基于凱恩法三柱塞式乳化液泵連桿慣性力的研究

楊文斌，李 晶，付莎莎

(西安工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

乳化液泵站是煤礦開采的重要設(shè)備,乳化液是煤礦綜采工作面中液壓支架和單體支柱的液壓傳動介質(zhì)。乳化液泵性能直接決定著泵站的工作效率[1-2]。乳化液泵驅(qū)動系統(tǒng)的主要結(jié)構(gòu)是曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。這種機(jī)構(gòu)由若干剛性構(gòu)件用低副(回轉(zhuǎn)副、移動副)聯(lián)接而成。國內(nèi)外許多學(xué)者通過建立各種數(shù)學(xué)模型，研究了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性。劉俊[3]、史雷鳴等[4]建立了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，通過Simulink與ADAMS軟件的仿真比較，研究了滑塊的動力學(xué)特性。對于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的慣性力，文獻(xiàn)[5-7]從理論上分析了摩托車發(fā)動機(jī)曲柄連桿機(jī)構(gòu)的二階慣性力，并給出了慣性力調(diào)整方法。

目前，對于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的研究大多停留在對單個機(jī)構(gòu)的動力學(xué)研究。如今大多使用三柱塞乳化液泵，動力學(xué)特性較單柱塞的復(fù)雜。當(dāng)前，對于三柱塞乳化液泵的研究，主要靠計(jì)算機(jī)仿真和利用單柱塞研究成果進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)[8-10]，缺乏理論上的支撐和數(shù)學(xué)模型計(jì)算。關(guān)于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的慣性力研究，Christoloukas等[11]在Visual Basic Net編程包下，面向?qū)ο缶幊棠K，建立了運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析的精確方程，開發(fā)了理論動態(tài)仿真軟件。利用該軟件可以仿真曲柄滑塊機(jī)構(gòu)各個桿件的慣性力，但并未深入探討影響各桿件慣性力的因素。

凱恩法[12-13]是一種處理非完整系統(tǒng)的經(jīng)典方法。凱恩方程將矢量形式的力和達(dá)朗貝爾慣性力沿某些特殊的基矢量投影，因而具有矢量力學(xué)的特點(diǎn)。凱恩方程的優(yōu)點(diǎn)是便于處理非完整系統(tǒng)或有多余約束的完整系統(tǒng)，包括帶多余鉸非樹系統(tǒng)。對此類系統(tǒng)，只需令廣義速率超過系統(tǒng)的自由度，利用補(bǔ)充列出約束條件小區(qū)多余廣義速率，即可導(dǎo)出與獨(dú)立廣義速率對應(yīng)的動力學(xué)方程。本文利用凱恩法建立乳化液泵曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，利用三柱塞式乳化液泵的結(jié)構(gòu)有均勻相位差(相位差為120°)的特點(diǎn)，對動力學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，得到三柱塞乳化液泵連桿的慣性力計(jì)算方法。文中還根據(jù)凱恩法得到的數(shù)學(xué)模型分析曲柄連桿長度之比值及曲軸輸入角速度對連桿慣性力的影響，為設(shè)計(jì)高性能的連桿提供參考。

1 建立數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系與狀態(tài)量定義

為了便于分析，繪制三柱塞乳化液泵的機(jī)構(gòu)簡圖，如圖1所示。

圖1 三柱塞乳化液泵曲軸系的機(jī)構(gòu)簡圖

建立定參考系(O-x0y0z0)，原點(diǎn)與O1重合。圖1中各個參數(shù)代表的意義如下：l1,l2分別為曲柄與連桿長度(mm);O1,O2,O3為旋轉(zhuǎn)鉸；φ1,φ2,φ3為曲柄轉(zhuǎn)過的角度(°)；ψ1,ψ2,ψ3為連桿與水平面的夾角(這里取銳角)(°);x1,x2,x3為滑塊的水平位移(mm)。

1.2 廣義速率選取

(1)

運(yùn)動學(xué)約束條件

(2)

化作對廣義速率的約束條件

(3)

設(shè)a1為獨(dú)立變量，解出多余變量b1，c1為a1的函數(shù)

(4)

用廣義速率表示各分體的質(zhì)心速度：

(5)

由式(5)得到與a1對應(yīng)的第一偏速度

(6)

設(shè)連桿的質(zhì)量為m2，連桿上作用的慣性力的主矢為

(7)

1.3 計(jì)算對應(yīng)連桿的廣義慣性力

不考慮廣義慣性力矩，連桿廣義慣性力為

(8)

2 仿真對比驗(yàn)證

2.1 MATLAB數(shù)值仿真

為了進(jìn)一步提高該泵的運(yùn)轉(zhuǎn)性能，在建立了復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型后，通過MATLAB編程[14]，使函數(shù)表達(dá)式通過曲線圖直觀地表現(xiàn)出來。將乳化液泵曲軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(表1)代入方程(7)中，建立M文件。

表1乳化液泵曲軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

Table 1 Parameters of the emulsion pump crankshaft system

零件質(zhì)量/kg桿長/mm質(zhì)心到鉸點(diǎn)的距離 /mm密度/(kg·mm-3)轉(zhuǎn)動慣量/(kg·mm2)曲軸3030159×103連桿502201107.8×10-62×105柱塞20

將所建立的M文件經(jīng)過編譯和調(diào)試后，得到乳化液泵曲軸系統(tǒng)連桿的間接慣性力曲線圖。根據(jù)凱恩方程得出的三柱塞乳化液泵連桿的慣性力曲線，相鄰曲線的相位差為120°，慣性力的大小隨曲軸的轉(zhuǎn)動呈現(xiàn)周期性的變化。圖2為一個周期慣性力(用加速度a表示)隨時間t變化曲線圖。

圖2 曲軸驅(qū)動系統(tǒng)連桿質(zhì)心的加速度曲線

2.2 ADAMS建模及仿真

三柱塞乳化液泵三維模型如圖3。利用Solidworks軟件建立三柱塞式乳化液泵實(shí)體模型，然后以 .x_t格式導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行動力學(xué)分析[15]。

圖3 三柱塞乳化液泵三維模型

為減小仿真分析的復(fù)雜度，忽略一些次要因素，將分離式的連桿組件看作一體式結(jié)構(gòu)，降低了模型復(fù)雜度。在ADAMS軟件中將分離的連桿、柱塞滑塊組件分別進(jìn)行布爾合并操作。乳化液泵各個部件之間的運(yùn)動副關(guān)系如表2。

表2 各連接部件的運(yùn)動副

設(shè)置各個部件的運(yùn)動副關(guān)系后，需要設(shè)置驅(qū)動方式及大小。對于驅(qū)動方式，在ADAMS中通常有3種類型，分別是位移、速度、加速度。選用速度驅(qū)動的方式，驅(qū)動加在曲軸-大地運(yùn)動副上，驅(qū)動函數(shù)2π rad/s表示曲軸保持2π rad/s的常值勻速轉(zhuǎn)動。

乳化液泵機(jī)械結(jié)構(gòu)部分主要受乳化液液壓力的影響，該力方向垂直于柱塞端面，并且指向柱塞。當(dāng)柱塞處于吸液階段時，柱塞力為吸入壓力；當(dāng)柱塞處于排液階段，柱塞力為排出壓力。通過對比，排出壓力遠(yuǎn)大于吸入壓力，因此在實(shí)際計(jì)算中吸入壓力可以忽略不計(jì)[16]。文獻(xiàn)[17]在研究工作面支架液壓系統(tǒng)時，測試了1 000 s內(nèi)泵的壓力數(shù)據(jù)。從數(shù)據(jù)中可以看出，泵處于加載狀態(tài)時，柱塞壓力可近似地認(rèn)為按照正弦規(guī)律變化，用來近似模擬乳化液泵受到的液壓力。張利峰[18]對某一型號的乳化液泵進(jìn)行動力學(xué)分析，得到三柱塞乳化液泵的柱塞所受力大小的曲線。

對于三柱塞式乳化液泵，相鄰曲拐之間有120°的相位差，而且每個柱塞的結(jié)構(gòu)大小相同，所以每個柱塞受到的外載荷也呈現(xiàn)120°的相位差。根據(jù)柱塞所受力曲線的變化，可以近似擬合出3個柱塞受力的方程：

F1=221 432·sin(96.7t)+253 066

F2=221 432·sin(96.7t+2.09)+253 066

F3=221 432·sin(96.7t+4.18)+253 066

在額定工況下，利用ADAMS軟件對乳化液泵曲軸系模型做多體動力學(xué)分析，得到連桿的加速度曲線圖,如圖4。加速度的變化規(guī)律間接地反映了桿件慣性力的變化[19]。

由圖2，4知，連桿的加速度呈現(xiàn)周期性的變化。曲拐Ⅱ的加速度曲線相對于曲拐Ⅰ滯后120°，這是由于曲拐的特殊結(jié)構(gòu)(相鄰單曲拐軸線之間的關(guān)于曲軸軸線的轉(zhuǎn)動角為120°)造成的。同理，連桿Ⅲ的加速度曲線相對于連桿Ⅱ也滯后120°。

圖4 連桿質(zhì)心加速度曲線

3 慣性力影響因素分析

根據(jù)凱恩法，將乳化液泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(7)，得到連桿慣性力的計(jì)算公式。對于三柱塞的乳化液泵連桿，其運(yùn)動是平面運(yùn)動。根據(jù)剛體平面運(yùn)動的性質(zhì)，連桿的運(yùn)動可分解為平移運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，平移運(yùn)動中影響慣性力的主要因素是質(zhì)量與加速度；旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中影響慣性力的主要因素是轉(zhuǎn)動慣量與角加速度；曲柄的驅(qū)動角速度、滑塊移動速度等也會對連桿的慣性力產(chǎn)生影響。以上這些因素主要由曲柄的角速度與機(jī)構(gòu)的總體尺寸共同決定，本文重點(diǎn)考慮曲柄角速度和機(jī)構(gòu)尺寸對慣性力的影響?？紤]了曲柄與連桿長度比λ和曲軸驅(qū)動角速度ω對連桿慣性力的影響。利用MATLAB編寫程序進(jìn)行仿真，得到上述參數(shù)的變化對三柱塞式乳化液泵慣性力大小的影響。

3.1 λ對慣性力的影響

λ的大小隨連桿長度變化而改變。為便于分析，本文作如下假設(shè)：

(1)曲柄長度l1不變。

(3)連桿選用同一材質(zhì)，在非慣性系中，剛體連桿慣性力主矢遵循動力學(xué)規(guī)律：

F=ma

(9)

式中：m為連桿質(zhì)量；a為剛體移動加速度。

λ改變時，連桿質(zhì)量發(fā)生變化,由式(7)可知，λ的大小同樣影響連桿的移動加速度。即根據(jù)式(9)分析連桿加速度時，要同時考慮λ對m，a的影響。

根據(jù)假設(shè)條件和λ=l1/l2，λ與連桿質(zhì)量成反比。由式(7)分析加速度可以得到，λ增加，連桿質(zhì)心加速度增加，慣性力增加。取λ1=0.25，λ2=0.30，λ3=0.35綜合分析，得到圖5的變化曲線。

圖5 λ對連桿慣性力的影響

由圖5可知，連桿的慣性力隨著時間出現(xiàn)周期性的變化，這是由連桿加速度在運(yùn)動過程中的周期性變化決定的。λ改變對連桿慣性力變化的幅值有顯著的影響。λ增大，慣性力的幅值減小。原因是λ對連桿質(zhì)量的影響大于λ對連桿質(zhì)心加速度的影響，從而導(dǎo)致連桿慣性力減小。

3.2 驅(qū)動角速度ω對慣性力的影響

根據(jù)式(7)，曲軸的驅(qū)動轉(zhuǎn)速對連桿慣性力的大小有顯著的影響。圖6為連桿慣性力大小隨曲軸驅(qū)動角速度的變化曲線。從圖6可以看出，隨著驅(qū)動角速度的增加，連桿的慣性力出現(xiàn)振蕩，而且振蕩幅值會越來越大。

將曲線每個極值(見圖6)所對應(yīng)的曲軸角速度設(shè)為ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，…。令Δω1=ω2-ω1，Δω2=ω3-ω2，…，Δωi=ωi+1-ωi(i=1,2,3，…)。令相鄰慣性力峰值之間的時間差為ΔTi，

(10)

由圖6可以看出，Δω1>Δω2>…>Δωi;根據(jù)式(10)，ΔT1>ΔT2>…>ΔTi。所以隨著角速度的增大，慣性力振蕩頻率也增大。

圖6 曲軸驅(qū)動角速度變化對連桿慣性力的影響

4 結(jié) 論

(1)利用凱恩法建立乳化液泵曲軸驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)方程,得到連桿質(zhì)心加速度的變化曲線，與 ADAMS仿真分析得到的連桿的加速度特性對比，得出兩者的變化曲線基本吻合。

(2)應(yīng)用凱恩法分析連桿慣性力的影響因素。在達(dá)到乳化液泵工況要求的情況下，λ增大時，連桿慣性力減小。這是由于λ對質(zhì)量的影響要大于對質(zhì)心加速度的影響。但是,λ值過大，連桿的角加速度增大，從而連桿的慣性力矩增大。

(3)曲軸驅(qū)動速度ω不宜過大。ω增加，連桿慣性力變化頻率與幅值會顯著增加。

研究限于篇幅，沒有考慮連桿的慣性力矩。另外在分析時，將連桿等效為剛體，未考慮其柔性，需進(jìn)一步研究。