單圓弧波紋管膜片的非線性大變形分析

韓明君，王偉兵，李鴻瑞，周朝逾，馬連生

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，甘肅，蘭州 730050)

波紋管是干氣密封中常用的彈性元件，干氣密封結(jié)構(gòu)中的彈性元件是影響其膜厚的一個(gè)重要元素，因此，波紋管直接影響著干氣密封的密封性能。波紋管已經(jīng)在機(jī)械密封中得到了廣泛應(yīng)用，其主要優(yōu)點(diǎn)在于：焊接金屬波紋管不僅起著補(bǔ)償及緩沖因動(dòng)磨損、軸向串動(dòng)及振動(dòng)等原因產(chǎn)生的軸向位移，同時(shí)還起著使動(dòng)環(huán)隨旋轉(zhuǎn)軸一起旋轉(zhuǎn)的作用[1―2]。然而由于結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜,難以得到簡(jiǎn)單而又準(zhǔn)確的計(jì)算。Nuer等[3]通過利用軟件對(duì)波紋管建立了有限元模型，得到了波紋管的彈簧剛度；較多學(xué)者利用軟件對(duì)金屬波紋管膜片的研究，確定了膜片的應(yīng)力分布和變形情況[4-9]；Zhang等[10]利用Pro-E軟件分別建立了單圓弧焊接金屬波紋管、雙圓弧焊接金屬波紋管和三圓弧焊接金屬波紋管的有限元模型，并引入ANSYS軟件進(jìn)行了模態(tài)分析，分別得到了它們的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)，并進(jìn)行了分析比較。隨著對(duì)波紋圓板的實(shí)驗(yàn)和理論研究的不斷進(jìn)行[11―16]，Murphy[17]采用梁理論對(duì)不同形式回轉(zhuǎn)殼體波紋管的應(yīng)力和應(yīng)變進(jìn)行分析；Aleksander等[18]把在軸對(duì)稱載荷作用下波紋管認(rèn)為是波紋的旋轉(zhuǎn)殼，得出了U形膨脹波紋管在內(nèi)壓載荷作用下的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)；對(duì)于波紋管理論分析方面的研究較少，袁鴻和劉人懷[19]采用軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)殼體理論,研究了在均布載荷作用下具有硬中心的帶邊緣大波紋膜片的非線性彎曲問題，應(yīng)用積分方程方法,獲得了具有夾緊固定和滑動(dòng)固定兩種外邊界膜片的特征關(guān)系，即荷載-中心撓度曲線。劉人懷等[20―21]建立了波紋扁球殼的非線性彎曲理論，利用該理論和改進(jìn)的迭代方法，得到了在均勻壓力作用下具有剛性夾緊邊的波紋扁球殼的臨界屈曲壓力的解析解。

由于波紋管結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，利用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值求解的較多。本文嘗試?yán)脭M殼法對(duì)單圓弧膜片建立精確力學(xué)模型，將其簡(jiǎn)化為具有初始撓度的圓環(huán)板，采用文獻(xiàn)[13]的研究方法，其中修正迭代法利用迭代原理，能夠快速地求解出膜片的解析解。利用薄殼的非線性大撓度理論，用修正迭代法求解單圓弧波紋管膜片的大撓度方程，從而得到了精確度較高的二次解析解，討論了波紋管膜片在圓弧最大變形處的撓度和載荷的關(guān)系，波紋管的微小變形將直接影響密封氣膜流場(chǎng)，對(duì)波紋管優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 基本方程和邊界條件

單圓弧型波紋管膜片是一個(gè)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的圓環(huán)薄殼單元，如圖1所示。取單個(gè)膜片的半波剖面，如圖2所示。具有初始撓度圓環(huán)薄板的厚度為h，圓環(huán)薄板的內(nèi)外半徑分別為c、a，圓弧波長(zhǎng)為2R，膜片的外邊界固定，內(nèi)邊界自由。圓環(huán)薄板的初始撓度為w0。單圓弧波紋膜片受到的介質(zhì)壓力認(rèn)為是均布載荷q，將兩個(gè)膜片之間的相互作用力處理為單個(gè)膜片在自由端受到集中力P，集中力P=K·X，其中K為膜片的剛度，X為膜片的壓縮量。對(duì)圖3所示的膜片力學(xué)模型的非線性大變形進(jìn)行計(jì)算。采用擬殼法將單圓弧波紋管膜片看作是具有初始撓度的圓環(huán)薄板，建立柱坐標(biāo)系：r為徑向坐標(biāo)；w為撓度；Nr為徑向薄膜力。

圖1 膜片的立體視圖Fig.1 Spatial view of diaphragm

圖2 膜片的幾何模型剖視圖Fig.2 Cutaway view of diaphragm’s geometric model

圖3 膜片力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of diaphragm

選取初始撓度：

單圓弧波紋管膜片軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)受到的載荷為軸對(duì)稱，從而引起的變形是軸對(duì)稱變形，單圓弧波紋管膜片的基本方程組[22―23]：

其中：E為彈性模量；為泊松比；w0為初始撓度。

其邊界條件為：

固定周邊處，

自由周邊處，

連續(xù)處，

式中：(·)1表示外部無初始撓度圓環(huán)薄板；(·)2表示具有初始撓度的圓環(huán)薄板；(·)3表示內(nèi)部無初始撓度圓環(huán)薄板。

為了計(jì)算方便，引入下列無量綱量：

將這些量代入方程組式(2)和方程組式(3)簡(jiǎn)化可以得到如下的無量綱控制方程：

算子：

由無量綱表示的邊界條件為：

固定周邊處，

自由周邊處，

連續(xù)處，

連續(xù)處，

2 對(duì)基本方程求解

單圓弧波紋管膜片的圓弧位于膜片中間部分，采用擬殼法將膜片看作具有初始撓度的圓環(huán)薄板，單圓弧膜片由部分組合而成，外部無初始撓度圓環(huán)薄板、中間部分具有初始撓度的圓環(huán)薄板和內(nèi)部無初始撓度圓環(huán)薄板。利用修正迭代法[11]對(duì)膜片的撓度W進(jìn)行二次近似求解。

2.1 外部無初始撓度圓環(huán)薄板的基本方程求解

當(dāng)b/a≤x≤1時(shí)，外部無初始撓度圓環(huán)薄板的基本方程為：

利用修正迭代法對(duì)基本方程式(14)進(jìn)行求解。

對(duì)于一次近似，有：

其中：

式中，g1、g2均為單圓弧波紋管膜片一次近似求解中薄膜力表達(dá)式中的積分常數(shù)，它們由單圓弧膜片的邊界條件和連續(xù)性條件來確定。

對(duì)于二次近似，有：

將式(16)和式(17)代入式(18)求解出外部無初始撓度圓環(huán)薄板的二次近似的大撓度。

2.2 具有初始撓度的圓環(huán)薄板的基本方程求解

當(dāng)d/a≤x≤b/a時(shí)，具有初始撓度的圓環(huán)薄板的 基本方程為：

利用修正迭代法對(duì)基本方程式(19)進(jìn)行求解。

對(duì)于一次近似，有：

其中：

式中，g3、g4均為單圓弧波紋管膜片一次近似求解中薄膜力表達(dá)式中的積分常數(shù)，它們由單圓弧膜片的邊界條件和連續(xù)性條件來確定。

對(duì)于二次近似，有：

將式(21)和式(22)代入式(23)求解出具有初始撓度的圓環(huán)薄板的二次近似的大撓度。

2.3 內(nèi)部無初始撓度圓環(huán)薄板的基本方程求解

當(dāng)c/a≤x≤d/a時(shí)，內(nèi)部無初始撓度的圓環(huán)薄板的基本方程為：

利用修正迭代法對(duì)基本方程式(24)進(jìn)行求解。

對(duì)于一次近似，有：

由方程組式(25)一次近似求解可得到無量綱撓度和無量綱薄膜力。

有解為：

其中：

式中，g5、g6均為單圓弧波紋管膜片一次近似求解中薄膜力表達(dá)式中的積分常數(shù)，它們由單圓弧膜片的邊界條件和連續(xù)性條件來確定。

對(duì)于二次近似，有：

將式(26)和式(27)代入式(28)求解出內(nèi)部無初始撓度圓環(huán)薄板的二次近似的大撓度。

3 數(shù)值計(jì)算和結(jié)果分析

選取試驗(yàn)參數(shù)，波紋管材料的彈性模量E=187 GPa，泊松比μ=0.3，單圓弧膜片的外徑為a=37 mm，內(nèi)徑為c=27 mm，膜片波長(zhǎng)為2R，膜片的厚度均為h=0.3 mm。由單圓弧波紋管膜片的邊界條件和連續(xù)性條件，通過對(duì)各級(jí)迭代方程進(jìn)行計(jì)算得到各級(jí)方程的積分常數(shù)。

將上述數(shù)據(jù)代入文獻(xiàn)[20]，可得到波紋環(huán)形板在自由端處的載荷和撓度的關(guān)系式，選取圓弧的矢高f=0.25 mm，波長(zhǎng)2R=6 mm，膜片受到集中力P的作用。可得到文獻(xiàn)[20]中對(duì)應(yīng)的載荷和撓度的關(guān)系式為：

通過計(jì)算可以得到單圓波紋管弧膜片在自由端的載荷和撓度的關(guān)系式為：

由文獻(xiàn)[20]得到單圓弧波紋管膜片在自由端處載荷與撓度的特征關(guān)系式和文中通過計(jì)算得到的特征關(guān)系式對(duì)比如圖4所示，可以看出本方法的結(jié)果具有較好的精確性。

圖4 本文計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[20]計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖Fig.4 Comparisons between the calculated results in this manuscript and those in Ref [20]

由一次近似解可得到撓度與載荷的線性關(guān)系，取圓弧部分膜片最大撓度處的撓度為Wc，則有W1=Wc。波紋管膜片圓弧部分在最大變形處發(fā)生小撓度變形時(shí)，載荷和撓度呈現(xiàn)線性關(guān)系，則此時(shí)在波紋管膜片最大變形處撓度Wc和載荷Q0的特征曲線如圖5所示。

圖5 單圓弧波紋管膜片的小撓度平衡路徑Fig.5 Balance path of small deflection for single arc bellows diaphragm

圖5(a)給出波長(zhǎng)固定(2R=6 mm)時(shí)，不同類型的載荷作用在單圓弧波紋管膜片時(shí)膜片發(fā)生的線性彎曲變形，圖5(b)給出膜片受到復(fù)合載荷(β1=1，β2=1)時(shí)，不同波長(zhǎng)的膜片發(fā)生的線性彎曲變形。

由二次近似解可得到撓度與載荷的非線性線性關(guān)系，取膜片圓弧部分發(fā)生最大變形處的撓度為Wc，則有W2=Wc。則波紋管膜片圓弧部分最大變形處撓度Wc和載荷Q1的關(guān)系如圖6和圖7所示。

圖6 單圓弧膜片矢高變化下膜片的大撓度平衡路徑Fig.6 Balance path of large deflection of single arc diaphragm under variation of vector height

圖6給出了單圓弧波紋管膜片在不同載荷作用下圓弧最大變形處撓度的三次特征關(guān)系式的特征曲線，反映了不同載荷和不同矢高作用下的彎曲情況。圖6(a)～圖6(c)在波長(zhǎng)固定不變(2R=4 mm，2R=4 mm，2R=6 mm)膜片承受均布載荷(β1=1，β2=0)、集中力(β1=0，β2=1)和復(fù)合載荷(β1=1，β2=1)作用，增大波紋管圓弧處的矢高，膜片的大撓度平衡路徑發(fā)生變化；當(dāng)膜片無圓弧(f=0 mm)時(shí),膜片受到載荷時(shí)越容易發(fā)生變形；隨著波紋管膜片圓弧矢高的增加(f=0.25 mm，f=0.50 mm，f=0.75 mm)，膜片受到載荷作用時(shí)使膜片發(fā)生的變形達(dá)到平衡路徑越容易，膜片的承載能越強(qiáng)；隨著圓弧撓度的增加，膜片發(fā)生變形所需要的載荷呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性增加。

圖7 單圓弧膜片圓弧波長(zhǎng)變化下膜片的大撓度平衡路徑Fig.7 Balance path of large deflection of single arc diaphragm under variation of arc wavelength

圖7給出了單圓弧波紋管膜片在不同載荷作用下圓弧最大變形處撓度的3次特征關(guān)系式的特征曲線，反映了不同載荷和不同波長(zhǎng)下的彎曲情況。圖7(a)～圖7(c)在矢高固定不變(f=0.75 mm，f=0.75 mm，f=0.50 mm)膜片承受均布載荷(β1=1，β2=0)、集中力(β1=0，β2=1)和復(fù)合載荷(β1=1，β2=1)作用，增大波紋管圓弧的波長(zhǎng)，膜片的大撓度平衡路徑發(fā)生變化；當(dāng)膜片圓弧的波長(zhǎng)(2R=4 mm)時(shí)，膜片受到載荷時(shí)越容易發(fā)生變形；隨著波紋管膜片圓弧波長(zhǎng)的增加(2R=4 mm，2R=6 mm，2R=8 mm)，膜片受到載荷作用時(shí)使膜片發(fā)生的變形達(dá)到平衡路徑越容易，膜片的承載能越強(qiáng)；隨著圓弧撓度的增加，膜片發(fā)生變形所需要的載荷呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性增加。

4 結(jié)論

(1) 用薄板理論研究了單圓弧波紋管膜片的非線性大變形。在等效連續(xù)化方法的基礎(chǔ)上，用擬殼法將單圓弧膜片轉(zhuǎn)化為連續(xù)的圓環(huán)薄板，用修正迭代法對(duì)其進(jìn)行了求解。

(2) 隨著單弧膜片的矢量高度的增加，膜片的撓度非線性增大，隨著單弧波紋管膜片的弧長(zhǎng)變長(zhǎng)，膜片的撓度非線性增大。單圓弧波紋管膜片中圓弧部分的初始撓度越大，膜片的承載能力就會(huì)越強(qiáng)；圓弧部分波長(zhǎng)越長(zhǎng)，膜片的承載能力就會(huì)越強(qiáng)。

(3) 單圓弧波紋管膜片發(fā)生的變形不僅與膜片本身具有的性質(zhì)有關(guān)，而且與膜片的結(jié)構(gòu)形狀也有關(guān)，合理地選擇波紋管膜片的矢高和波長(zhǎng)，可以優(yōu)化波紋管的設(shè)計(jì)，使干氣密封的效果達(dá)到最佳。