隨機(jī)模型預(yù)測溫度條件下復(fù)合材料橫向拉伸剛度 *

李 帥，溫衛(wèi)東，張宏建

(南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，南京 210016)

0 引言

復(fù)合材料具有比剛度高、比強(qiáng)度大、可設(shè)計性強(qiáng)、抗疲勞性能好等優(yōu)點，廣泛用于航空航天、空間技術(shù)、武器裝備、能源工程、交通運輸和民用建筑等諸多領(lǐng)域。在復(fù)合材料層合板中，橫向鋪層提供了必要的強(qiáng)度和剛度，維持了結(jié)構(gòu)完整性。復(fù)合材料在橫向載荷下的力學(xué)性能對于復(fù)合材料層合板的整體力學(xué)性能與失效模式有重要影響。在加載過程中，橫向失效往往最先出現(xiàn)，并可能導(dǎo)致層合板其他鋪層的進(jìn)一步破壞。通過試驗方法對復(fù)合材料橫向性能進(jìn)行研究具有成本高、分散性大的缺點。隨著計算機(jī)技術(shù)和有限元方法的發(fā)展，模擬復(fù)合材料性能的細(xì)觀力學(xué)方法得到廣泛使用[1]。由于復(fù)合材料制備方法的限制，很難制備纖維體積含量60%甚至更高的復(fù)合材料單向板；目前針對2.5維機(jī)織復(fù)合材料的研究其包含的纖維束體積含量達(dá)到70%以上，很難通過制造同樣體積含量的單向板來試驗獲得纖維束性能，更凸顯了有限元方法在預(yù)測復(fù)合材料橫向力學(xué)性能方面的重要性[2-3]。

國內(nèi)外早期的研究一般假設(shè)橫截面上的纖維呈規(guī)則陣列分布，如規(guī)則的四邊形或規(guī)則六邊形分布。但實際固化過程中，基體中的纖維分布是離散隨機(jī)的，形成了富樹脂區(qū)和貧樹脂區(qū)。Trisa D等[4]發(fā)現(xiàn)采用規(guī)律分布模型與隨機(jī)模型相比，低估了基體開裂和損傷的初始發(fā)生，Wangsto等[5]通過隨機(jī)模型獲得的復(fù)合材料單向板橫向拉伸模量和剪切模量顯著高于規(guī)律模型得到的結(jié)果。目前，常見的纖維隨機(jī)分布生成方法包括纖維圖像重構(gòu)法[6]、硬核法(HCM)[7]、隨機(jī)擾動法(SRP[5]循環(huán)碰撞法(MDA)[8-10]等。

復(fù)合材料橫向性能主要受基體性能影響。在溫度條件下，相比于縱向性能，復(fù)合材料橫向性能退化更加明顯。目前，通過隨機(jī)模型對復(fù)合材料橫向拉伸性能的研究主要集中在常溫條件下，對高溫環(huán)境下的力學(xué)性能研究較少，國內(nèi)外鮮有報道。

本文通過隨機(jī)碰撞法建立細(xì)觀模型，對20、160及200 ℃下不同纖維體積含量的T300/QY8911-IV樹脂基復(fù)合材料橫向拉伸剛度進(jìn)行了模擬。通過與實驗數(shù)據(jù)和擬合理論公式的對比，驗證了隨機(jī)模型對溫度條件下復(fù)合材料單向板橫向力學(xué)性能預(yù)測的可靠性。

1 循環(huán)碰撞法

本文通過matlab語言編寫循環(huán)碰撞算法，生成纖維隨機(jī)分布的幾何模型，詳細(xì)流程見圖1所示。

圖1 循環(huán)碰撞法流程圖

首先，輸入?yún)?shù)f(纖維體積含量)、d(纖維直徑)、n(列數(shù))、m(行數(shù))、 Δt(時間步長度)，并給定碰撞循環(huán)數(shù)N。生成初始六方密排分布的纖維點，如圖2所示。然后，給定纖維的初始速度，計算每一時間步后的纖維位置，見式(1)：

式中xt，yt，xt+Δt，yt+Δt為t時刻和t+Δt時刻纖維的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)；ut、vt為纖維在t時刻沿x軸和y軸的速度；Δt為時間步長度。

確定位移后進(jìn)行速度修正，主要包括纖維彈性碰撞的速度修正和纖維/壁面碰撞的速度修正。纖維彈性碰撞的速度修正見式(2)：

纖維/壁面碰撞的修正見式(3)：

式中l(wèi)min是給定的極小距離值。

通過碰撞速度修正，防止壁面纖維之間和纖維與壁面之間的距離過近，影響網(wǎng)格的劃分。

圖2 纖維密排六方分布

此外，為便于后續(xù)周期性邊界條件的施加，要求滿足幾何的周期對稱性。當(dāng)有纖維從某一邊出去時，同時有一根纖維從對邊進(jìn)入，使窗口區(qū)形狀對稱。經(jīng)過足夠循環(huán)數(shù)，打破初始纖維排布的規(guī)律性，最終得到纖維的隨機(jī)分布點位。

為驗證改進(jìn)循環(huán)碰撞算法的可靠性，可用多種統(tǒng)計學(xué)函數(shù)對纖維分布的隨機(jī)性進(jìn)行定量評價[11]。通過對比纖維實際分布與循環(huán)碰撞纖維分布的最臨近距離函數(shù)、最臨近方位函數(shù)、二階強(qiáng)度函數(shù)、對分布函數(shù)，可認(rèn)為數(shù)值仿真的結(jié)果能較好模擬纖維的真實隨機(jī)分布[8,10]。

圖3 纖維碰撞示意圖

2 有限元模型

2.1 周期性邊界條件

Xia等[12]證明了當(dāng)滿足唯一連續(xù)條件時，應(yīng)力連續(xù)條件自然滿足。在此基礎(chǔ)上，提出了一般周期條件的顯式表達(dá)式，如式(4)所示：

在二維分析中，為防止過度約束，對定點和對邊分別進(jìn)行周期位移邊界條件的施加[13]。

對于邊，存在式(5)：

對于頂點，存在式(6)：

式中u、v為x向和y向位移；lx為AB間距；ly為BD間距。

2.2 熱應(yīng)力計算

溫度載荷條件下，結(jié)構(gòu)是自平衡的，即RVE的等效合外力為0，即

2.3 考慮溫度的橫向剛度計算

單向板的橫向剛度由式(9)得到：

3 溫度條件下T300/QY8911-IV復(fù)合材料橫向拉伸剛度

3.1 纖維隨機(jī)分布模型

纖維隨機(jī)模型的輸入?yún)?shù)很大程度上影響了幾何模型的準(zhǔn)確性，包括纖維體積含量，纖維數(shù)量和纖維半徑等。

Llorca等[14]認(rèn)為，30根左右纖維的單胞模型可準(zhǔn)確地模擬復(fù)合材料的橫向隨機(jī)分布。針對循環(huán)碰撞法，令m=6，n=6可獲得36根左右的纖維。對于纖維直徑，考慮到纖維直徑對橫向力學(xué)性能的影響較小[15]，本文碳纖維半徑取為3.5 μm[1]。圖5為纖維體積含量為42.39%的纖維隨機(jī)分布。

圖5 纖維隨機(jī)分布

利用Ansys軟件進(jìn)行有限元分析。采用Plane182單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。如圖6所示。

3.2 組分材料性能

Lu等[16]認(rèn)為，造成橫向性能預(yù)測誤差的原因主要是無法獲得準(zhǔn)確的組分性能，包括纖維的橫向性能，界面性能以及其它力學(xué)性能。因此，準(zhǔn)確獲得組分性能是復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的關(guān)鍵問題。

本文對材料進(jìn)行線彈性分析，獲得復(fù)合材料橫向初始拉伸時的剛度。組分材料力學(xué)性能見表1、表2。

圖6 網(wǎng)格劃分

Fig.6 Meshing of FE models

表2 QY8911-IV樹脂力學(xué)性能[17]

Ef2是纖維橫向剛度，μf23是纖維橫向泊松比，αf2是纖維橫向熱膨脹系數(shù)，Gf23是纖維橫向剪切剛度 ，Em是基體拉伸剛度，μm是基體泊松比，αm是基體熱膨脹系數(shù)。

T300碳纖維看作橫觀各向同性材料[19]，因此在二維有限元計算中按各向同性材料分析，且假設(shè)性能隨溫度變化保持不變。另外，碳纖維橫向剪切模量由式(10)得到：

樹脂按各向同性材料處理。其中，由于泊松比對復(fù)合材料橫向拉伸剛度影響不大(見下文)，假設(shè)樹脂泊松比隨溫度保持不變。

3.3 結(jié)果與分析

對有限元模型施加周期性邊界條件和溫度載荷進(jìn)行熱應(yīng)力求解。圖7為纖維體積含量為42.39%的T300/QY8911-IV復(fù)合材料在160 ℃和200 ℃條件下復(fù)合材料內(nèi)部熱應(yīng)力圖。圖8為剛度-溫度變化圖。

(a)160 ℃

(b)200 ℃

圖8 剛度-溫度變化圖

由于材料的線彈性，在不同溫度下熱應(yīng)力分布基本一致，只是大小不同。由于樹脂和纖維熱膨脹系數(shù)的差異，在貧樹脂區(qū)、纖維間距較小處的材料性質(zhì)差異最大，因而熱應(yīng)力最大，圖中紅色區(qū)域；而在富樹脂區(qū)，由于材料熱膨脹系數(shù)的均勻性，熱應(yīng)力很小，如圖中藍(lán)色區(qū)域。

表3給出了不同溫度下采用隨機(jī)模型計算得到的復(fù)合材料橫向拉伸剛度。宋健[17]給出了在41.53%、42.39%和44.22%等3種纖維體積含量不同溫度條件下的復(fù)合材料橫向剛度。試驗按照ASTM D3039在南京航空航天大學(xué)MTS809液壓伺服試驗機(jī)上完成?？砂l(fā)現(xiàn)不同批次的、纖維體積含量差別不大的復(fù)合材料橫向拉伸剛度試驗值可能差別很大。本文選取了分散系數(shù)的纖維體積含量為42.39%的復(fù)合材料試驗數(shù)值作為對照。

本文針對每一溫度條件進(jìn)行了5種隨機(jī)模型的有限元分析，標(biāo)準(zhǔn)差都在2%附近離散系數(shù)在0.5%以下。與試驗值比較，160 ℃時誤差最大，為17.28%，200 ℃時最小，為9.29%。在低溫時，復(fù)合材料橫向拉伸剛度預(yù)測值偏大，而高溫時偏小。從圖7中可看出，這是因為在高溫時，部分基體的熱應(yīng)力很大，已經(jīng)進(jìn)入塑形區(qū)[17]，其剛度減小，造成預(yù)測結(jié)果偏大。

總體而言，誤差可能來自于三方面：一是依靠試驗得到的復(fù)合材料力學(xué)性質(zhì)的離散性；二是模型中組分材料性能的準(zhǔn)確性，尤其是樹脂與復(fù)合材料固化成型后力學(xué)性質(zhì)的改變以及纖維在溫度條件下的性能退化[10]；三是基體塑形和界面性能的影響[20]。圖8顯示了T300/QY8911-IV 復(fù)合材料橫向拉伸剛度與樹脂拉伸剛度隨溫度升高而下降的趨勢基本一致。這表明復(fù)合材料在溫度條件下的橫向性能變化主要是由樹脂在溫度條件下的性能退化引起的。另外，預(yù)測模型得到的結(jié)果基本與基體的試驗值趨勢相同，與橫向剛度的試驗值有差距。因此，要得到準(zhǔn)確值，還需要考慮除基體性能下降外更多的因素。

表3 不同溫度下T300/QY8911-IV復(fù)合材料橫向拉伸剛度

4 復(fù)合材料橫向拉伸剛度的影響因素

4.1 泊松比對復(fù)合材料橫向拉伸剛度的影響

由于復(fù)合材料單絲難以獲得準(zhǔn)確的泊松比，以及樹脂泊松比在溫度條件下保持不變的假設(shè)可能存在的誤差，有必要對泊松比對復(fù)合材料橫向剛度的影響進(jìn)行研究。通過對比20 ℃纖維體積含量為42.39%的復(fù)合材料在不同纖維橫向泊松比和樹脂泊松比條件下的仿真結(jié)果，如表4、表5所示。可發(fā)現(xiàn)，泊松比對單軸拉伸狀態(tài)下復(fù)合材料的橫向拉伸剛度預(yù)測影響很小。由此證明了泊松比不變假設(shè)的適用性。

表4 纖維橫向泊松比對T300/QY8911-IV復(fù)合材料橫向拉伸剛度的影響

表5 樹脂泊松比對T300/QY8911-IV復(fù)合材料橫向拉伸剛度的影響

4.2 不同纖維體積含量的復(fù)合材料橫向拉伸剛度

圖9描述了不同纖維體積含量的復(fù)合材料橫向剛度在不同溫度條件下的變化趨勢。通過對比宋健[17]提出的同時考慮兩種因素的復(fù)合材料橫向剛度擬合公式，可發(fā)現(xiàn)在給定準(zhǔn)確的組分材料力學(xué)性能的條件下，隨機(jī)碰撞模型能較好地預(yù)測復(fù)合材料橫向拉伸剛度。其中，20 ℃時預(yù)測值與理論公式最為吻合；160 ℃和200 ℃時，預(yù)測值較理論值大。一方面，由于樹脂高溫時在低外載荷下就進(jìn)入塑形區(qū)，造成剛度下降；另一方面，與理論公式擬合依據(jù)的試驗值準(zhǔn)確性有關(guān)。

圖9 溫度條件下不同纖維體積含量的復(fù)合材料橫向拉伸剛度

5 結(jié)論

(1)通過隨機(jī)碰撞法建立纖維隨機(jī)分布的有限元分析模型，能較好地預(yù)測復(fù)合材料在溫度條件下的橫向拉伸剛度，尤其是在200 ℃時，誤差在10%以內(nèi)。

(2)針對不同溫度下復(fù)合材料橫向拉伸剛度隨纖維體積含量的變化，隨機(jī)模型得到的預(yù)測結(jié)果與公式擬合值在室溫條件下吻合較好，而在高溫條件下預(yù)測結(jié)果偏低。

(3)高溫條件下隨機(jī)模型橫向剛度預(yù)測值偏小。應(yīng)進(jìn)一步考慮基體塑性和熱應(yīng)力產(chǎn)生的初始損傷等因素對復(fù)合材料力學(xué)性能的影響。