數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

胡翔宇

(江蘇大學(xué) 卓越學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

1 數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性

數(shù)學(xué)是一門工具性極強(qiáng)的學(xué)科，相對于其他學(xué)科來說，其抽象性、邏輯性等特點(diǎn)十分明顯。就當(dāng)前數(shù)學(xué)的應(yīng)用來看，其與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間有著不可分割的聯(lián)系。隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)、人工智能技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)運(yùn)算性能得到了質(zhì)的飛躍，計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢也越來越明顯，將深奧的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到實(shí)際問題中，有效解決了現(xiàn)實(shí)生活中的各種難題[1]。計(jì)算機(jī)已經(jīng)證明了四色問題，證明過程中利用了大量數(shù)學(xué)思想，如小波分析、離散數(shù)學(xué)、仿生計(jì)算等，人們開始意識到計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)之間有著密不可分的關(guān)系。計(jì)算機(jī)的主要任務(wù)是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、圖像處理、程序設(shè)計(jì)等不同類型的計(jì)算，這些工作可以分為數(shù)值計(jì)算與非數(shù)值計(jì)算。計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算步驟如圖1所示。

圖1 計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算步驟Fig.1 Computer science calculation steps

可以看出，計(jì)算機(jī)在解決問題中需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為程序，建立完善的數(shù)學(xué)模型，完成對具體問題的抽象化處理。計(jì)算機(jī)軟件編程是以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的，軟件編程中的大量理論和技術(shù)是應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行描述的。計(jì)算機(jī)算法的正確性、程序語義以及理論基礎(chǔ)都為數(shù)理邏輯或模型論。

2 數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

2.1 數(shù)學(xué)模型在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型指通過構(gòu)建符號系統(tǒng)，把對事物系統(tǒng)特點(diǎn)與數(shù)量關(guān)系的描述以數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)出來?，F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的重要特點(diǎn)之一就是實(shí)現(xiàn)科學(xué)的數(shù)學(xué)化，將現(xiàn)實(shí)、形象的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展及相關(guān)產(chǎn)業(yè)的成熟，各類軟件已應(yīng)用到社會生產(chǎn)的各個領(lǐng)域，如導(dǎo)航軟件、購物軟件、新聞軟件等都是利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程，使人們的生產(chǎn)生活更加便捷[2]。當(dāng)前計(jì)算機(jī)軟件所能處理的問題已經(jīng)不局限于數(shù)學(xué)計(jì)算領(lǐng)域，而是拓展到用于解決大量非數(shù)值計(jì)算問題。利用計(jì)算機(jī)軟件編程解決現(xiàn)實(shí)問題時，需要將現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，建立基于數(shù)值問題的數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)方程。針對非數(shù)值計(jì)算的數(shù)學(xué)模型建立，則需要通過表、樹以及圖等相關(guān)數(shù)據(jù)配合數(shù)學(xué)方程式，建立完善的描述，從而利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。

2.2 離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，主要有以下幾個方面：第一，離散數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)將操作對象之間的關(guān)系分為若干種，分別為集合、線性結(jié)構(gòu)、樹形結(jié)構(gòu)、圖狀結(jié)構(gòu)及網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。計(jì)算機(jī)中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)研究的主要內(nèi)容為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的邏輯體系、基礎(chǔ)運(yùn)算等。其中，邏輯體系與基礎(chǔ)運(yùn)算都是離散數(shù)學(xué)中重要的離散結(jié)構(gòu)與算法思考內(nèi)容。離散數(shù)學(xué)中集合論等知識點(diǎn)及關(guān)系等都被應(yīng)用在計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中。如集合論中集合由元素組成，元素是世界上的客觀事物，關(guān)系是建立在集合論基礎(chǔ)上的一種特殊集合[3]。第二，離散數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)庫中的應(yīng)用。計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)據(jù)庫應(yīng)用十分廣泛，其中關(guān)系數(shù)據(jù)庫是計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)庫中最常見的類型之一。笛卡爾積是離散數(shù)學(xué)中的基本理論，也是計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)庫建設(shè)的基礎(chǔ)理論之一。笛卡爾積理論為計(jì)算機(jī)關(guān)系數(shù)據(jù)庫的建設(shè)提供了理論與方法，并為數(shù)據(jù)技術(shù)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。關(guān)系數(shù)據(jù)模型以集合代數(shù)作為基礎(chǔ)，數(shù)據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)是以行列構(gòu)成的二維表來闡述關(guān)系的數(shù)據(jù)形式。第三，離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)編譯中的運(yùn)用。計(jì)算機(jī)的編譯程序相對繁雜，一般計(jì)算機(jī)編譯程序包含詞法分析程序、語法分析程序、語義分析程序等，離散數(shù)學(xué)中的計(jì)算機(jī)模型知識點(diǎn)中分析了三種計(jì)算模型，分別為文法、有限狀態(tài)以及圖靈機(jī)，具體理論有語言與文法、帶輸出的優(yōu)先級狀態(tài)、圖靈機(jī)等。上述離散數(shù)學(xué)中的理論知識均能夠在計(jì)算機(jī)編譯原理的詞法分析中找到?？梢钥闯?，離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)編譯原理的重要基礎(chǔ)知識。第四，離散數(shù)學(xué)在人工智能中的應(yīng)用。在計(jì)算機(jī)人工智能中邏輯推理是重要的技術(shù)支持。邏輯是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中推理的基礎(chǔ)，對計(jì)算機(jī)人工智能技術(shù)有著廣泛的現(xiàn)實(shí)作用。離散數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)推理知識與布爾代數(shù)理論為計(jì)算機(jī)人工智能的早期發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。第五，離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)中的運(yùn)用。在計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)中指令系統(tǒng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化十分關(guān)鍵，指令系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)性能之間有著密切關(guān)系。指令系統(tǒng)的優(yōu)化方式眾多，一是對指令格式的優(yōu)化，指令通常由操作碼與地址碼構(gòu)成，指令格式優(yōu)化即為如何利用最短位數(shù)來代表指令的操作與地址信息，以便使程序中的指令字長盡可能短[4]?；谶@一目的，需要使用哈夫曼的壓縮概念，該概念的基本思想為當(dāng)各類事件發(fā)生概率不平均時，采用優(yōu)化技術(shù)對概率最高的事件用最短的位置來標(biāo)識，對概率較低的事件則使用較長的位置來表示，這就會導(dǎo)致平均位數(shù)變短。利用哈夫曼概念創(chuàng)造出哈夫曼樹，利用頻度對計(jì)算機(jī)指令系統(tǒng)中的所有指令進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)頻度從小到大排列，每次選擇其中最小兩個頻度合并為新頻度，將其插入未結(jié)合的頻度中，如此往復(fù)直到所有頻度完成結(jié)合形成根節(jié)點(diǎn)。再針對節(jié)點(diǎn)向下延伸分支，分別為“1”與“0”。從根結(jié)點(diǎn)開始沿線所經(jīng)過的代碼序列為哈夫曼編碼，這一編碼系列滿足指令使用概率低的指令編以長碼。

2.3 組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

組合數(shù)學(xué)是與計(jì)算機(jī)科學(xué)一同發(fā)展成熟的，具有綜合性、邊緣性，即為分析事物發(fā)生中可能聯(lián)系的N種數(shù)學(xué)理論。相對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)而言，組合數(shù)學(xué)是離散事物之間存在的必然數(shù)學(xué)聯(lián)系，如構(gòu)造性問題、最優(yōu)化問題等。在組合數(shù)學(xué)中，技術(shù)問題是研究最為成熟的內(nèi)容之一。計(jì)算機(jī)科學(xué)需要研究算法，對算法的運(yùn)算與存儲單元進(jìn)行評估，體現(xiàn)了算法在空間與時間上的復(fù)雜性。組合數(shù)學(xué)的具體研究內(nèi)容包括容斥原理、生成函數(shù)與遞推關(guān)系等，組合數(shù)學(xué)有力推動了計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，為了判斷計(jì)算機(jī)算法的效率，需要使用該算法解答具有給定的輸入時需要多少步。

2.4 數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)論也被稱為整數(shù)論，分為初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論及幾何數(shù)論等分支。代數(shù)數(shù)論將證書概念推廣到一般代數(shù)領(lǐng)域中，構(gòu)建了可除性、素整數(shù)等概念。程序設(shè)計(jì)中應(yīng)用較為頻繁的有代數(shù)曲線，如橢圓曲線理論。隨著當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，數(shù)論的應(yīng)用也愈加廣泛，如在計(jì)算機(jī)方法、代數(shù)編碼、組合學(xué)理論等方面都廣泛應(yīng)用了初等數(shù)論研究的一系列成果。數(shù)論算法對于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)具有較大作用，其中素?cái)?shù)問題、素性測試、因子分解、求解同余線性方程等都是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中需要使用的，如基于大素?cái)?shù)的密碼體系是近年來數(shù)論算法的廣泛應(yīng)用之一。

3 結(jié)語

數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的抽象學(xué)科，對于計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展具有重要作用。數(shù)學(xué)能夠幫助人們建立抽象的邏輯思維，通過舉一反三的思維方式進(jìn)行創(chuàng)新。數(shù)學(xué)模型、離散數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)及數(shù)論均在計(jì)算機(jī)科學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，為計(jì)算機(jī)編程、模型建設(shè)、數(shù)據(jù)存儲提供了理論支持。