一類強耦合強不確定性強非線性快時變系統(tǒng)復(fù)合控制

孔 雪，寧國棟，楊 明，王松艷，晁 濤

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院控制與仿真中心，哈爾濱 150080；2. 復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能協(xié)同技術(shù)重點實驗室，北京 100074；3. 北京機電工程研究所，北京 100074)

0 引 言

隨著飛行器的跨空域、寬馬赫數(shù)范圍飛行，飛行器顯現(xiàn)出強耦合強不確定性強非線性快時變特性，對控制提出了非常高的要求，這類強耦合強不確定性強非線性快時變特性系統(tǒng)的控制問題已成為控制界的最具挑戰(zhàn)性的課題之一[1-10]。

基于強耦合強不確定控制的考慮，滑?？刂剖且环N切實有效的方法[11]。在滑?？刂浦?，系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)無關(guān)，僅取決于滑模平面的設(shè)計，實現(xiàn)了系統(tǒng)的解耦?；？刂频淖畲髢?yōu)點就是系統(tǒng)一旦進入滑模狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移應(yīng)不再受系統(tǒng)原有參數(shù)變化和外部擾動的影響，對系統(tǒng)參數(shù)和外部擾動具有完全的或較強的魯棒性和不變性?；趶姺蔷€性快時變控制的考慮，軌跡線性化控制被提出[12]，其本質(zhì)是首先利用被控對象開環(huán)的偽動態(tài)逆將軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為一個非線性時變的跟蹤誤差調(diào)節(jié)問題，然后設(shè)計閉環(huán)的狀態(tài)反饋控制律使得整個系統(tǒng)獲得滿意的控制性能?；谥悄芑目紤]，模糊控制是利用模糊集合理論，把人的模糊控制策略轉(zhuǎn)化為控制算法，適用于權(quán)重調(diào)度。

綜合利用滑?？刂?、軌跡線性化控制、模糊控制，提出一種適用于強耦合強不確定性強非線性快時變的復(fù)合控制方法。

1 一種適用于強耦合強不確定性強非線性快時變的復(fù)合控制

1.1 問題描述

對于非線性多輸入多輸出系統(tǒng)：

(1)

式中，u∈Rm為輸入，f∈Rn，g∈Rn×m和h∈Rm是狀態(tài)變量x∈Rn的光滑有界函數(shù)。假定其受一般形式的攝動和外擾，則：

(2)

式中，Δf∈Rn和Δg∈Rn×m為系統(tǒng)攝動，ζ∈Rn為外擾。基于系統(tǒng)跟蹤問題引入以下假設(shè)：

(3)

1.2 基于強耦合強不確定性控制

針對耦合特性具有強不確定性的對象，將子系統(tǒng)間耦合視為干擾，滑模控制(Sliding mode control,SMC)是一種適用的控制方法。為進一步提高強耦合強不確定性的控制能力，采用自適應(yīng)滑?？刂茩?quán)衡滑模區(qū)域大小和滑動模態(tài)的響應(yīng)速度[13]，采用滑模狀態(tài)觀測器觀測攝動和干擾[11]。但對于滑?？刂疲嬖诠逃卸墩裉匦?，考慮在滑模面附近帶內(nèi)，選用其它控制方法來彌補SMC的不足。

1)自適應(yīng)滑?？刂?/p>

定義1.以PD型滑模面為例，常規(guī)PD型滑模面選取如式(4)。式中，e為狀態(tài)偏差。定義滑模面斜率為c=c1/c2。

(4)

結(jié)合滑?？刂频幕緱l件，以二階系統(tǒng)為例，分析c選取原則，結(jié)論如式(5)所示，式中，λ1和λ2為系統(tǒng)特征根。

cmax<|λ1|, 0

(5)

仍以PD型滑模面為例，自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)滑模面設(shè)計為[5]：

(6)

(7)

根據(jù)e0，結(jié)合式(5)，給出正實參數(shù)ca，cb和cc的范圍，可根據(jù)期望的響應(yīng)特性設(shè)置。

2)滑模狀態(tài)觀測器

σ可以表示為：

(8)

(9)

式中，ci·j,?i=1,2,3,…,m,j=-1,0,1,…,ri-2為動態(tài)性能待選參數(shù),ei為第i個狀態(tài)偏差。

微分式(9)可以得到：

(10)

式中，

Ξ=Ξ0+ΔΞ=[Ξ1,…,Ξm]T∈Rm

(11)

(12)

這里Ξ0∈Rm和ΔΞ∈Rm分別為標(biāo)稱和攝動干擾參量，?i=1,2,3,…,m。式(10)～(12)導(dǎo)數(shù)為Lipschitz情況下導(dǎo)數(shù)。

假設(shè)2.基于控制能力考慮，假設(shè)ΔΞ有界：

(13)

(14)

為了抑制系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)魯棒性，式中ΔΞ需要通過滑模狀態(tài)觀測器(Sliding mode state observer, SMSO)觀測得出?；贚yapunov第二定理，設(shè)計改進型滑模狀態(tài)觀測器(Sliding mode district observer, SMDO)如下[11]：

(15)

式中，v∈Rm為輔助控制，?！蔙m為輔助滑模面，λ=[λ1,λ2,…,λm]T為一常數(shù)向量且滿足λi>0，?i=1,2,3,…,m，l=[1,…,m]T為攝動干擾參量的上界。

vi=(|ΔΞi|+λi)sgn(Γi),?i=1,2,3,…,m

(16)

-λi|Γi|,?i=1,2,3,…,m

(17)

?i=1,2,3,…,m

(18)

(19)

綜上，基于SMDO的SMC控制律為：

(20)

1.3 基于強非線性快時變控制

軌跡線性化控制(Trajectory linearization control,TLC)是一種非線性跟蹤和解耦控制方法，在解決強非線性快時變參數(shù)系統(tǒng)的控制方面具有得天獨厚的優(yōu)勢，但在穩(wěn)定性方面卻因為線性化的處理，不能提供足夠的魯棒特性來滿足飛行器在復(fù)雜飛行條件下的穩(wěn)定控制需求，特別地對于存在大量外界干擾和建模誤差且運行條件十分惡劣的實際系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)中不確定性因素足夠大時，TLC方法的控制性能降低甚至失效。

定理2.對于非線性系統(tǒng)，在x0處具有向量相對階{r1,…,rm}，則有：

r1+r2+…+rm≤n

(21)

若r=r1+r2+…+rm=n，系統(tǒng)可以實現(xiàn)完全I/O線性化，原輸出方程可以表示為：

y=BF(x)+AF(x)u

(22)

根據(jù)式，若AF(x)滿秩，可以構(gòu)建如下的反饋控制律：

(23)

使得系統(tǒng)實現(xiàn)輸入輸出的解耦控制。

圖1 TLC方法控制結(jié)構(gòu)Fig.1 The control structure of TLC

誤差跟蹤方程為：

(24)

(25)

考慮如下線性時變系統(tǒng)：

(26)

式中：

(27)

假設(shè)4.式(27)中的(A(t),B(t))可控。

基于以上假設(shè)，可設(shè)計線性時變反饋控制器η=K(t)e,使得線性時變系統(tǒng)平衡點e=0為指數(shù)穩(wěn)定，并記Ac(t)=Ae(t)+Be(t)K(t)。式中，Ac(t)是期望的控制回路閉環(huán)誤差動態(tài)特性，根據(jù)PD譜[3]進行設(shè)計。根據(jù)線性時變反饋控制律η=K(t)e可保證非線性系統(tǒng)在平衡點e=0指數(shù)穩(wěn)定。

1.4 四強復(fù)合控制

四強復(fù)合控制是指面向強耦合強不確定性強非線性快時變系統(tǒng)的復(fù)合控制。四強復(fù)合控制結(jié)構(gòu)如圖2所示，滑?？刂?SMC)與軌跡線性化控制(TLC)組合應(yīng)用，同時引入模糊控制進行雙環(huán)調(diào)度，實現(xiàn)雙環(huán)的權(quán)重智能分配。在離滑模面距離較遠時，SMC環(huán)占優(yōu)，充分利用SMC的適用于強耦合及強不確定性控制的優(yōu)勢，降低TLC的模型依賴性；在離滑模面距離較近時TLC環(huán)占優(yōu)，充分利用TLC的適用強非線性、強時變特性控制的優(yōu)勢，削弱SMC的抖振效應(yīng)，保證了工程實際應(yīng)用的能力[6～11]。

圖2 四強復(fù)合控制結(jié)構(gòu)Fig.2 The control structure of four strong characters

四強復(fù)合控制設(shè)計的步驟可以概括為：

1)在干擾為零時，基于動態(tài)逆方法設(shè)計標(biāo)稱控制，基于PD譜理論設(shè)計線性時變狀態(tài)反饋控制律，使得標(biāo)稱系統(tǒng)穩(wěn)定。

2)設(shè)計滑模控制器和滑模觀測器，逼近未知干擾，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有較強的魯棒性，在模型不確性時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3)設(shè)計模糊決策，確定雙環(huán)控制權(quán)重。

錢學(xué)森工程控制論中針對復(fù)雜系統(tǒng)的工程穩(wěn)定性分析有如下結(jié)論[14]：

1)一般來說，采用Lyapunov方法理論上可以解決穩(wěn)定性，但在實際工作中這些方法均嫌過于復(fù)雜。因為其依賴于系統(tǒng)系數(shù)及其基本解的一些深刻的分析特征，后者卻又常常得之不易。因此該類方法沒有在實際工作中得到廣泛應(yīng)用。

2)若系統(tǒng)的基本解有界，則系統(tǒng)穩(wěn)定。只需給出n種不同的初始條件，即可求出系統(tǒng)的基本解。借助于主流計算機，基本解的獲取比較容易，即可判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，不需要對系統(tǒng)做任何繁雜的分析。

強耦合強不確定強非線性快時變系統(tǒng)是一種復(fù)雜系統(tǒng)，考慮飛行剖面及全系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，采用蒙特卡洛統(tǒng)計試驗法獲取飛行范圍的基本解，錢學(xué)森全系統(tǒng)工程穩(wěn)定性獲取方法適用于該類強耦合強不確定強非線性快時變系統(tǒng)復(fù)合控制的穩(wěn)定性分析。

2 典型強耦合強不確定性強非線性快時變飛行器控制

2.1 對象模型

飛行器數(shù)學(xué)模型如式(28)～(30)所示[15]：

(28)

(29)

(30)

2.2 對象特性分析

式(28)～(30)數(shù)學(xué)模型為通用數(shù)學(xué)模型，針對強耦合強不確定性強非線性快時變對象，式中的函數(shù)和參數(shù)將有所體現(xiàn)。具體分析如下：

1)強耦合特性

發(fā)動機與飛行器本體強耦合，主要體現(xiàn)在兩個方面：發(fā)動機的附加力矩影響；飛行器姿態(tài)對發(fā)動機的影響。

2)強不確定特性

包括動力、氣動、大氣、初始狀態(tài)、結(jié)構(gòu)參數(shù)等多種不確定性。

3)強非線性特性

主要體現(xiàn)在兩個方面：氣動和發(fā)動機力學(xué)特性的強烈耦合在綜合力學(xué)特性上表現(xiàn)為較大的非線性特點；飛行器跨大空域飛行條件下相對于被控對象而言，環(huán)境參數(shù)如大氣密度、大氣溫度和風(fēng)場都是非線性變化的，它們不會隨時間或能量等自變量呈線性變化。

4)快時變特性

主要體現(xiàn)在兩個方面：由于跨大空域、跨大速度的飛行軌跡特點，飛行狀態(tài)參數(shù)，如飛行高度、速度和飛行器質(zhì)量快速變化；飛行器自身的相關(guān)特性也不是固定不變的，主要表現(xiàn)為飛行器所受氣動熱影響效應(yīng)隨時間增長，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)彈性同氣動的耦合特性也發(fā)生變化。

2.3 四強復(fù)合控制設(shè)計

基于四強控制策略的制導(dǎo)控制律結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖3中下標(biāo)c表示指令值。

圖3 基于四強控制策略的制導(dǎo)控制設(shè)計Fig.3 Control strategy based on four strong characters

受限于篇幅，這里給出制導(dǎo)回路的部分設(shè)計，控制回路設(shè)計思路相同?？v向制導(dǎo)律由滑模(SMC)制導(dǎo)環(huán)、軌跡線性化(TLC)制導(dǎo)環(huán)、模糊(Fuzzy control,FC)制導(dǎo)環(huán)復(fù)合而成，如式(31)所示。

uzz=kSMCuzz,SMC+kTLCuzz,TLC

(31)

1)發(fā)動機保護控制SMC制導(dǎo)環(huán)

考慮參考軌跡跟蹤及發(fā)動機保護需求，設(shè)計滑模面如式(32)所示，包括誤差比例積分策略和隔離段激波串有限條件位置積分策略。

(32)

uzz,SMC=

(33)

(34)

(35)

2)TLC制導(dǎo)環(huán)

TLC制導(dǎo)環(huán)由偽動態(tài)逆控制器和線性時變調(diào)節(jié)器兩部分組成。令系統(tǒng)攝動為零，可知制導(dǎo)回路系統(tǒng)的相對階為2，可通過動態(tài)逆求得制導(dǎo)回路的控制輸入：

(36)

設(shè)計PI狀態(tài)反饋控制律：

(37)

kzz(t)=[RzzBzz(t)]-1Rzz[Azz·c(t)-Azz(t)]

(38)

式中：Rzz為常數(shù)陣，定義如式(39)所示，Azz為系統(tǒng)增廣后狀態(tài)方程，Azz·c為期望閉環(huán)方程。

(39)

綜合式(36)和(39)，可得TLC制導(dǎo)環(huán)控制為：

(40)

3)智能權(quán)重調(diào)度策略

模糊調(diào)度流程如圖4所示。

圖4 模糊控制流程圖Fig.4 The flow chart of fuzzy control

3 仿真校驗

依據(jù)飛行器的數(shù)學(xué)模型，對所設(shè)計的基于四強控制策略的制導(dǎo)控制律進行數(shù)值仿真，仿真中加入靜穩(wěn)定度和舵效攝動，校驗其魯棒性。仿真條件詳見表1。

表1 仿真條件Table 1 Description of simulation conditions

圖5和圖8中下標(biāo)x表式參考軌跡，飛行任務(wù)為速度由Ma3加速至Ma4，高度由22.8 km爬升至27.6 km，該飛行任務(wù)跨空域、寬馬赫數(shù)范圍飛行，具備強耦合強不確定性強非線性快時變特征。利用基于四強控制策略的制導(dǎo)控制律得出的系統(tǒng)跟蹤結(jié)果如圖5～10所示。

圖5 馬赫數(shù)高度曲線Fig.5 Curve of height vs Mach

圖6 kSMC·θ隨時間變化曲線Fig.6 kSMC·θ vs time

圖7 kSMC·v隨時間變化曲線Fig.7 kSMC·v vs time

圖8 攻角隨時間變化曲線Fig.8 Angle of attack vs time

圖9 飛推耦合度因子隨時間變化曲線Fig.9 The coupling factor for aircraft and scramjet vs time

圖10 升降舵偏轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線Fig.10 Elevator rudder deflection angle vs time

從制導(dǎo)指令跟蹤情況來看，基準(zhǔn)彈道及攝動彈道均可精確跟蹤參考軌跡的馬赫數(shù)高度剖面，通過精確跟蹤，可以滿足馬赫數(shù)、動壓、熱流約束要求，且為控制實現(xiàn)留有余量。根據(jù)kSMC·θ和kSMC·v隨時間變化可知，SMC環(huán)和TLC環(huán)的控制切換權(quán)重隨不確定性設(shè)置發(fā)生變化，且變化趨勢與飛行器的狀態(tài)密切相關(guān)。

從控制指令跟蹤情況來看，基準(zhǔn)彈道及攝動彈道攻角及攻角變化率滿足約束要求。

飛推耦合度因子Cc，定義如式(41)所示。該因子表征飛推力矩耦合程度，其數(shù)值越大，則耦合程度越強。

(41)

根據(jù)飛推耦合度因子隨時間變化可知，發(fā)動機附加力矩占比較大，且其大小與飛行器的狀態(tài)密切相關(guān)，對飛行器姿態(tài)控制提出了較高要求。對于基準(zhǔn)彈道攻角可精確跟蹤攻角指令，對于攝動彈道，隨著舵效減小，靜穩(wěn)定度增大，攻角跟蹤精度變差，當(dāng)攝動程度為30%時，攻角跟蹤精度在0.5°以內(nèi)，同時舵面偏轉(zhuǎn)角度增大。

考慮初始狀態(tài)散布，同時附加發(fā)動機推力、附加力矩、飛行器升力阻力、壓心及舵效不確定性，進行500條次蒙特卡洛仿真，統(tǒng)計飛行過程中約束滿足情況，最大過載變化范圍[-1, 3.3]g，最大攻角變化范圍[4, 7.3]°，角速率變化范圍[-0.4, 2.7]°/s。受限于篇幅，給出最大攻角散布示意圖，如圖11所示，飛行范圍內(nèi)基本解有界，采用錢學(xué)森全系統(tǒng)工程穩(wěn)定性獲取方法可證明飛行范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。

圖11 蒙特卡洛彈道最大攻角散布Fig.11 The max angle of attack spread

4 結(jié) 論

隨著飛行器的跨空域、寬馬赫數(shù)范圍飛行，飛行器顯現(xiàn)出強耦合強不確定性強非線性快時變特性，對控制提出了非常高的要求。單一控制方法難以兼顧全部控制需求，提出一種該復(fù)合控制方法，由三個核心模塊組成，依次為強耦合強不確定性控制模塊、強非線性快時變控制模塊、智能調(diào)度模塊。強耦合強不確定性控制模塊采用自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)和滑模觀測器策略，強非線性快時變控制模塊采用軌跡線性化策略，智能調(diào)度模塊采用模糊策略。以一具備典型四強特征的飛行器為例，進行了對象四強特性分析，在此基礎(chǔ)上采用四強復(fù)合控制方法設(shè)計了制導(dǎo)律和控制律，仿真結(jié)果表明，該方法有效、可靠，采用錢學(xué)森全系統(tǒng)工程穩(wěn)定性獲取方法可證明飛行范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。