一道數(shù)軸上的動點問題的源與流的探究之路

林運蓉

【摘要】七年級學(xué)生學(xué)習(xí)了上冊四個章節(jié)之后，掌握了數(shù)軸，方程，直線、射線、線段的相關(guān)知識，會接觸到一類以數(shù)軸為背景的動點問題.面對這一類問題，很多學(xué)生難以適應(yīng)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)變，不能合理運用數(shù)形結(jié)合思想.解決這類問題，要理順運動過程，從“形”找等量關(guān)系，利用各線段之間的數(shù)量關(guān)系列方程，從“數(shù)”找等量關(guān)系，利用數(shù)軸上各點表示的數(shù)之間關(guān)系列方程，分析問題來求解.

【關(guān)鍵詞】動點問題;數(shù)軸;距離;平移

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓是把復(fù)雜問題逐步分解，通過對問題進(jìn)行深入的剖析，找尋解決問題的策略，再加以總結(jié)，得出一類問題的解決策略.進(jìn)入七年級，數(shù)軸的學(xué)習(xí)邁出了初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的第一步，而數(shù)軸上的動點問題是伴隨數(shù)軸與方程的知識應(yīng)運而生的，它是動點問題的基礎(chǔ)，知識涉及面很廣：絕對值的幾何意義，數(shù)軸上的點表示的數(shù)，行程問題，代數(shù)式等.下面筆者以一道數(shù)軸上的動點問題為例，在探究活動中幫助學(xué)生感悟動點問題的源與流.

1.根源：距離與中點

【引例】如圖1所示，數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為6，-4，

【問題1】A，B兩點之間的距離是多少？A，B兩點的中點所表示的數(shù)是什么？

分析：學(xué)生從數(shù)軸上很容易得出A，B兩點之間的距離，就是線段AB的長度，6-（-4）=10，所以A，B兩點之間的距離是10.A，B兩點的中點所表示的數(shù)，就是線段AB的中點表示的數(shù)，設(shè)線段AB的中點表示的數(shù)為x，|6-x|=|x-（-4）|，解得x=1.即A，B兩點的中點表示的數(shù)是1.

點評：數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上兩點之間的距離可以用這兩點所表示的數(shù)的差的絕對值來表示.例如數(shù)軸上點A表示的數(shù)是a，點B表示的數(shù)是b，則線段AB的長度可以用a-b來表示，而A，B兩點的中點所表示的數(shù)為a+b2.

2.點的平移

【問題2】點M從點B出發(fā)，沿數(shù)軸移動4個單位長度到達(dá)點C，則點C表示的數(shù)是什么？

分析：先分類，再計算.①沿數(shù)軸的正方向向右平移，點C在點B的右邊，則點C表示的數(shù)是-4+4=0;②沿數(shù)軸的負(fù)方向向左平移，點C在點B的左邊，則點C表示的數(shù)是-4-4=-8.綜上所述，點C表示的數(shù)是0或-8.

點評：數(shù)軸上動點問題的實質(zhì)是數(shù)軸上點的平移，例如數(shù)軸上點A表示的數(shù)是a，向左運動b個單位長度后表示的數(shù)為a-b;向右運動b個單位長度后表示的數(shù)為a+b.

3.平移運動：單動點運動

【問題3】動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線BA運動，點N為BP的中點，則點P運動多少秒后，AP=BN？

分析：設(shè)點P的運動時間為t秒，點P沿數(shù)軸的正方向運動，則點P所表示的數(shù)是-4+2t，點N為BP的中點，則點N所表示的數(shù)是-4+（-4+2t）2=-4+t.點N在點B的右邊，根據(jù)兩點之間的距離公式得出BN=t.

先分類，再計算.①若點P在點A的右邊，則由AP=BN得-4+2t-6=t，解得t=10.②若點P在點A的左邊，則由AP=BN得6-（-4+2t）=t，解得t=10[]3.綜上所述，點P運動10[]3秒或10秒后，AP=BN.

點評：問題3是單動點運動，從哪個點開始運動、運動方向與運動速度是解題關(guān)鍵.例如數(shù)軸上點A表示的數(shù)是x，設(shè)點P的運動時間為t秒，點P以每秒a個單位長度的速度從點A處向左運動t秒后表示的數(shù)為x-at;向右運動t秒后表示的數(shù)為x+at.

4.平移運動：雙動點運動

【問題4】動點P從點B出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度運動，動點Q從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度運動.

（1）若點P，Q同時沿射線BA運動，則點P運動多少秒與點Q重合？

（2）若點P，Q同時運動，其中點P沿射線BA運動，點Q沿射線AB運動，則點P運動多少秒與點Q重合？

解：設(shè)運動時間為t秒，（1）方法一：根據(jù)題意知點P，Q同時沿射線BA運動，是追及問題，A，B兩點之間的距離是10.列出方程：6t=10+4t，解得t=5.答：點P運動5秒與點Q重合.

方法二：因為點P，Q同時沿射線BA運動，所以點P所表示的數(shù)是-4+6t，點Q所表示的數(shù)是6+4t，點P與點Q重合，則這兩點表示的數(shù)相同，可列出方程為：-4+6t=6+4t，解得t=5.答：點P運動5秒與點Q重合.

（2）方法一：根據(jù)題意知點P，Q同時相向運動，是相遇問題，A，B兩點之間的距離是10.列出方程：6t+4t=10，解得t=1.答：點P運動1秒與點Q重合.

方法二：若點P，Q同時運動，其中點P沿射線BA運動，點Q沿射線AB運動，所以點P所表示的數(shù)是-4+6t，點Q所表示的數(shù)是6-4t，若點P與點Q重合，則這兩點表示的數(shù)相同，可列出方程為：-4+6t=6-4t，解得t=1.答：點P運動1秒與點Q重合.

5.兩種方法：定值問題

【問題5】若點M為AP的中點，點N為BP的中點，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿射線AB運動，則動點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？

分析：方法一：線段MN的長度不發(fā)生變化.理由如下：分兩種情況：①當(dāng)點P在線段AB上運動時，如圖2所示，MN=MP+NP=12AP+12BP=12AB=5.②當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動時，如圖3所示，MN=MP-NP=12AP-12BP=12AB=5.

綜上所述，線段MN的長度不發(fā)生變化.

方法二：線段MN的長度不發(fā)生變化.理由如下：動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿射線AB運動，設(shè)運動時間為t秒，所以點P所表示的數(shù)是6-6t，點M為AP的中點，所以點M所表示的數(shù)是6+6-6t2=6-3t，同理點N為BP的中點，所以點N所表示的數(shù)是-4+6-6t2=1-3t，所以MN=6-3t-（1-3t）=5.結(jié)論：線段MN的長度不發(fā)生變化.

點評：問題5是單動點運動的定值問題，解題關(guān)鍵是求兩點之間的距離.方法一是利用動點P運動，分兩種情況討論：①當(dāng)點P在線段AB上運動;②當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動，得出線段MN的長度不發(fā)生變化.方法二是利用設(shè)運動時間為t秒，根據(jù)題意得出點P，M，N所表示的數(shù)，從而求出線段MN的長度.

6.反思提升：新定義問題

【問題6】A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為6，-4，點P，A，B為數(shù)軸上三點，若點P到點A的距離是點P到點B的距離的4倍，則稱點P是【A，B】的奇妙點.

問題（1）：若【A，B】的奇妙點P在A，B兩點之間，則點P表示的數(shù)是，若【A，B】的奇妙點P在點B左側(cè)，則點P表示的數(shù)是.

問題（2）：現(xiàn)在點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向左運動，到達(dá)點B停止，求點P運動幾秒時，三點P，A，B中恰有一個點為其余兩點的奇妙點.

分析：本題解題的關(guān)鍵是閱讀理解數(shù)軸上的新定義，列式可得結(jié)果.問題（1）：由新定義得到PA=4PB，設(shè)點P表示的數(shù)是m，①當(dāng)【A，B】的奇妙點P在A，B兩點之間時，列式得6-m=4[m-（-4）]，解得m=-2，則點P表示的數(shù)是-2，②當(dāng)【A，B】的奇妙點P在點B左側(cè)時，列式得6-m=4（-4-m），解得m=-223，則點P表示的數(shù)是-223.

問題（2）：設(shè)點P運動的時間為t秒，則PA=3t，PB=10-3t，AB=10，分為四種情況：①點P是 【A，B】 的奇妙點，則PA=4PB，列式為3t=4（10-3t），解得t=83;②點P是【B，A】的奇妙點，則PB=4PA，列式為10-3t=4×3t，解得t=23;③點A是【B，P】的奇妙點，則AB=4AP，列式為10=4×3t，解得t=56;④點B是【A，P】的奇妙點，則BA=4BP，列式為10=4（10-3t），解得t=52.綜上所述，當(dāng)點P運動83秒，23秒，56秒，52秒時，三點P，A，B中恰有一個點為其余兩點的奇妙點.

上面例子中，以數(shù)軸為背景，設(shè)計問題串，距離、中點、平移為源頭，單動點的距離、雙動點的相遇與追及、定值問題的探究之旅，意在幫助學(xué)生理清解決問題的思路，感悟數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用方法，達(dá)到學(xué)以致用的目的.

7.延伸拓展：多點運動

【問題7】如圖4所示，已知線段AB和線段CD是直線l上兩條可以左右移動的線段，AB=4，CD=8，BC=m（m>0），線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，線段AB以每秒4個單位長度的速度向右運動，線段CD以每秒1個單位長度的速度向右運動，若運動6秒后，MN=4，求m的值.

分析：本題是兩條線段的運動，可視為四個端點的運動.解題的關(guān)鍵是找出點M，N所表示的數(shù)，再利用距離求解.如圖5所示，以點A為原點，向右為數(shù)軸正方向，根據(jù)題意得，運動前：點A所表示的數(shù)是0，點B所表示的數(shù)是4，點C所表示的數(shù)是m+4，點D所表示的數(shù)是m+12.運動6秒后：點A所表示的數(shù)是4×6=24，點B所表示的數(shù)是4+4×6=28，點C所表示的數(shù)是m+4+6=m+10，點D所表示的數(shù)是m+12+6=m+18.

因為線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，所以運動t秒后點M所表示的數(shù)是24+282=26，點N所表示的數(shù)是m+10+m+182=m+14，而MN=4，列方程為m+14-26=4或26-（m+14）=4，解得m=16或m=8.

綜上所述，動點問題需要以數(shù)軸上的動點為起步，作出相應(yīng)的圖形，觀察比較找尋運動規(guī)律、特殊位置，根據(jù)運動的不同情況進(jìn)行分類討論，列出方程，從而求解.

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