親歷概念形成 走向數(shù)學(xué)本質(zhì)
——對“認識負數(shù)”一課的思考與解讀

陜西省安康市教學(xué)研究室 李 志

陜西省安康市旬陽縣城關(guān)小學(xué) 何昌斌

解讀教材：

“負數(shù)”概念對于小學(xué)生來說比較抽象，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》要求學(xué)生“在熟悉的生活情境中，了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示日常生活的一些量”。負數(shù)在生活中應(yīng)用廣泛，教材例1通過中央電視臺發(fā)布的6個城市某一天的氣溫預(yù)報，讓學(xué)生先認識負數(shù)，知道負數(shù)的讀法和寫法，并借助某一時刻具體的溫度，初步理解負數(shù)所表示的含義。例2通過存折明細中存入和支出的對比，進一步體會正數(shù)、負數(shù)可以表示兩種相反意義的量。例3安排一個活動情境，在一條直線上，從一點向兩個相反方向行走，可以用正數(shù)、0和負數(shù)表示行走的距離和方向，從而完善數(shù)軸的基本模型。知道每一個數(shù)在數(shù)軸上都有一個點與之對應(yīng)，滲透數(shù)軸的概念，形成數(shù)的比較完整的認知結(jié)構(gòu)，感受數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想。

研究歷程：

第一次教學(xué)活動：

教者在研究了人教版教材，查閱大量文獻資料的基礎(chǔ)上，獨立設(shè)計，完成第一次教學(xué)。她的總體思路是學(xué)生在天氣預(yù)報視頻播放的過程中找到負數(shù)和正數(shù)（-5℃和+5℃），在溫度表中表示；接下來在6個城市的天氣預(yù)報中找到比5攝氏度高的溫度，比負5攝氏度低的溫度，初步感知理解負數(shù)，理解0攝氏度是零上溫度和零下溫度的分界點，通過溫度對比讓學(xué)生初步理解相反意義的量；然后從生活中的正、負數(shù)中選擇有代表性的四組，讓學(xué)生自己探究，再通過研究過程中出現(xiàn)的相反意義的詞語歸納概括正、負數(shù)的意義，最后介紹負數(shù)歷史、知識應(yīng)用和總結(jié)。

在溫度中初步認識和感知正、負數(shù)：

師：這是中央電視臺的天氣預(yù)報，老師摘出視屏資料里的幾個城市的天氣情況。觀察這幾個城市的天氣預(yù)報，你發(fā)現(xiàn)了什么？（學(xué)生有些懵。）

生1：有的數(shù)字前面有個減號，表示零下溫度。

生2：海口的最高氣溫是18攝氏度。

生3：南京的氣溫是-2度到6度。

師：像剛才同學(xué)們用來表示零下溫度的-3是負數(shù)。（板書：負數(shù)。）這個“-”表示負號，-3讀作負三。如：-3攝氏度表示零下3攝氏度，讀作負三攝氏度；比0攝氏度高的溫度叫零上溫度，在數(shù)字前面加“＋”（正號），一般情況下可省略不寫。如：18攝氏度，23攝氏度。（板書兩個正數(shù)。）18攝氏度表示零上18攝氏度，讀作正十八攝氏度，也可以寫作18攝氏度，讀作18攝氏度。

師：你能在溫度計上找到-5和5嗎？（課件上出示沒有刻度的溫度計。）

生：老師，我覺得在這里不能找到這兩個溫度。

師：為什么？

生：因為沒有0攝氏度。

師：（課件出示刻度表中刻度數(shù)字。）現(xiàn)在呢？

生：（學(xué)生指）5攝氏度是比0攝氏度高的溫度；-5攝氏度是表示比0攝氏度低的溫度。（學(xué)生指溫度，課件顯示。）

師：0在這里是什么作用呢？

生：0把零上溫度和零下溫度分開。

師（補充）：也就是高于0攝氏度是零上溫度，低于0攝氏度是零下溫度，對嗎？

生：對。

師：是的，0攝氏度就是淡水開始結(jié)冰的溫度。剛才同學(xué)們找的5攝氏度和-5攝氏度，哪個溫度更低一些，為什么？

生：-5攝氏度更低一些，-5攝氏度比0攝氏度溫度還低，5攝氏度是比0攝氏度更暖和的溫度，所以-5攝氏度的溫度更低一些。

師：在這一時期內(nèi)，有比負5攝氏度還低的溫度嗎？

生：有銀川、哈爾濱，這一時間內(nèi)，最低氣溫最低的是哪個城市呢？

師：是多少？（-27攝氏度。）他們該穿什么？（課件出示穿厚衣服和薄衣服進行對比。）

師：這一時間內(nèi)，最高氣溫最高的是哪個城市呢？是多少？

生：臺北。

師：這里的學(xué)生穿什么？

生：23攝氏度，穿短袖。（課件出示溫度計和衣服。）

接下來就是找生活中的負數(shù)，表示生活中的四組負數(shù)。和今天是一樣的，就是在四組負數(shù)之后多了一個辨析環(huán)節(jié)，即練習(xí)題的第四題。

…………

第一次課后研討

課后研討中，大家認為從目標(biāo)達成來看，基本實現(xiàn)了預(yù)設(shè)的目標(biāo)；從學(xué)習(xí)活動上來看，學(xué)生的主體地位得到了體現(xiàn)。學(xué)生在自主探究生活中四個負數(shù)意義活動中非常投入，通過畫圖、語言、等方式充分理解了負數(shù)；從教學(xué)活動上看，重點突出，學(xué)生在研究溫度、表示四組負數(shù)的含義和概念辨析中逐漸理解了負數(shù)的意義。學(xué)生經(jīng)歷從實際生活中發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，也理解并發(fā)現(xiàn)了正數(shù)和負數(shù)是兩種表示相反意義的量。

但是，研修團隊討論認為：本節(jié)課把教學(xué)重點放在了學(xué)生的探究活動，理解正、負數(shù)意義內(nèi)涵中，忽略了正數(shù)、負數(shù)的形成過程。課堂從導(dǎo)入的生活素材中找到負數(shù)，再在溫度表中表示負數(shù)、理解負數(shù)這一環(huán)節(jié)也就是第一個活動（教學(xué)例1）完全遵從了教材的安排，學(xué)生從生活中找到負數(shù)——在溫度表上指出負數(shù)——說負數(shù)的含義，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷負數(shù)的產(chǎn)生形成過程，沒有為學(xué)生建構(gòu)負數(shù)的概念的過程。他們對負數(shù)概念的理解是在第二個活動中才逐漸深刻的，所以學(xué)生對負數(shù)理解在第一個活動中只停留在表象，天氣預(yù)報導(dǎo)入的這個素材沒有發(fā)揮到它應(yīng)有的作用。

針對這一問題，團隊給出的建議：我們在負數(shù)教學(xué)時一定讓學(xué)生感受到需要用負數(shù)，負數(shù)才產(chǎn)生，一定要經(jīng)歷負數(shù)的抽象、形成、概括的形成過程，學(xué)生才能對負數(shù)有深刻理解。應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷從語言表示正、負溫度到用簡潔明了的形式表示用正、負溫度數(shù)。讓學(xué)生感受負數(shù)是因為我們需要才產(chǎn)生的，教師帶著學(xué)生經(jīng)歷負數(shù)的產(chǎn)生過程，才能讓學(xué)生對負數(shù)有深刻的理解。

大家的研討帶給筆者很深的觸動和思考。對教材有了質(zhì)疑以后，筆者查閱北師大版、蘇教版教材，對三個版本的教材進行了橫向梳理。發(fā)現(xiàn)三個版本的教材都以溫度為主要情境引入正負數(shù)，但在處理上是不同的。

人教版是直接出示溫度（正、負數(shù)寫法），讓學(xué)生在溫度計上找溫度并理解正、負數(shù)的含義。

北師大版（四年級上冊）是出示溫度的文字敘述方式，讓學(xué)生想辦法表示兩個溫度，學(xué)生在溫度計上表示——用箭頭等符號——再到正數(shù)和負數(shù)，也是經(jīng)歷了一個概念的形成過程，從而認識正數(shù)和負數(shù)。（類似以上教學(xué)片段。）

蘇教版（五年級上冊）是出示三個城市的圖片，并一個圖片配一個溫度計，讓學(xué)生自己觀察，并說出發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生先從溫度計上認識零上溫度和零下溫度，再揭示零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負數(shù)表示，從而認識正數(shù)、負數(shù)。

從教材梳理中，筆者有以下思考：人教版安排在六年級下冊，編者是不是認為學(xué)生已經(jīng)有了科學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和以往的生活經(jīng)驗，以為對溫度中的負數(shù)認識就簡單容易，所以才看到溫度（用正、負數(shù)表示的溫度）來解釋正、負數(shù)的含義，但實際上這樣教學(xué)學(xué)生并沒有理解。是地域的差異？還是學(xué)生的認知基礎(chǔ)的差異？概念教學(xué)不讓學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生形成過程，只讓學(xué)生在活動中理解概念的含義是符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認知規(guī)律嗎？

再者：數(shù)軸是本節(jié)課的后續(xù)學(xué)習(xí)，怎么恰當(dāng)把握本節(jié)課的教學(xué)要求，給后續(xù)學(xué)習(xí)做好思維鋪墊呢？

帶著這樣的思考，筆者進行了二次備課，將原有的思路調(diào)整為：讓學(xué)生在聽溫度、找溫度、表示溫度、對比優(yōu)化表示方法中感受負數(shù)的形成過程，讓學(xué)生在思考、操作、對比、觀察、優(yōu)化的過程中，深刻認識負數(shù)在溫度中的應(yīng)用，從而在第一個教學(xué)環(huán)節(jié)中對負數(shù)有清晰深刻的認識。從教學(xué)實際情況來看，二次課堂實踐發(fā)生了如下變化：

第二次教學(xué)活動：

在溫度中初步認識和感知正、負數(shù)：

師：這是中央電視臺天氣預(yù)報中的一段視頻。請大家仔細聽，看看你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：北京是零下9度到2度。

生2：天津的最高氣溫和最低氣溫是零下5攝氏度和5攝氏度。（出示卡片。）

師：你能在這里找到零下5攝氏度和5攝氏度嗎？（出示黑板右邊沒有刻度的溫度計。）

生：不能。

師：為什么？

生：因為沒有0攝氏度。

師：也就是說找5攝氏度和零下5攝氏度首先要確定哪個溫度？

生：在這中間找一個刻度當(dāng)成0攝氏度。

師：（標(biāo)上0）可以嗎？（師再標(biāo)上刻度）現(xiàn)在能來指一指這兩個溫度嗎？

生：（邊指邊說）5攝氏度比0攝氏度高5度，在0攝氏度的上面找出5攝氏度；零下5攝氏度是比0攝氏度低5度，在0攝氏度的下面找出5攝氏度。（卡片貼在這里。板書：高于、低于。）

師：（把5攝氏度換成零下5攝氏度的卡片。）也就是說5攝氏度是零上5攝氏度，是嗎？

師：零上5攝氏度可以在這里嗎？（指著零下5攝氏度的地方。）為什么？

生：因為5攝氏度是比0攝氏度高的溫度，應(yīng)該在比0攝氏度高5度的地方。

師：零下5攝氏度可以在這里嗎？（指著零上5攝氏度度的地方。）為什么？

生：因為零下5攝氏度是比0攝氏度低5度的地方，應(yīng)該在比0攝氏度低5度的地方。

師：0在這里是什么作用呢？

生：0有分界的作用，高于0攝氏度是零上溫度，低于0攝氏度是零下溫度。

師：是的，0攝氏度就是淡水開始結(jié)冰的溫度。我們以0攝氏度為分界點，比0攝氏度高5度的溫度是零上5攝氏度，比0攝氏度低5度的溫度是零下5攝氏度。

師：那么，除了用文字敘述表示這兩個溫度，你能用更簡潔的方式記錄這兩個溫度嗎？（拿兩張卡片貼在黑板中間。）

（學(xué)生試著寫一寫，找人寫在黑板上。）

生1：三角符號。

生2：箭頭。

生3：+5攝氏度 -5攝氏度。

師：說說你是怎么想的？

師：看這三種，你更喜歡哪一種？為什么？

生：加號、減號表示更清楚，而且是以0攝氏度為標(biāo)準(zhǔn)，更形象。

師：是呀，這樣表示確實簡潔形象。我覺得大家真的是有當(dāng)數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)。同學(xué)們，（指-5）這樣的數(shù)是負數(shù)，前面的小短橫是符號，讀作負5（教讀）；比0攝氏度高的溫度是零上溫度，在數(shù)字前面加“+”，讀作正號，一般也可以不寫。讀作5攝氏度。

進一步感受正數(shù)和負數(shù)。

師：這個溫度你能用剛才創(chuàng)造的形式表示出來嗎？（師出示卡片：-19℃ +20℃，學(xué)生說老師寫。）

師：-19℃和-5℃相比，誰更低呢？能說說嗎？

生：-19℃是比0℃低19度的溫度，5攝氏度是比0℃高5度的溫度，所以-19攝氏度更低一些。

師：+20攝氏度和5攝氏度相比，誰的溫度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的溫度，5℃是比0℃高5度的溫度。所以20攝氏度更高一些。

師：在-19攝氏度的這一天，學(xué)生穿什么？

生：棉襖。（課件出示。）

師：+20度這一天呢？

生：短袖。

師：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0攝氏度高20度的溫度，-19攝氏度是比0攝氏度低19度的溫度。20+19=39，20攝氏度比-19攝氏度高39度。

師：真了不起。

二次研討中，大家充分肯定了筆者的設(shè)計思路，認為本次課堂教學(xué)目標(biāo)明確，思路清晰，重點突出，負數(shù)經(jīng)歷了從產(chǎn)生到形成的過程。概念經(jīng)過直觀感知——建立表象——揭示本質(zhì)的過程，學(xué)生深刻理解了正數(shù)、負數(shù)概念的含義，尤其是學(xué)生的思維，積極活躍，主動性更強。同時，也提出了一個新問題：溫度示意圖中左邊是以0為分界點，上面和下面的數(shù)字一樣，而右邊是+5℃和-5℃，是不是有些不妥，而這個圖不是真正意義上的溫度計，是不是能把溫度示意圖變成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)軸的一個思維啟發(fā)點呢？

再者總結(jié)正、負數(shù)是表示相反的兩個量之后，再來概念辨析顯得有些零碎，應(yīng)把這一環(huán)節(jié)調(diào)整到練習(xí)環(huán)節(jié)，一氣呵成，準(zhǔn)確把握概念的生長點、連接點，形成概念體系。

第三次教學(xué)活動：

根據(jù)大家的建議，第三版的教學(xué)設(shè)計，筆者調(diào)整為：在學(xué)生第一個互動的第二個片段匯報中，教師適時加上正號和負號。在課結(jié)束的時候讓學(xué)生想象假如把這個溫度計倒過來，變成了什么，接著動畫演示，旨在學(xué)生的心目中做一個知識的延伸點，為接下來的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，并把概念辨析環(huán)節(jié)調(diào)整到練習(xí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，增強教學(xué)的有效性，使學(xué)生在不斷擴展的認識中逐步形成概念網(wǎng)絡(luò)。

從課堂實踐情況來看，第三版的教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了概念的產(chǎn)生、形成、內(nèi)化、應(yīng)用的過程，層層深入，更重要的是讓本節(jié)課的知識也得到延伸，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做了鋪墊。以下是課堂教學(xué)中的片段：

感知正、負數(shù)：

在指明了兩個簡潔的方式是正數(shù)和負數(shù)后：

師：那這個溫度你能用剛才創(chuàng)造的形式表示出來嗎？（師出示卡片。）

-19℃ +20℃

師：-19℃和-5℃相比，誰更低呢？能說說嗎？

生：-19℃是比0℃低19度的溫度，5攝氏度是比0℃高5度的溫度，所以-19攝氏度更低一些。

師：這個地方就應(yīng)該是-10℃、-20℃、+5℃+10℃。（師在刻度上補充負數(shù)和正數(shù)。）

師：+20攝氏度和5攝氏度相比，誰的溫度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的溫度，5℃是比0℃高5度的溫度，所以20攝氏度更高一些。

師：在-19攝氏度的這一天，學(xué)生穿什么？

生：棉襖。

師：（課件出示。）+20度這一天呢？

生：短袖。

師：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0攝氏度高20度的溫度，-19攝氏度是比0攝氏度低19度的溫度。20+19=39，20攝氏度比-19攝氏度高39度。

師：真了不起，我要為大家的思考探究能力點贊。

從三次課堂實踐、三次研討中看出，第三次的教學(xué)設(shè)計真正讓學(xué)生體驗了概念的形成過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了概念是因為需要產(chǎn)生，教學(xué)目標(biāo)的定位更加準(zhǔn)確，重點更加突出，更注重了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，更突出了學(xué)生的主體地位；更加關(guān)注了概念的產(chǎn)生、需要、形成、內(nèi)化、應(yīng)用的發(fā)展過程；幫學(xué)生建構(gòu)了完整的知識體系，加深學(xué)生對數(shù)概念的理解，認識數(shù)系擴充的必要性，抓住了概念教學(xué)的本質(zhì)屬性。

反思成果：

人們常說：“教學(xué)有法，教無定法，貴在得法。”確實，教學(xué)方法可以不同，但教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵實質(zhì)必須把握住。我們一致認為：概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)把握，應(yīng)落腳在概念內(nèi)涵意義上。

1.經(jīng)歷概念的形成過程。核心環(huán)節(jié)教學(xué)活動的組織，不管是設(shè)計怎樣的活動，都要讓學(xué)生在自主參與中經(jīng)歷概念的形成過程。

2.深化概念的本質(zhì)內(nèi)涵。對負數(shù)意義的把握要注重整體結(jié)構(gòu)的把握，要在探究素材的選擇、知識靈活應(yīng)用環(huán)節(jié)巧妙設(shè)計，抓住概念的內(nèi)涵和外延，注重豐富學(xué)生對概念的認識。

3.體驗概念的價值意蘊。負數(shù)概念的建構(gòu)具有特殊性，從熟悉的生活情境中來，進一步理解內(nèi)涵，抽象至數(shù)學(xué)模型后，又回歸于生活情境中的應(yīng)用。這樣動態(tài)推進的概念學(xué)習(xí)核心環(huán)節(jié)與層層遞進的后續(xù)練習(xí)，后續(xù)活動也是對概念實質(zhì)把握的漸進與深化過程。且時時刻刻都在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生體驗著負數(shù)概念的價值意蘊，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。