穿越11年的數(shù)學(xué)長(zhǎng)跑，尋找那顆最完美的“鵝卵石”

徐海濤 陳諾

著名學(xué)者弗里曼·戴森說(shuō)，有些數(shù)學(xué)家是鳥(niǎo)，有些是青蛙。飛鳥(niǎo)可以俯瞰延伸至遙遠(yuǎn)地平線的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)景，青蛙則樂(lè)于深入探討特定問(wèn)題的細(xì)節(jié)。至于我們，就像是池塘邊碰巧發(fā)現(xiàn)美麗花朵的青蛙。”

近期，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授陳秀雄、王兵取得重大突破，證明了“哈密爾頓—田”和“偏零階估計(jì)”這兩個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)界20多年懸而未決的核心猜想。面對(duì)如潮贊譽(yù)，他們這樣說(shuō)。

能完全看懂的“不到10人”

陳秀雄、王兵的論文，發(fā)表于國(guó)際頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊《微分幾何學(xué)雜志》。

學(xué)術(shù)界有人說(shuō)，這篇長(zhǎng)達(dá)123頁(yè)的論文，全世界能完全看懂的估計(jì)“不到10人”?！按_認(rèn)過(guò)眼神，我是看不懂的人。”網(wǎng)友的態(tài)度真實(shí)而可愛(ài)。有科普作家說(shuō)，“這是最難進(jìn)行的一次科普?！?h3>那么，他們到底證明了什么？

“我們?cè)谏碁┥峡吹降涅Z卵石大多是圓潤(rùn)的，它一開(kāi)始可能有棱有角，但隨著時(shí)空流轉(zhuǎn)、潮起潮落，形狀會(huì)越來(lái)越接近完美、標(biāo)準(zhǔn)。然而即便再完美的演化，鵝卵石也可能包含一些異變之處，幾何上稱為‘奇點(diǎn)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，‘哈密爾頓—田猜想即猜測(cè)大多數(shù)地方都是完美的，而‘奇點(diǎn)的大小是可控的，被限制在一個(gè)低維空間?！标愋阈壅f(shuō)，他和王兵，就是在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了這個(gè)猜想，并以此為基礎(chǔ)證明了分析領(lǐng)域的“偏零階估計(jì)猜想”。

數(shù)學(xué)猜想，是關(guān)于某個(gè)自然現(xiàn)象或理論的猜測(cè)、假設(shè)，如果被數(shù)學(xué)方法證明為正確的，就成為定理；證明為錯(cuò)誤的則拋棄。

“提出猜想——證明或證偽，再提出猜想——再證明或證偽……日日新，又日新，這就是數(shù)學(xué)發(fā)展的路徑?！蓖醣f(shuō)，“這也是人類對(duì)自然認(rèn)知不斷加深的過(guò)程。”

微分幾何學(xué)是研究空間幾何的學(xué)問(wèn)，在這個(gè)領(lǐng)域，出現(xiàn)過(guò)歐拉、高斯、黎曼等偉大的名字。大到宇宙膨脹，小到熱脹冷縮，諸多自然現(xiàn)象都可以歸結(jié)到空間演化?！肮軤栴D—田猜想”和“偏零階估計(jì)猜想”提出于20世紀(jì)90年代，屬于數(shù)學(xué)界的核心猜想。

“鵝卵石會(huì)越變?cè)酵昝?，幾何結(jié)構(gòu)會(huì)變成一個(gè)期待的形狀。我們把自然現(xiàn)象用數(shù)學(xué)工具做了證明?！标愋阈壅f(shuō)。

可能100年后才有用

“這兩個(gè)猜想有什么用？”在一些網(wǎng)站上，這是個(gè)熱點(diǎn)話題。有學(xué)術(shù)界網(wǎng)友認(rèn)為，應(yīng)該更長(zhǎng)遠(yuǎn)地看待這個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在前沿的數(shù)學(xué)成果，“可能100年后才有用”。

“跟隨自己的內(nèi)心，好奇心驅(qū)動(dòng)我們的研究?！标愋阈壅f(shuō)，基礎(chǔ)研究一般不直接著眼于應(yīng)用，但社會(huì)發(fā)展證明了基礎(chǔ)研究的作用。

微分幾何學(xué)起源于17世紀(jì)，對(duì)物理學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)等發(fā)展產(chǎn)生了巨大推動(dòng)作用，廣義相對(duì)論、量子場(chǎng)論等都依賴微分幾何作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

對(duì)人工智能、機(jī)器人、VR（虛擬現(xiàn)實(shí)）等現(xiàn)代技術(shù)，微分幾何同樣不可或缺。比如電影、游戲特效依靠計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，微分幾何學(xué)就是其基礎(chǔ)。

“人工智能是對(duì)真實(shí)世界的有效逼近。比如自動(dòng)駕駛技術(shù)，可以把前20年所有的車禍信息都錄入數(shù)據(jù)庫(kù)，但世界是向前發(fā)展的，如何應(yīng)對(duì)并避開(kāi)新情況下的車禍？”陳秀雄說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題或許可以用微分幾何的思想解決，對(duì)未來(lái)可能出現(xiàn)的車禍進(jìn)行“猜想”，從而提前規(guī)避。

在黑屋子里“找門(mén)”

研究猜想用了5年，論文篇幅長(zhǎng)達(dá)123頁(yè)，發(fā)表出來(lái)又花了6年……相比猜想本身，這些數(shù)字背后的故事同樣引人遐思。

11年前，當(dāng)27歲的美國(guó)普林斯頓大學(xué)博士后王兵提出主攻“哈密爾頓—田猜想”時(shí)，他的導(dǎo)師陳秀雄吃了一驚。3年的博士后，做出科研成果才能申請(qǐng)正式教職。但以這個(gè)猜想的難度，3年幾無(wú)可能，甚至可能會(huì)被“卡住”“迷失”，毀掉學(xué)術(shù)生涯。

“導(dǎo)師擔(dān)心我把自己置于危險(xiǎn)境地?！蓖醣f(shuō)，也想先做點(diǎn)容易的研究，但發(fā)現(xiàn)做不到，“做別的什么都沉不下來(lái)，茶不思、飯不想，成天想著這個(gè)事。”

數(shù)學(xué)之美讓來(lái)自中科大少年班的王兵癡迷，這已非一天兩天。2003年，俄羅斯學(xué)者格里高里·佩雷爾曼歷經(jīng)8年，證明了著名的龐加萊猜想。

“要說(shuō)好在哪里，說(shuō)不出來(lái)，就像王維的詩(shī)，你能說(shuō)清楚美在哪里？我就是著迷?！蓖醣f(shuō)，佩雷爾曼突破的更大意義在于，打開(kāi)了一個(gè)宏大瑰麗的科研“寶藏”入口，讓全球的青年數(shù)學(xué)粉絲為之癡狂。

整整啃了兩年，王兵讀懂了佩雷爾曼的3篇雄文，還發(fā)現(xiàn)了其中一個(gè)錯(cuò)漏，佩雷爾曼很快回信表示認(rèn)可。

但“哈密爾頓—田猜想”之難遠(yuǎn)超想象?！?012年3月我在夏威夷開(kāi)會(huì)，看著窗外美景，忽然想起來(lái)，我們的論證有個(gè)漏洞。這意味著干了兩年多的研究要推倒重來(lái)，寫(xiě)了五十多頁(yè)的論文要從零開(kāi)始?！蓖醣f(shuō)，這種大錯(cuò)誤犯過(guò)兩次，小的不計(jì)其數(shù)。

“證明未知的猜想，就像在一個(gè)方圓1平方公里的黑屋子里找路，沒(méi)有任何光亮，但你要在1個(gè)小時(shí)內(nèi)找到唯一一扇能出去的門(mén)?！标愋阈壅f(shuō)，最有效的方式是朝著一個(gè)方向走，但人往往走了不久就開(kāi)始嘀咕：萬(wàn)一方向不對(duì)呢？

“所以，好的數(shù)學(xué)一定是發(fā)自內(nèi)心的，你很喜歡，相信它是對(duì)的?！毖芯苛?0多年數(shù)學(xué)的陳秀雄說(shuō)。

論文長(zhǎng)，解釋更長(zhǎng)

2014年初夏，歷經(jīng)5年苦斗，他們終于完成了猜想的證明，并將成果預(yù)印本張貼到學(xué)術(shù)網(wǎng)站，引起行業(yè)內(nèi)不小的震動(dòng)。

為了將證明完整呈現(xiàn)，王兵將論文投稿到一家知名數(shù)學(xué)期刊，不料卻開(kāi)啟了另一段長(zhǎng)征。

猜想證明中有很多新概念、新方法，這家期刊的匿名審稿人不斷提出疑問(wèn)，他們就不斷回復(fù)解釋。兩年間，回復(fù)多達(dá)十幾次，回復(fù)內(nèi)容累積近200頁(yè)，比原文還長(zhǎng)。

就在他們以為都解釋清楚了，卻收到了拒稿信，審稿人含糊地表示，仍對(duì)部分解釋不滿意。

但同時(shí)，學(xué)術(shù)網(wǎng)站上卻出現(xiàn)了另一篇立意相近、結(jié)構(gòu)類似的論文。作者是一名歐洲人，他的論文架構(gòu)基于陳秀雄、王兵論文的關(guān)鍵想法，卻宣稱自己證明了“哈密爾頓—田猜想”。

多年成果可能會(huì)被搶走，陳秀雄和王兵將文章分成兩部分，分別投稿給不同的學(xué)術(shù)雜志，都在2017年年底被接受。由于雜志排期原因，2017年和今年，他們103頁(yè)的論文前半部分和123頁(yè)的后半部分，分別得以發(fā)表。

而那位歐洲學(xué)者在正式發(fā)表的論文中，也明確注明陳秀雄、王兵已經(jīng)先行證明了“哈密爾頓—田猜想”。至此，爭(zhēng)議塵埃落定。

《微分幾何學(xué)雜志》審稿人評(píng)論認(rèn)為，陳秀雄、王兵的論文是幾何分析領(lǐng)域的重大進(jìn)展，將激發(fā)諸多相關(guān)研究。菲爾茲獎(jiǎng)獲得者西蒙·唐納森稱贊說(shuō)，這是“幾何領(lǐng)域近年來(lái)的重大突破”。

此時(shí)，距離他們啟動(dòng)研究，已過(guò)去了11年。

回國(guó)，這里有最好的學(xué)生

走進(jìn)王兵的辦公室，最引人注目的是一個(gè)大黑板，幾乎占據(jù)縱向一面墻?！拔疫€嫌不夠大，寫(xiě)幾步就沒(méi)地方了?！痹谕醣磥?lái)，數(shù)學(xué)是長(zhǎng)跑是積累，“不寫(xiě)在黑板上，想的東西可能是錯(cuò)的?！?/p>

2018年，已在美國(guó)獲得終身教職的王兵與夫人一起回國(guó)，一是為了“歸屬感”，二是因?yàn)椤斑@里有最好的學(xué)生”。

在正常教學(xué)之外，王兵創(chuàng)辦了一個(gè)“討論班”，每周一三開(kāi)課，20多個(gè)學(xué)生中部分來(lái)自本校，更多是天南海北慕名而來(lái)的“數(shù)學(xué)門(mén)徒”。

21歲的徐鈺倫是來(lái)自復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系的“學(xué)霸”，4個(gè)月前來(lái)到合肥，租住在中科大學(xué)校旁的一間公寓。

一間教室、一塊黑板，每次圍繞一篇論文，一人上臺(tái)講，大家臺(tái)下聽(tīng)。徐鈺倫說(shuō)，當(dāng)學(xué)生在臺(tái)上講不下去了，王兵就會(huì)從凳子上“跳”到講臺(tái)上，拿起粉筆與大家一起向下推導(dǎo)。“大家歡笑著討論數(shù)學(xué)，非常純凈。我覺(jué)得，這就是數(shù)學(xué)愛(ài)好者的天堂?！?/p>

來(lái)自遼寧的一位中科院博士生說(shuō)，當(dāng)讀懂一篇論文、解決一個(gè)難題，有些洋洋得意，王老師會(huì)告訴他，“提問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”“數(shù)學(xué)的邊界是越來(lái)越大的”。

“上士聞道，勤而行之；中士聞道，若存若亡；下士聞道，大笑之?！?1歲的趙新銳說(shuō)，自己在討論班上記得最清楚的，是導(dǎo)師引用《道德經(jīng)》里的這段話，“這是數(shù)學(xué)研究的境界和旨趣所在?！?h3>留下新的“鵝卵石”

“現(xiàn)在的學(xué)生，比我當(dāng)年在中科大讀書(shū)時(shí)的水平高得多，一些本科生已經(jīng)達(dá)到了國(guó)外名校研究生水平?！蓖醣f(shuō)，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)一代代人的積累，不僅是一個(gè)人，而是一個(gè)大學(xué)、一個(gè)國(guó)家的事，他看好中國(guó)數(shù)學(xué)的前景。

對(duì)證明猜想所引起的巨大社會(huì)反響，陳秀雄和王兵都“出乎意料”?！拔液芨吲d，希望能吸引更多的年輕人來(lái)研究基礎(chǔ)學(xué)科，不僅是數(shù)學(xué)，還有物理、化學(xué)……基礎(chǔ)性的工作需要有人做?！标愋阈壅f(shuō)。

“論文發(fā)表以后，我收到很多郵件，大多是要論文，不少人表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的仰慕，還有人自稱是‘被金融耽誤的數(shù)學(xué)愛(ài)好者。”王兵說(shuō)，中國(guó)日漸強(qiáng)大，需要更多優(yōu)秀的年輕人進(jìn)來(lái)，夯實(shí)國(guó)家的數(shù)學(xué)之基。

在佩雷爾曼證明龐加萊猜想的論文中，留下了一段話：下一步，準(zhǔn)備研究“哈密爾頓—田猜想”。

“這個(gè)指引，是我們研究這一猜想的原因?！蓖醣f(shuō)，如果證明“哈密爾頓—田猜想”是尋找“最完美的鵝卵石”，在他倆那篇論文和以后的其他論文中，他們也留下了新的方向、新的線索。如同新的“鵝卵石”，這是數(shù)學(xué)界的傳承，也是指向未來(lái)的路標(biāo)。