彈性管中的怪波*

陳智敏 段文山

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 蘭州 730070)

利用約化攝動(dòng)法, 推導(dǎo)了流體在彈性管中的非線性薛定諤方程(NLSE).由非線性薛定諤方程的解來近似地描述出真實(shí)的怪波, 繼而研究怪波解中各個(gè)參數(shù)對怪波系統(tǒng)振幅、波速的影響.最后將這一模型應(yīng)用到人體血管中, 研究怪波在人體動(dòng)脈血管中傳播對人體健康的影響.

專題：非線性物理

1 引 言

近年來人們對怪波做了大量的研究[1?6].怪波首先是在海洋上被發(fā)現(xiàn)的, 當(dāng)時(shí)在海洋上人們發(fā)現(xiàn)一陣突如其來的奇高無比的水墻, 卻又在一瞬間消失得無影無蹤[7?9], 似乎是“來無影, 去無蹤”, 人們就將此現(xiàn)象稱為怪波.由此可知, 在海洋上由怪波產(chǎn)生的浪濤并不像由臺風(fēng)和地震所造成的浪濤那樣, 可以提前幾個(gè)小時(shí)或幾天預(yù)測.所以怪波對海上船只、軍艦等會(huì)造成極大的損害[8].因此, 科學(xué)家們對這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行了大量的觀測和研究.1964年,英國科學(xué)家Draper 給出了怪波的定義[10].然而,怪波的各種奇特的性質(zhì)還未被人們所熟知[11,12], 所以直至現(xiàn)在, 對于怪波的研究也都沒有中斷過.后來, 人們發(fā)現(xiàn)怪波不僅存在于海洋上, 在許多其他領(lǐng)域中也都相繼發(fā)現(xiàn)了怪波, 例如: 在等離子體物理學(xué)[13, 14]、氣象學(xué)[15]、流體力學(xué)[16]、玻色-愛因斯坦凝聚[17]、毛細(xì)波[18]等領(lǐng)域.不過由于觀測環(huán)境的困難和危險(xiǎn), 無法充分理解怪波現(xiàn)象, 人們只好尋求其他方法.例如: 通過非線性薛定諤方程的一種解: Peregrine rogue wave[19], 可以近似地描述怪波.這一解的形式最早由 Peregrine[19]提出.可以借助對 Peregrine rogue wave解的研究來了解怪波特性, 從而防止怪波產(chǎn)生高能振幅等危害.深水下怪波現(xiàn)象對海上的船只威脅最大[9], 由于觀測深水下怪波現(xiàn)象具有很大的困難, 人們就試圖通過各種方法來描述出在深水下的怪波情況, 但目前還未成功.

流體在彈性管內(nèi)的流動(dòng)問題[20, 21]一直被人們所關(guān)注, 故對于充滿流體的彈性管中各種波的傳播研究一直是個(gè)熱門課題.在充滿流體的彈性管波的相關(guān)研究有許多[22?25], 但是在此系統(tǒng)中是否會(huì)出現(xiàn)怪波還沒有任何研究.本文首次對充滿流體的彈性管中的怪波進(jìn)行了研究.大家知道, 血液在人體或者動(dòng)物血管中的流動(dòng)可以用充滿流體的彈性管來近似研究.因此研究充滿流體的彈性管中的怪波問題有很重要的實(shí)際意義.找到能描述血液在血管中流動(dòng)情況的解, 就可以探究人體血管中哪些參量對血液流動(dòng)有著重要的影響, 再對其加以控制就可以更深入了解血液在血管中的流動(dòng)特性.這一研究可能對醫(yī)學(xué)有一定的參考意義.

2 怪波的理論模型與怪波解

本文研究限制在無限長圓柱管內(nèi)的不可壓縮的流體, 圓柱管的壁是由一根均勻彈性管組成的.控制流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程是質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒方程[26]:

其中A是圓柱體的橫截面面積,u是流體的速度,p是流體壓強(qiáng),ρ0是流體的密度.第三個(gè)方程為管道橫截面面積與壓力的方程[27?30]:

其中ρw是彈性管壁的密度,h和E是彈性管的厚度和楊氏模量,a是彈性管中液體平衡時(shí)管的半徑,是彈性管道徑向振動(dòng)的固有頻率.定義代入 (1)式—(3)式中, 得到無量綱方程:

上述復(fù)雜的非線性方程組可以通過約化攝動(dòng)法化為比較簡單的且可精確求解的非線性演化方程.本文由上述方程組推導(dǎo)出了非線性薛定諤方程[26].假 設(shè) :ξ=ε(x′?Vt′),τ=ε2t′, 其 中ε是 個(gè) 小 量 ,V為波的群速度.將A′,u′和p′作攝動(dòng)展開:

我們知道非線性薛定諤有很多解, 其中有一種是怪波解[31], 其解的形式如下:

代入由上面攝動(dòng)方法展開的式子可得到管的橫截面A′的解, 其解的形式如下:

3 彈性管模型系統(tǒng)及人體血管參數(shù)對怪波的影響

我們知道怪波具有一些奇特的性質(zhì), 例如: 它的包絡(luò)振幅可以在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到最大值, 并可在短時(shí)間內(nèi)也會(huì)達(dá)到零, 這就是怪波似乎“來無影, 去無蹤”的原因.圖1為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)下的怪波在不同時(shí)間點(diǎn)上所在的各個(gè)位置的等高圖, 它表明怪波從某一位置突然出現(xiàn)然后又突然消失.從圖中怪波出現(xiàn)的時(shí)間和位置可以推測即將出現(xiàn)怪波的時(shí)間和位置, 這對預(yù)防由怪波引起的危害有一定的幫助.

下面分析動(dòng)物血管中怪波傳播的性質(zhì).將文獻(xiàn)[32,33]中兔胸主動(dòng)脈實(shí)驗(yàn)得到的兔胸主動(dòng)脈的半徑、血管壁厚度、血管壁的楊氏模量等參數(shù)值代入怪波解中畫圖.兔胸主動(dòng)脈血管的半徑a= 2.58 mm,血管壁厚度h= 0.25 mm, 血管壁的楊氏模量E=936.5 kpa.圖2為不同時(shí)刻的怪波在血管中縱向傳播的圖形, 圖中表明在血管中的不同位置, 怪波振幅是不同的, 并且怪波在兔子的主動(dòng)脈血管中的傳播速度大約為5.8 m/s.

圖1 怪波振幅的密度圖Fig.1.The contour graph of a rogue wave solution image.

圖2 不同時(shí)刻的怪波圖像Fig.2.The above picture shows the rouge wave for t = 0.1 s,t = 0.5 s and t = 0.9 s.

圖3 人體血管參數(shù)對怪波振幅的影響 (a)波數(shù) k ; (b)小參數(shù) ε ; (c)厚度 h , (d)液體密度 ρ ; (e)楊氏模量 E ; (f)半徑aFig.3.The effect of human vascular parameters on the amplitude of rouge waves:(a) k ; (b) ε ; (c) h ; (d) ρ ; (e) E ; (f) a .

怪波振幅越大, 產(chǎn)生的能量就越高, 就越容易產(chǎn)生危害.接下來研究人體血管中血管壁厚度、楊氏模量、血管半徑等各個(gè)參數(shù)對怪波振幅的影響.主要研究人體主動(dòng)脈血管的怪波性質(zhì), 在H.Otel所著的《普朗特流體力學(xué)基礎(chǔ)》一書中生物流體力學(xué)給出了人體中各個(gè)部位血管脈的性質(zhì), 其中主動(dòng)脈血管的厚度與半徑為最大, 其厚度h=2 × 10–3m, 半徑a= 1.25 × 10–2m.圖3(a) 是波數(shù)k與怪波振幅的關(guān)系圖, 圖中表明怪波振幅隨著k的增大而增大, 即怪波的波長越小, 怪波的振幅就越大.我們知道人在緊張或受到驚嚇的時(shí)候,血管會(huì)出現(xiàn)膨脹現(xiàn)象, 我們猜測是在人緊張或受到驚嚇的時(shí)候, 血管中的怪波的波長會(huì)突然變小而引起的.在圖3(b) 中表明了小參數(shù)ε對怪波振幅的影響, 可以看出，怪波的振幅隨著ε的增大而增大.圖3(c) 中取人體不同位置血管壁的厚度的變化對怪波振幅的影響, 得出結(jié)果是管壁厚度對怪波振幅沒有影響.圖3(d) 中參考水、血液、酒精、海水、水銀等液體的密度對怪波振幅的影響, 結(jié)果得出液體密度的改變對怪波振幅沒有影響.圖3(e) 中表明管壁的楊氏模量改變, 怪波的振幅依然還是不變的.圖3(f) 研究血管道半徑a與怪波振幅的關(guān)系,結(jié)果表明血管道半徑增大, 怪波振幅也隨之增大.

結(jié)果表明, 如果人體血液流動(dòng)中出現(xiàn)怪波現(xiàn)象, 當(dāng)怪波為短波時(shí)怪波的振幅越大, 對血管的危害就會(huì)越重.并且血管壁半徑也對怪波的影響較大, 血管越粗的部位, 產(chǎn)生的怪波振幅越大, 即在血管較粗的部位更應(yīng)該注意防范由怪波產(chǎn)生的危害.這一發(fā)現(xiàn)為醫(yī)學(xué)上人體血液流動(dòng)問題提供了一定的參考.

圖4 人體血管參數(shù)對怪波波速的影響 (a) 波數(shù) k ; (b) 小參數(shù) ε ; (c) 厚度 h ; (d) 液體密度 ρ ; (e)楊氏模量 E ; (f)半徑 a 值Fig.4.The effect of elastic tube parameters on the velocity of rouge waves: (a) k ; (b) ε ; (c) h ; (d) ρ ; (e) E ; (f) a .

圖4給出了血管壁的管壁厚度、楊氏模量、血管半徑等各個(gè)參數(shù)與怪波波速的關(guān)系.圖4(a)為波數(shù)k與怪波波速的關(guān)系, 表明怪波波速隨著k的增大而減小.即怪波的波長越短, 怪波的傳播速度越慢.圖4(b) 給出了ε與怪波波速的關(guān)系, 可以看出ε對怪波波速?zèng)]有顯著影響.圖4(c)為液體的密度ρ與怪波波速的關(guān)系, 可以看出隨著液體密度ρ的增大, 怪波的波速在減小.這表明密度大的液體中的怪波傳播速度慢.圖4(d)是管壁厚度h與怪波波速的關(guān)系圖, 隨著管壁厚度h的增大, 怪波的波速也增大.這表明在人體中血管壁越厚的部位, 怪波的傳播速度越快.圖4(e)給出了楊氏模量與怪波波速的關(guān)系, 隨著管壁的楊氏模量的增大,怪波波速也隨之增大.表明在人體血管中剛性較強(qiáng)的部位的怪波波速較快.圖4(f)是管的半徑與怪波波速的關(guān)系, 怪波波速隨著血管半徑的增大而減小.可以看出, 在人體血管越粗的部位, 怪波的波速也就越小.

我們知道, 人體心臟附近位置的血管半徑較大且血管壁較厚, 這樣容易導(dǎo)致心臟附近出現(xiàn)的怪波可能有較大的振幅和較大的傳播速度.這一結(jié)論對醫(yī)學(xué)研究可能會(huì)有一定的參考意義.

4 結(jié) 論

利用約化攝動(dòng)法, 依據(jù)不可壓縮液體在彈性管中流動(dòng)的非線性薛定諤方程, 我們用非線性薛定諤方程的解描述出真實(shí)的怪波解.通過怪波解的理論結(jié)果, 分析了怪波的許多特性, 這對怪波的研究是一個(gè)重要的補(bǔ)充.將這一理論模型應(yīng)用到人體和動(dòng)物中血管中的血液流動(dòng)問題, 給出了怪波在動(dòng)脈血管中的傳播特性, 給出了怪波對血液在動(dòng)脈血管中各個(gè)位置的影響, 這也對現(xiàn)代醫(yī)學(xué)上提供了一些幫助.但這一方法僅適用于當(dāng)管道的橫截面面積改變量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于管道的橫截面面積, 放在人體血管中也是如此, 如果不滿足這一條件, 對于計(jì)算和模擬的結(jié)果就會(huì)有所偏差.