無人艇直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)建模與仿真

祝 川，盧 俊，吳 翔

(上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院，上海 200444)

0 引 言

近年來噴水推進(jìn)已成為高性能船舶推進(jìn)方式的主體[1-2]，水面無人艇也多采用這種推進(jìn)方式。用于船舶航向控制的電動液壓舵機系統(tǒng)對于改變或保持船舶航向有著至關(guān)重要的作用，主要實現(xiàn)兩大功能，船舶直線航行受外力偏航后恢復(fù)直線運動的航向穩(wěn)定性和及時改變船舶運動方向的回轉(zhuǎn)性，統(tǒng)稱為船舶的操縱性[2]。在電動液壓系統(tǒng)中，直驅(qū)式電液伺服系統(tǒng)因結(jié)構(gòu)簡單、能源效率高的特點[3]而特別適用于無人艇的操舵控制。噴水推進(jìn)無人艇能夠擁有靈活的操縱性必然要求其操控轉(zhuǎn)向的直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)具有優(yōu)良特性，這不僅僅體現(xiàn)在優(yōu)異的硬件上，也需穩(wěn)定可靠的控制算法來支持。

為保證直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)擁有優(yōu)良性能，對系統(tǒng)進(jìn)行深入分析和研究，細(xì)化每個組件的作用機理，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，搭建整體系統(tǒng)仿真環(huán)境，簡化現(xiàn)場的試驗工作。

1 無人艇直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)建模

無人艇采用的直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)，由伺服電機、液壓系統(tǒng)、操舵機構(gòu)部分組成，并承受噴水負(fù)載，如圖1 所示。

1.1 伺服電機及液壓系統(tǒng)建模

1.1.1 伺服電機建模

伺服調(diào)速電機系統(tǒng)可忽略電機電氣控制的動態(tài)過程，簡化為時滯環(huán)節(jié)。對于電機拖動的過程，簡化為一階慣性環(huán)節(jié)[4]，有

式中：U（s）為控制指令；N（s）為輸出轉(zhuǎn)速；Kv為速度增益；TD為電氣時間常數(shù)；τ 為時滯時間。

圖 1 直驅(qū)式電液伺服船舶舵機系統(tǒng)簡圖Fig.1 Diagram of the marine direct-drive electro-hydraulic servo steering-gear system

1.1.2 液壓系統(tǒng)建模

如圖2 所示，舵機的液壓系統(tǒng)主要由雙向定量液壓泵、對稱液壓缸、以及輔助的液控單向閥和小油罐組成。

圖 2 液壓系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of the hydraulic system

1）雙向定量液壓泵建模

由流體的連續(xù)性方程，可得液壓泵的流量與轉(zhuǎn)速的關(guān)系為：

式中：Q 為流量；np為轉(zhuǎn)速；Dp為排量；Cep為外泄漏系數(shù)；p+為出油口壓力；p-為進(jìn)油口壓力；Cip為內(nèi)泄漏系數(shù)。進(jìn)油口壓力p-相對于出油口壓力p+數(shù)值非常小，將進(jìn)油口壓力p-設(shè)為0 Pa[5]。

2）對稱液壓缸建模

直驅(qū)式電液伺服系統(tǒng)的油管回路很短，忽略其動態(tài)特性。根據(jù)可壓流體的連續(xù)性方程，有

式中：x 為活塞桿位移；V（x）為進(jìn)油回路油液有效體積；βe為油液體積彈性模量；Ctm為總內(nèi)外泄漏系數(shù)；A 為活塞上有效面積。

忽略液壓缸與活塞桿的摩擦，活塞桿的動力學(xué)方程為：

式中：m 為活塞桿質(zhì)量；Bp為油液粘性阻尼系數(shù)；FL為負(fù)載力。

3）液壓系統(tǒng)模型整合

對式（2）、式（3）和式（4）拉氏變換，消除中間變量P+（s），有

式中：ωn為液壓系統(tǒng)的固有頻率；ζ 為阻尼比系數(shù)；Ct為總泄漏系數(shù)， Ct=Ctm+Cep+Cip。

1.2 偏置滑塊-曲柄的映射關(guān)系

液壓活塞桿的輸出為直線運動，而噴嘴舵角的需求為回轉(zhuǎn)運動，實現(xiàn)該轉(zhuǎn)換為操舵執(zhí)行機構(gòu)，簡化為平面偏置滑塊-曲柄連桿機構(gòu)。

1.2.1 建立運動學(xué)和動力學(xué)方程

對平面偏置滑塊-曲柄機構(gòu)，忽略重力，以曲柄1 的回轉(zhuǎn)中心A 為原點，以噴嘴中心線為x 軸，建立如圖3所示右手坐標(biāo)系xAy。

圖中，l1，l2為曲柄1 和連桿2 的軸向長度；lS2為連桿質(zhì)心S2到B 點的距離；l3為轉(zhuǎn)動副C 點距A 點的水平距離，le為等效滑塊3 的偏心距；θ1，θ2為曲柄1 和連桿2 與x 軸夾角，逆時針為正，其中，θ1與實際舵角有φ 差值；θ3，θe為矢量和與x 軸夾角；v3為滑塊3 的速度，x 軸負(fù)方向為正。

建立該滑塊-曲柄機構(gòu)的閉環(huán)矢量圖，如圖4 所示。

圖 4 平面偏置滑塊-曲柄機構(gòu)組成的閉環(huán)矢量圖Fig.4 Close-loop vectorgraph of planar offset crank-slider mechanism

1）運動學(xué)方程

根據(jù)圖4 所示的閉環(huán)矢量圖，其閉環(huán)矢量方程式為：

將上式向x 軸、y 軸分解，并代入固定值，有位置約束方程：

對式（7）和式（8）關(guān)于時間求導(dǎo)，有速度約束方程：

再對式（9）和式（10）關(guān)于時間求導(dǎo)，有加速度約束方程：

其中：α1，α2為曲柄1 和連桿2 的角加速度；a3為滑塊3 的加速度。

在傳統(tǒng)的運動學(xué)分析中，求解某時刻四連桿機構(gòu)中各個構(gòu)件的角速度或速度是在確定每個構(gòu)件的位置和角度后進(jìn)行的[6]。假定t 時刻各構(gòu)件位置已知，由速度約束關(guān)系計算各構(gòu)件的速度，求導(dǎo)為加速度。從t 到t+1 時刻，可認(rèn)為在該步長內(nèi)各連桿的角速度和滑塊的速度相對沒有變化，并在各連桿角度已知的基礎(chǔ)上，再對每個連桿的角速度積分，可得t+1 時刻各連桿的角度，進(jìn)而可求解下時刻各構(gòu)件速度。

上述分析中，假定各構(gòu)件的速度和角速度在分析步長內(nèi)是未變的，這與真實的情況有微小的偏差。各構(gòu)件初始條件也可能是互相不兼容的，引發(fā)后續(xù)迭代運算混亂。因而，需驗證構(gòu)件積分后的位置滿足該機構(gòu)閉環(huán)矢量方程的程度來衡量迭代的有效性，規(guī)定誤差變量如下：

2）建立動力學(xué)方程

對每個構(gòu)件進(jìn)行受力分析，如圖5 所示。

圖 5 滑塊-曲柄機構(gòu)受力分析圖Fig.5 Stress analysis diagram of crank-slider mechanism

式中：J1為曲柄1 繞A 點的轉(zhuǎn)動慣量；F21x，F(xiàn)21y為連桿2 對曲柄1 沿x 軸和y 軸的分力。

對連桿2，處于非慣性系，可先求解出其質(zhì)心位置，有

將其分解到x 軸和y 軸上，有

對式（18）和式（19）關(guān)于時間t 求2 階導(dǎo)數(shù)，連桿2 質(zhì)心的加速度關(guān)系式為：

對連桿2 關(guān)于質(zhì)心點求力和力矩的平衡方程，將慣性力作用于質(zhì)心點上，有

式中：I2為連桿2 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；F32x，F(xiàn)32y為滑塊3 對連桿2 沿x 軸和y 軸的分力；F12x，F(xiàn)12y為曲柄1 對連桿2 沿x 軸和y 軸的分力。

對于滑塊3，在x 軸方向受力，有

將上述關(guān)于曲柄1、連桿2 和滑塊3 的5 個力平衡關(guān)系式，改寫成矩陣形式，有

其中： C 為系數(shù)矩陣； F 為求解力矩陣； B為已知力和力矩矩陣，有

1.2.2 Simulink 仿真建模

圖6 為由滑塊-曲柄機構(gòu)的Simulink 仿真得到的活塞桿位移與噴泵舵角映射曲線。在活塞桿向x 軸正向勻速運動中，噴泵的舵角由左滿舵向右滿舵變化，變化的速率略有加快，但總體上比較接近于直線。

從圖7 可看出噴泵舵角從左滿舵到右滿舵的運動中橫向誤差ex會穩(wěn)定在1.6×10-12m，而縱向誤差ey處于-2×10-14～5×10-14m 內(nèi)變動，該數(shù)值為構(gòu)件長度的10-10倍，是極其微小的變化量?？梢娫摶瑝K-曲柄機構(gòu)的運動學(xué)分析可精確描述出各構(gòu)件的運動位置。

1.3 估算噴嘴上的等效作用力

圖 6 液壓缸活塞桿位移與噴泵舵角映射關(guān)系Fig.6 Mapping relationship between the displacement of piston rod in hydraulic cylinder and the rudder angle of injection pump

圖 7 仿真計算中誤差變量的變化情況Fig.7 The variation of error variables in simulation calculation

液壓活塞桿的輸出推力并不由自身決定而取決于外界的負(fù)載，舵機系統(tǒng)承受外界作用力的主導(dǎo)因素為噴泵水流對噴嘴的沖擊作用。

1.3.1 噴嘴受力分析

如圖8 所示，假定噴泵主機固定在某一轉(zhuǎn)速下噴水，忽略水流沿程損失，水流經(jīng)截面A、截面B 和C 截面動量方程為：

圖 8 某舵角下噴嘴水流流向和受力Fig.8 The flow direction and force of injector

式中：p1，p3，p3，A1，A2，A3和v1，v2，v3為A、截面B、截面C 處水流的壓強、面積和速度；ρ 為海水密度；Q 為噴水流量；FR1x，F(xiàn)R1y為水流從截面A 到截面B 噴嘴對水流沿水平和豎直方向分力，F(xiàn)R2為水流從截面B 到截面C 中噴嘴對水流的作用力；θ 為噴嘴角度，逆時針為正；β1，β2，β3為動量修正系數(shù)，取β1=1.03、β2=1.03、β3=1。

由參考文獻(xiàn)[7]可知，噴泵的揚程H 與噴水流量Q 的關(guān)系為：

其中，μ 為噴嘴的流量系數(shù)，有

式中：ε 為噴嘴的收縮系數(shù)；ζ 為噴嘴流速系數(shù)；ψ 為噴嘴錐角；D，d 為噴嘴進(jìn)、出口內(nèi)徑；為噴嘴的平均直徑。

忽略噴嘴水頭損失和水流在垂直方向的位移，假定進(jìn)水為靜止海水，由流體連續(xù)性方程和伯努利方程[9]，可得：

將式（29）、式（31）和式（32）代入式（27）、式（28）并簡化得：

其中：

由牛頓第三定律，噴泵水流對噴嘴的反作用力為：

為簡化分析，將水流對噴嘴的作用力等效為合力和合力矩，有

1.3.2 舵角與等效力矩關(guān)系

噴泵水流對噴嘴產(chǎn)生的等效作用力矩變化主要與噴泵流量Q 和噴嘴舵角值θ 有關(guān)，假定噴泵排水量固定為Q=0.25 m3/s，利用Simulink 仿真可得圖9 所示的負(fù)載力矩隨舵角θ 的變化曲線。在流量Q 一定時，噴嘴轉(zhuǎn)向的舵角越大，負(fù)載力矩也就越大，呈非線性關(guān)系，需液壓系統(tǒng)提供更大推力。

圖 9 噴嘴的等效力矩隨舵角的變化Fig.9 The change of equivalent moment of injector with rudder angle

2 模型整合與驗證

2.1 模型整合

將伺服電機、液壓系統(tǒng)、偏置滑塊-曲柄機構(gòu)以及外界水流負(fù)載整合為整體直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)，如圖10 所示。

圖 10 直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.10 Structure of the direct-drive electro-hydraulic servo steering-gear system

系統(tǒng)輸入的控制量直接作用于伺服電機系統(tǒng)，使得電機運動，通過減速器帶動液壓泵轉(zhuǎn)動，隨之液壓泵驅(qū)動活塞桿直線運動，再經(jīng)滑塊-曲柄機構(gòu)傳遞動力并將直線運動轉(zhuǎn)為噴嘴轉(zhuǎn)向運動，實現(xiàn)該舵機系統(tǒng)舵角操控。兼顧到該舵機系統(tǒng)常用工況為噴水狀態(tài)，在噴泵流量為恒定時，結(jié)合當(dāng)前實際舵角值可估算噴嘴的等效負(fù)載力矩，再將該負(fù)載力矩作為滑塊-曲柄機構(gòu)的動力學(xué)輸入，計算出活塞桿的負(fù)載力并作為液壓系統(tǒng)輸入，以構(gòu)建完整的舵機模型。

2.2 模型驗證

根據(jù)上述思路，可搭建如圖11 所示的舵機系統(tǒng)的Simulink 模型，其輸入為電機轉(zhuǎn)速以及噴泵流量，輸出為實際舵角。

圖 11 直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)仿真模型Fig.11 Simulation model of direct-drive electro-hydraulic servo steering-gear system

利用伺服電機將噴泵舵角運動到最左端，再以每間隔10 000 qc 的控制值發(fā)送給伺服電機轉(zhuǎn)動舵角，人工實測噴嘴轉(zhuǎn)動的舵角。仿真模型中初始舵角為-35°，伺服電機的輸入轉(zhuǎn)速為26 r/s，即52 000 qc/s，將時間序列轉(zhuǎn)化qc 值。將仿真模型0°舵角與實際系統(tǒng)0°舵角的采集點重合，可得如圖12 所示的對比曲線。

可知，舵角實際值與仿真值的誤差在±0.5°內(nèi)，即仿真模型對實際系統(tǒng)的擬合效果較好，整體誤差值較小，驗證了該模型一定的有效性。

上述模型驗證是在噴嘴無水流負(fù)載下進(jìn)行的，而無人艇處于噴水狀態(tài)下，整個噴嘴都位于水面下并且承受著高速水流沖擊，是人工無法測量該舵角值，并且噴泵流量無法給出，故暫不考慮加載負(fù)載后模型的有效性。

圖 12 仿真系統(tǒng)與實物系統(tǒng)對比曲線Fig.12 Comparison curve between simulation system and real system

3 結(jié) 語

本文介紹噴水推進(jìn)無人艇直驅(qū)式電液伺服舵機系統(tǒng)組成，分別對伺服電機、液壓系統(tǒng)、執(zhí)行機構(gòu)、外界噴水負(fù)載建立了仿真模型，并整合舵機模型，驗證其有效性。

在液壓系統(tǒng)添加了執(zhí)行機構(gòu)等效的滑塊-曲柄模型，以此分析活塞桿位移和舵角運動關(guān)系，并基于動力學(xué)計算了變化的活塞桿負(fù)載力。考慮噴泵水流對噴嘴的沖擊，估算噴嘴在不同噴水量和舵角情況下的等效負(fù)載力矩，并作為滑塊-曲柄機構(gòu)的輸入。