基于實(shí)證數(shù)據(jù) 提升數(shù)學(xué)能力

梁玲智 潘慧敏

[摘? 要] 文章以拓展課“畫周長是12的多連方”為例，通過對學(xué)生解答此類問題策略的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)能力大多停留在“數(shù)”或“算”的層面，極少能從圖形變換的角度進(jìn)行思考，缺乏“通過平移找到基礎(chǔ)圖形之外的多連方”的意識與能力。文章將在實(shí)證研究的基礎(chǔ)上，闡釋如何通過“巧借認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、架構(gòu)知識橋梁”“利用幾何直觀、同化認(rèn)知結(jié)構(gòu)”“建立認(rèn)知階梯、構(gòu)建邏輯結(jié)構(gòu)”這三個層面螺旋地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

[關(guān)鍵詞] 周長;多連方;解題策略;數(shù)學(xué)能力

培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。相比容易操作、評價的概念理解與技能訓(xùn)練，數(shù)學(xué)能力的研究比較模糊和難以把握。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師迫切需要知道解決特定數(shù)學(xué)問題所涉及的數(shù)學(xué)能力，而國內(nèi)外學(xué)者較少有專門針對解決某個具體數(shù)學(xué)問題的相關(guān)研究。筆者認(rèn)為，分析學(xué)生已有的數(shù)學(xué)能力水平與目標(biāo)水平之間的差異，是提升數(shù)學(xué)能力的前提;而通過分析解題策略，能發(fā)現(xiàn)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)能力水平。本文將以拓展課“畫周長是12的多連方”為例，闡釋如何基于實(shí)證數(shù)據(jù)，提升數(shù)學(xué)能力。

一、概念界定與解題策略

多個相同的小正方形連在一起，如果相鄰兩個小正方形相連的兩邊完全重合，這樣的圖形叫作“多連方”。如五連方就是由5個正方形連在一起組成的。畫周長是12的多連方，需要借助幾何直觀和周長計算，從形和數(shù)兩個維度調(diào)動學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。在問題解決的過程中，包含運(yùn)算、觀察、想象、概括、遷移、推理、建模等多種重要的數(shù)學(xué)能力。

解題策略一：大長方形（或正方形）減去其中的若干個小正方形。

周長是12的長（正）方形共有3種，在此基礎(chǔ)上去掉邊角的若干個小正方形，剩余圖形的周長不變（見圖1）。

解題策略二：正方形周長總數(shù)減去公共邊。

計算多連方的周長，還可以從“公共邊”入手，根據(jù)“周長=正方形個數(shù)×4-公共邊數(shù)量×2”去思考。以六連方為例，移動其中的一個小正方形，如果公共邊的條數(shù)不變，那么周長也不變。用這樣的思路，如果畫出了一個周長是12的六連方，就可以依次有序地移動深色小正方形，構(gòu)造出符合條件的其他六連方。這些六連方的周長都是6×4-6×2=12，符合條件的六連方共有7個（見圖2）。

二、數(shù)據(jù)的調(diào)查與分析

學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是在數(shù)學(xué)活動過程中表現(xiàn)出來的，而數(shù)學(xué)活動的主體部分是數(shù)學(xué)問題的解決活動。學(xué)生在解決“畫周長是12的多連方”時的數(shù)學(xué)能力情況又是怎么樣的呢？筆者在某城區(qū)學(xué)校的四年級隨機(jī)抽取了一個班的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查之前先簡要介紹“多連方”的概念，確保受調(diào)查的學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上進(jìn)行操作。學(xué)生獨(dú)立操作時間為10分鐘，期間師生之間、生生之間無任何提示和交流。10分鐘后學(xué)生停止畫圖，寫下自己畫圖的方法。

1. 數(shù)據(jù)量化分析

調(diào)查結(jié)果能客觀地反映出學(xué)生在圖形計算能力、觀察判斷能力、邏輯推理能力上的差異（見表1）。從整體層面來看，學(xué)生能夠畫出符合要求的多連方，但是數(shù)量比較少，平均每人能畫出8.475個圖形，平均每人能畫出7.95個正確的圖形。

從個體層面來看，學(xué)生個體之間的解題能力存在著比較明顯的差異（見表2）。最多的學(xué)生能畫出18個圖形，而最少的學(xué)生只畫出了3個圖形畫出。圖形個數(shù)“1到5個”的占了27.5%，“6到10個”的占了52.5%。

從解答方法層面分析，學(xué)生能力水平從低到高分成四個層次（見表3）。層次一是“空白或表述不清晰”;層次二是“數(shù)或湊”的方法;層次三是“利用周長公式結(jié)合數(shù)與算”，如“（長+寬）×2=12”“12÷2=6，想幾加幾是6”“12÷4=3”“先確定寬，再用（12-寬×2）÷2”等;層次四是“在基礎(chǔ)圖形上進(jìn)行變化”，如“畫出長方形，然后變化一下”“想出一種，把它轉(zhuǎn)了再轉(zhuǎn)”“先畫出簡單的，再移動其中一塊”“畫一個周長是12的長方形，然后挖角”等。

2. 歸因分析

為了能夠準(zhǔn)確描述四年級學(xué)生對“畫周長是12的多連方”的理解程度與思維軌跡，筆者通過數(shù)據(jù)的整理分析和與學(xué)生的個體訪談等方法，將學(xué)生的理解水平分為了4個層次，分別是前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平。各結(jié)構(gòu)水平的人數(shù)和占比情況詳見表4。

（1）前結(jié)構(gòu)水平屬于能力最低的水平。該類學(xué)生對于問題的線索混淆不清，沒有一致的感覺，甚至有的連問題都沒有弄清楚，表現(xiàn)為“空白或表述不清”等情況（見圖3）。

（2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平屬于較低層次的水平，學(xué)生能夠通過“數(shù)或湊”的方法畫出部分“周長是12的多連方”。但是在他們的腦海中，圖形是零散的，甚至是碎片式的，沒有把各圖形關(guān)聯(lián)起來，碰運(yùn)氣的成分較高，數(shù)學(xué)思維運(yùn)用較少（見圖4）。

（3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平屬于中等層次的水平，該類學(xué)生能“利用周長公式結(jié)合數(shù)與算”。如“（長+寬）×2=12”“12÷2=6，想幾加幾是6”“12÷4=3”“先確定寬，再用（12-寬×2）÷2”等，畫出較多符合要求的圖形。但由于他們只注意孤立的素材，考慮問題不夠全面，沒有能“在基礎(chǔ)圖形上進(jìn)行變換”想出更多的圖形。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平屬于較高層次的水平。該類學(xué)生能在基礎(chǔ)圖形上進(jìn)行變化，如“畫出長方形，然后變化一下”“想出一種，把它轉(zhuǎn)了再轉(zhuǎn)”“先畫出簡單的，再移動其中一塊”“畫一個周長是12的長方形，然后挖角”等。但可惜的是并沒有形成完整、清晰的解題思路，缺乏全面有序地思考（見圖5）。

三、精準(zhǔn)教學(xué)，提升數(shù)學(xué)能力

通過對調(diào)查數(shù)據(jù)的定量刻畫和定性分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)能力大多停留在“數(shù)和算”的層面，極少能從圖形變化的角度進(jìn)行思考，缺乏“通過平移找到基礎(chǔ)圖形之外的多連方”的意識與能力。如何開展教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力？

1. 巧借認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、架構(gòu)知識橋梁

杜威指出：“教育必須建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造和重組。”學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是其進(jìn)一步學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)。當(dāng)新知識出現(xiàn)時，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生將新知與頭腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生聯(lián)系，架構(gòu)新舊知識之間的橋梁，從而進(jìn)一步擴(kuò)展和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在簡單介紹多連方、給出多連方的定義后，筆者設(shè)計了以下教學(xué)過程。

步驟一：操作——組織學(xué)生在學(xué)習(xí)單中畫出周長是12的多連方。

步驟二：分類——根據(jù)實(shí)時監(jiān)測到的學(xué)生作圖情況，篩選、收集有代表性的作品，利用“交互智能平板”中的拍攝功能，將其以圖片的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類。

步驟三：對比——借助同屏投影功能和自由拖曳功能再次展示整理后的作品，尋找與基礎(chǔ)圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別。

步驟四：內(nèi)化——用新方法再次畫圖，完善充實(shí)作品。

2. 利用幾何的直觀性、同化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

小學(xué)生的思維水平正處于從形象思維為主逐步向抽象思維為主的過渡階段，而畫“周長是12的多連方”這一任務(wù)具有較強(qiáng)的邏輯性和高度的抽象性，所以學(xué)生在理解和掌握上有一定的困難。筆者利用幾何的直觀性，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生與頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生聯(lián)系，同化新信息，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地擴(kuò)展和完善。

在學(xué)生將作品分類后，筆者再次展示整理后的作品（見圖6），引導(dǎo)學(xué)生思考：右邊的多連方與第一個多連方有什么聯(lián)系與區(qū)別？

生1：它們的周長都可以用（4+2）×2=12來計算。

生2：右邊的多連方就是在左邊長方形的基礎(chǔ)上去掉了角落的一個小正方形或者兩個小正方形。（其他學(xué)生若有所悟）

生3：左邊的長方形還可以去掉角落的3個小正方形。

生4：邊長是3的大正方形也可以去掉角落的小正方形，能畫出很多不同的多連方。

……

學(xué)生在交流互動中發(fā)現(xiàn)圖形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，把畫周長是12的多連方與平移線段周長不變這一認(rèn)知聯(lián)系起來，同化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3. 建立認(rèn)知階梯、構(gòu)建邏輯結(jié)構(gòu)

周長是12的多連方的教學(xué)，其核心目標(biāo)是“形成解決問題的思路，掌握有序畫圖的方法，提升數(shù)學(xué)能力”。達(dá)成這個目標(biāo)的難度很大，一方面，“畫周長是12的多連方”對學(xué)生的推理能力和空間想象能力的要求很高;另一方面，學(xué)生要找到最優(yōu)的方式才能有序地把符合要求的圖形畫出來。為了突破這一難點(diǎn)，筆者分層次階梯式設(shè)計教學(xué)過程。

層次一：呈現(xiàn)利用“數(shù)或湊”的方法解答的學(xué)生作品，引發(fā)學(xué)生思考：怎樣驗(yàn)證這些同學(xué)的作品是否符合要求？

層次二：呈現(xiàn)利用周長公式結(jié)合“數(shù)和算”解答的學(xué)生作品。

①你能讀懂這些同學(xué)的想法并用自己的方式加以介紹嗎？

②怎樣作圖才能做到有序、不重復(fù)、不遺漏？

層次三：呈現(xiàn)利用在基礎(chǔ)圖形上進(jìn)行變換的方式進(jìn)行解答的學(xué)生作品。

①這些多連方的周長與正方形的個數(shù)、公共邊的數(shù)量有什么關(guān)系？

②你能用一個簡潔的公式概括它們之間的關(guān)系嗎？（多連方周長=正方形個數(shù)×4-公共邊數(shù)量×2）

在上述教學(xué)片段中，每個環(huán)節(jié)的目標(biāo)定位是清晰、獨(dú)立的。用“數(shù)或湊”的方法解答是畫圖的基本方法，簡單但無序;利用周長公式結(jié)合“數(shù)與算”解答，感受“分組”策略，優(yōu)化作圖方法;利用在基礎(chǔ)圖形上進(jìn)行變換的方式進(jìn)行解答，建立數(shù)學(xué)模型，鞏固邏輯推理。這種“分層教學(xué)”非常有效地將教學(xué)難點(diǎn)拆分成了一個個的“點(diǎn)”，建立認(rèn)知階梯，構(gòu)建知識的邏輯結(jié)構(gòu)。

總之，數(shù)學(xué)能力的提升是小學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)施的重要目標(biāo)。能力的提升是一個緩慢的過程，需要學(xué)生“悟”出其中的道理和思考方法。這種“悟”大多在數(shù)學(xué)活動中得以進(jìn)行。通過對“畫周長是12的多連方”的研究，了解學(xué)生數(shù)學(xué)能力的現(xiàn)狀和發(fā)展的可能性。教學(xué)實(shí)踐中巧妙借助認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，充分利用幾何的直觀性，組織學(xué)生討論交流，碰撞出思維的火花，使學(xué)生不斷同化、順應(yīng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)能力。