他因素的影響錯(cuò)用經(jīng)驗(yàn)，擴(kuò)大已有經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用范圍，將新問(wèn)題歸結(jié)為舊問(wèn)題。一旦形成思維定式，容易出現(xiàn)惰性，難以創(chuàng)造性和靈活地解決問(wèn)題，這些問(wèn)題將會(huì)導(dǎo)致學(xué)生難以真正掌握數(shù)學(xué)建模。因此，教師需引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)模型本質(zhì)，從而打破學(xué)生思維定式，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)模型。練習(xí)部分，筆者設(shè)計(jì)了5道練習(xí)題， 帶領(lǐng)學(xué)生探索模型本質(zhì)，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，不生搬硬套。

通過(guò)剛才的練習(xí)，大家對(duì)運(yùn)算律的使用越來(lái)越有感覺(jué)了，不知道大家能不能靈活運(yùn)用？敢不敢來(lái)挑戰(zhàn)？

（出示題目）靈活計(jì)算下面各題：

（1）25×（40×4）;

（2）65+35×16;

（3）360×54+540×6;

（4）36×98+72;

（5）9+99+999。

這5道題目都是經(jīng)過(guò)精心挑選的，目的在于不同的人在此能夠得到不同的發(fā)展，使基礎(chǔ)稍微差一點(diǎn)的孩子吃得了，中等的孩子吃得好，好一點(diǎn)的學(xué)生吃得飽。

第一題25×（40×4），有的人學(xué)生會(huì)把乘法當(dāng)成加法，用了乘法分配律，筆者再一次提醒學(xué)生，一定要看好運(yùn)算符號(hào)，不能把乘法結(jié)合律和乘法分配律搞混，這也和課前學(xué)生的困惑相呼應(yīng)，從而加深對(duì)運(yùn)算模型的認(rèn)識(shí)與區(qū)分。第二題65+35×16，這一題受數(shù)據(jù)的影響，有些學(xué)生會(huì)先算65+35，而這一題其實(shí)并不符合乘法分配律的模型，其實(shí)只有后半部分可以進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，以此提醒大家應(yīng)用模型的時(shí)候，認(rèn)真觀察數(shù)據(jù)很重要，千萬(wàn)不要被數(shù)據(jù)所迷惑。第三題360×54+540×6和第四題36×98+72這兩題，初看，符合乘法分配律的模型，但是細(xì)看又沒(méi)有相同的乘數(shù)，這時(shí)候要想用乘法分配律就得創(chuàng)造出相同的乘數(shù)。這兩題都是利用積不變的規(guī)律創(chuàng)造相同的乘數(shù)，再應(yīng)用模型進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。當(dāng)不完全符合模型的時(shí)候，要?jiǎng)?chuàng)造條件，以便使用模型。第五題9+99+999是先進(jìn)行拆分，只是從原來(lái)2個(gè)加數(shù)變成3個(gè)加數(shù)，但原理是一樣的，要學(xué)會(huì)舉一反三。

在復(fù)習(xí)課中建立模型，是一種高效的方法。復(fù)習(xí)課不是簡(jiǎn)單的重復(fù)練習(xí)，不是“練習(xí)”課，不是套用模式的課，要注意把握題目的類(lèi)型、結(jié)構(gòu)和類(lèi)比運(yùn)用，用模型的眼光來(lái)審視題目。應(yīng)該結(jié)合學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從具體數(shù)據(jù)的討論，上升到規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納，最終形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。