一道錯誤試題的分析與探究

王平

【摘要】本文通過剖析一道題目錯誤的期末試題，找出了其中出錯的原因，并進一步對題目條件做了合理的探究和更正.

【關(guān)鍵詞】試題;探究;更正

在完成八年級上學(xué)期期末試卷后，比對答案時發(fā)現(xiàn)試卷最后一題有一小題的標(biāo)準(zhǔn)答案與筆者的答案有出入.仔細(xì)研究后，發(fā)現(xiàn)過程都是正確的，而讓人困惑的是，同一道題，用不同的解答方法，竟然得到不同的答案，這讓筆者產(chǎn)生了一探究竟的想法.

試題：（江北區(qū)八年級上學(xué)期期末考試26題）已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分別是x軸和y軸上的動點.

（1）如圖1，若點C的橫坐標(biāo)為-4，求點B的坐標(biāo);

（2）如圖2，BC交x軸于點D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標(biāo)為3，A（2+22，0），求點D的坐標(biāo).

標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）如圖3，過C作CM⊥y軸于M，則CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90°，∴∠CBM=90°-∠ABO=∠BAO.又∵AB=BC，∠BMC=∠AOB=90°，∴△BMC≌△AOB（AAS），∴OB=CM=4，∴B（0，-4）.

（2）如圖4，過C作CM⊥x軸于M，交AB的延長線于N，則∠AMC=∠AMN=90°，CM=3.∵AD平分∠CAB，∴∠CAM=∠NAM.又∵AM=AM，∴△AMC≌△AMN（ASA）.∴MN=CM=3，∴CN=6.∵CM⊥x軸，∠ABC=90°，

∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，∴∠NCB=90°-∠CDM=90°-∠BDA=∠BAD.又∵AB=BC，∴△CBN≌△ABD（ASA），∴AD=CN=6.∵A（2+22，0），∴D（22-4，0）.

對于第（2）問筆者采取了類似第（1）問的加輔助線方法.解答過程如下：

（2）解：如圖5，作CM⊥y軸于M，設(shè)AC交y軸于P，由（1）得△BCM≌△ABO，∴CM=BO，AO=MB.∵點C的縱坐標(biāo)為3，A（2+22，0），∴MO=3，MB=AO=2+22.

∴CM=BO=MB-MO=22-1.∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，

∴CM∥x軸，∴DOCM=BOBM，即DO22-1=22-12+22.

∴DO=132-172，∴D-132-172，0.

此時筆者發(fā)現(xiàn)，用不同的方法得到了與標(biāo)準(zhǔn)答案截然不同的結(jié)果，并且利用相似的知識，在解答的過程中并未用到“AD平分∠CAB”這個條件就得出了答案，這顯然是題目條件出現(xiàn)了問題.經(jīng)過進一步的探討，我們可以發(fā)現(xiàn)題目第（2）問給出了三個相互矛盾的條件：“AD平分∠BAC，點C的縱坐標(biāo)為3，A（2+22，0）”.舉例，當(dāng)“點C的縱坐標(biāo)為3，A的坐標(biāo)為（2+22，0）”時，可以推得AD不平分∠BAC.推理如下：

作CM⊥y軸于M，設(shè)AC交y軸于P，則MO=3，AO=2+22，CM=BO=22-1.

∵CM⊥y軸，∴CM∥x軸，∴△PCM～△PAO，∴PMPO=CMAO=22-122+2=5-322.

又∵MO=3，

∴PO=3·27-32=42+18231.

∴BO≠PO.

∴AD不平分∠BAC.

（反證法：如果AD平分∠BAC，由AO⊥BP，可得∠APO=∠ABO，△ABP為等腰三角形，則BO=PO）

事實上，當(dāng)上述三個條件中的兩個已知時，另一個條件也確定了，也就是說三個條件是相關(guān)聯(lián)的.接下來探究讓三個條件同時滿足的適合條件.

探究：如圖6，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分別在x軸和y軸上，BC交x軸于點D，且AD平分∠BAC，CM⊥y軸于M，AC交y軸于點P.設(shè)C的縱坐標(biāo)為c，A（a，0），則MO=c，AO=a.由前文得△BCM≌△ABO，∴AO=MB=a，CM=BO=a-c.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，

∴∠APO=∠ABO，∴AP=AB，∴PO=BO=a-c.

∴MP=MO-OP=c-（a-c）=2c-a.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CM∥x軸，∴△PCM～△PAO.

∴CMAO=MPPO，∴a-ca=2c-aa-c，∴2a2-4ac+c2=0，解得a=2±22c.

由此可知，當(dāng)AD平分∠BAC時，C的縱坐標(biāo)c和A的橫坐標(biāo)a，需滿足a=2+22c.不妨設(shè)c=2，a=2+2，可以將原試題第（2）問更正為：

（2）BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標(biāo)為2，A（2+2，0），求點D的坐標(biāo).

解：如圖7，作CM⊥y軸于M，設(shè)AC交y軸于P，

由（1）得△BCM≌△ABO，∴CM=BO，AO=MB.

∵點C的縱坐標(biāo)為2，A（2+2，0），

∴MO=2，MB=AO=2+2，

∴CM=BO=MB-MO=2.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，

∴∠APO=∠ABO，∴AP=AB.

∴PO=BO=2，∴MP=MO-PO=2-2.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CM∥x軸，∴∠MCP=∠PAO=∠BAO.

∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO.

∴∠DBO=∠MCP.又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，

∴OD=MP=2-2.∴D2-2，0.

此外，當(dāng)AD平分∠BAC時，根據(jù)A，C坐標(biāo)之間的關(guān)系，我們還可以對該題第（2）問作出其他形式的修改：

（2）BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標(biāo)為2，求點D的坐標(biāo).

解：如圖8，作CM⊥y軸于M，設(shè)AC交y軸于P，設(shè)CM=a，由（1）得△BCM≌△ABO.

∴CM=BO=a，AO=MB.

∵點C的縱坐標(biāo)為2，

∴MO=2，AO=MB=MO+OB=2+a.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，∴∠APO=∠ABO，

∴AP=AB，∴PO=BO=a，∴MP=MO-PO=2-a.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CM∥x軸，

∴∠PCM=∠PAO，∴△PCM～△PAO.

∴CMAO=MPPO，∴a2+a=2-aa，解得a=2，∴MP=2-2.∵AD平分∠BAC，

∴∠PAO=∠BAO=∠MCP.∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，

∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO.

∴∠DBO=∠MCP.

又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，∴OD=MP=2-2，∴D（2-2，0）.

進一步，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分別在x軸和y軸上，BC交x軸于點D，且AD平分∠BAC，CM⊥y軸于M，AC交y軸于P.設(shè)C的縱坐標(biāo)為c，A（a，0），根據(jù)之前的推理可知MB=AO=a，BO=CM=a-c，a=2+22c.∵CM⊥y軸，∴CM∥x軸，可得DOCM=BOBM=a-ca=1-ca=1-22+2=2-1，∴DOOA=2-1CMOA=2-1（a-c）a=3-22.即DO=3-22OA.由此我們又可以將原題第（2）問改編成：

（2）BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點D的坐標(biāo)為1，0，求點A的坐標(biāo).

解：如圖9，作CM⊥y軸于M，設(shè)AC交y軸于P，

設(shè)CM=a，由（1）得△BCM≌△ABO，

∴CM=BO=a，AO=MB.

∵D的坐標(biāo)為（1，0），∴OD=1.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，∴∠APO=∠ABO.

∴AP=AB，∴PO=BO=a.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，

∴CM∥x軸，∴∠MCP=∠PAO=∠BAO.∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，

∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO，∴∠DBO=∠MCP.

又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，∴MP=OD=1.

∴BM=OB+OP+MP=2a+1.∵CM∥x軸，∴DOCM=BOBM，即1a=a2a+1，解得a=1±2.

∴a=1+2，OA=BM=2a+1=3+22，∴A3+22，0.

這個題給我們數(shù)學(xué)編題者很大的啟示.有時由于命題人出題時思考不嚴(yán)謹(jǐn)或不全面，可能出現(xiàn)錯誤的試題，而有些錯誤就隱藏在看似合理的條件中.這就要求命題者應(yīng)充分考慮試題各個條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，條件相容是命題最基本的要求，從而保證試題的科學(xué)性.