一類具非線性中立項(xiàng)的二階微分方程的振動(dòng)性

覃桂茳,楊甲山,劉玉周

(1. 梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院,廣西 梧州 543002; 2. 梧州學(xué)院 廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 梧州 543002; 3. 梧州學(xué)院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 梧州 543002; 4.梧州學(xué)院 機(jī)械與材料工程學(xué)院,廣西 梧州 543002)

近年來(lái)，對(duì)微分方程的振動(dòng)性等定性理論的研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣[1-19].筆者考慮如下一類形式非常廣泛的具有一個(gè)擬線性中立項(xiàng)的二階Emden-Fowler型微分方程

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0，t≥t0

(1)

的振動(dòng)性，總假設(shè)：

方程(1)的解及其振動(dòng)性的定義可參見文獻(xiàn)[1，9].對(duì)于非線性中立項(xiàng)的微分方程振動(dòng)性的研究是很困難的，所以學(xué)者們或者是回避這類方程的研究，或者是增加條件將非線性中立項(xiàng)轉(zhuǎn)化為線性的來(lái)討論[1-4,6-17]，只有文獻(xiàn)[5]直接研究了如下一類具有一個(gè)擬線性中立項(xiàng)的一階微分方程

得到了其解振動(dòng)的一些判別準(zhǔn)則.

最近，黃記洲等[15]研究了方程(1)的特殊情形(即α=1)的振動(dòng)性，在β≥γ且a′(t)≥0時(shí)得到了方程

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0

振動(dòng)的一些結(jié)果，但當(dāng)β<γ時(shí)沒有得到方程的振動(dòng)準(zhǔn)則，且有較嚴(yán)格的條件“a′(t)≥0”.受到以上研究的啟發(fā)，筆者將利用Riccati變換和有關(guān)不等式(如Bernoulli不等式及Yang不等式等)來(lái)研究方程(1)的振動(dòng)性，得到該方程振動(dòng)的兩個(gè)新準(zhǔn)則.作為方程(1)的特殊情形即當(dāng)α=β=γ=1或者α=1且β=γ時(shí)的情形，所得到的這些振動(dòng)準(zhǔn)則改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一系列結(jié)果.

1 方程振動(dòng)的充分條件

先給出3個(gè)引理，其中引理1由函數(shù)f(x)=xλ(0<λ≤1)凹凸性的定義就能得到，而引理2，3是眾所周知的，故其證明省略.

引理1設(shè)X，Y為非負(fù)實(shí)數(shù)，則當(dāng)0<λ≤1時(shí)，Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ.

引理2(Bernoulli不等式) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x>-1，當(dāng)0≤r≤1時(shí)，(1+x)r≤1+rx，當(dāng)r≤0或r≥1時(shí)，(1+x)r≥1+rx.

記

定理1設(shè)條件(H1)，(H2)成立，如果存在函數(shù)ξ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

(2)

其中：常數(shù)t2≥t0，有

(3)

其中：k>0和m>0均為常數(shù)，則方程(1)是振動(dòng)的.

證明反證法.設(shè)方程(1)有一個(gè)非振動(dòng)解x(t)，不妨設(shè)x(t)最終為正(當(dāng)x(t)最終為負(fù)時(shí)類似可證)，則?t1≥t0，使得x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0(t≥t1).由z(t)的定義和方程(1)，可得z(t)≥x(t)>0，t≥t1，且有

[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′=-q(t)xγ(δ(t))<0，

(4)

利用條件(H1)，由(4)式不難推出z′(t)>0，t≥t1.注意到引理1，2，則有

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=

z(t)-α21-αp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥z(t)-α21-αp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

[1-α21-αp(t)]z(t)-(21-α-1)p(t).

(5)

作廣義的Riccati變換w(t)如下

(6)

顯然w(t)>0(t≥t1).對(duì)(6)式求導(dǎo)，并利用(4),(5)式及a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β，可得

(7)

由于z(t)>0,z′(t)>0，t≥t1，因此

z(δ(t))≥z(δ(t1))=k，t≥t1，

(8)

其中：k>0為常數(shù).

將(8)式代入(7)式，并注意到(6)式和函數(shù)Q(t)的定義，可得

(9)

有

(i) 若β=γ，則z(γ-β)/β(δ(t))=1；

(ii) 若β<γ，由(8)式知，z(γ-β)/β(δ(t))≥k(γ-β)/β；

所以存在常數(shù)m>0，當(dāng)t2≥t1充分大時(shí)，有

因此

z(γ-β)/β(δ(t))≥[mΘ(δ(t))](γ-β)/β.

綜合上述3種情形，并利用θ(t)的定義，由(9)式，當(dāng)t≥t2時(shí)，有

(10)

有

代入(10)式，得

兩邊從t2到t積分，t≥t2，得

這與(2)式矛盾.定理證畢.

推論設(shè)條件(H1)，(H2)成立，如果

則方程

[a(t)|x′(t)|β-1x′(t)]′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0，t≥t0

(11)

是振動(dòng)的.

證明在方程(1)中令p(t)≡0且β=γ，并在定理1中取ξ(t)=Θβ(δ(t))即得.

注1推論就是Sun等[16]得到的方程(11)振動(dòng)的主要判別定理.

定理2設(shè)條件(H1)，(H2)成立，如果存在函數(shù)ξ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常數(shù)ω≥1，使得

(12)

其中：常數(shù)t2,k,m及函數(shù)Q(t),θ(t)均如定理1，則方程(1)是振動(dòng)的.

證明同定理1的證明，可得(10)式.將(10)式中的t改成s，再兩邊同乘以(t-s)ω，然后從t2到t積分，t≥t2，應(yīng)用引理3即Yang不等式，類似地，可得

所以

這與(12)式矛盾.定理證畢.

注2當(dāng)α=1(即中立項(xiàng)是線性的情形)且β≥γ時(shí)，由定理1可得文獻(xiàn)[15]中的定理2.2，但這里去掉了文獻(xiàn)[15]中的限制條件“a'(t)≥0”.此外，從下面例1還可看出，即使是中立項(xiàng)是線性的，即當(dāng)α=1且β=γ時(shí)的情形，論文的振動(dòng)準(zhǔn)則也是較“精準(zhǔn)”的，幾乎是方程(1)振動(dòng)的“sharp”條件.因此論文定理推廣、改進(jìn)并豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果.

例1對(duì)常數(shù)q0>0，考慮二階時(shí)滯微分方程

(E1)

其中：a(t)≡1，p(t)=1/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t/5，δ(t)=t，α=1，β=1，γ=1.

容易驗(yàn)證條件(H1)和(H2)都是滿足的.取ξ(t)=t，則當(dāng)q0>5/16=0.312 5時(shí)，有

因此，由定理1知，當(dāng)q0>0.312 5時(shí)方程(E1)是振動(dòng)的.

注3也可以用文獻(xiàn)[7]中的定理3.4來(lái)判定方程(E1)的振動(dòng)性：由于當(dāng)q0>2.5時(shí)，有

因此當(dāng)q0>2.5時(shí)方程(E1)是振動(dòng)的.顯然，論文定理1的特殊情形，即當(dāng)α=1(相當(dāng)于方程(1)的中立項(xiàng)是線性的)時(shí)的振動(dòng)準(zhǔn)則比文獻(xiàn)[7]中的有關(guān)結(jié)論要“精細(xì)”得多.

例2對(duì)常數(shù)q0>0，考慮下列具非線性中立項(xiàng)的二階微分方程

(E2)

其中：α=1/3,β=5/3,γ=7/5,a(t)=t,p(t)=1/5,q(t)=q0/t,τ(t)=t/2,δ(t)=t/3.

顯然條件(H1)和(H2)均滿足.為了計(jì)算簡(jiǎn)單，取ξ(t)=1，用定理1(這是β>γ的情形)，則

所以由定理1知，方程(E2)是振動(dòng)的.

注4由于方程(E2)是具有非線性中立項(xiàng)的微分方程，并且β≠γ，所以文獻(xiàn)[1-4,6-19]中的定理均不能用于方程(E2).