基于數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維審視高考物理試題

楊培軍　王偉民

摘 要：高考評(píng)價(jià)注重能力考查，掌握科學(xué)的思維方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維的突出特征是思維上融合貫通.以2021年全國(guó)物理高考試題為例，分基礎(chǔ)型和發(fā)展型兩類，從數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維角度剖析問(wèn)題，提出合理化的建議.

關(guān)鍵詞：思維方法;數(shù)理結(jié)合;跨學(xué)科思維;高考試題

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1008-4134（2021）23-0047-04

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》明確指出：高考考查的素質(zhì)教育目標(biāo)凝煉為“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”的“四層”考查內(nèi)容.其中“學(xué)科素養(yǎng)”承接核心價(jià)值的方向引領(lǐng)，統(tǒng)攝關(guān)鍵能力與必備知識(shí);“關(guān)鍵能力”是支撐和體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)要求的能力表征[1].學(xué)科素養(yǎng)包括“學(xué)習(xí)掌握、實(shí)踐探索、思維方法”三個(gè)一級(jí)指標(biāo)，其中“思維方法”是指學(xué)習(xí)者在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境時(shí)，進(jìn)行獨(dú)立思考和探索創(chuàng)新的內(nèi)在認(rèn)知品質(zhì).“思維方法”是思維品質(zhì)、方式和能力的綜合，是個(gè)體高質(zhì)量地解決生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問(wèn)題的基礎(chǔ).思維方法包含三個(gè)二級(jí)指標(biāo)：科學(xué)思維、人文思維、創(chuàng)新思維[1].科學(xué)思維的指標(biāo)表現(xiàn)是采用嚴(yán)謹(jǐn)求真的、實(shí)證的邏輯思維方式應(yīng)對(duì)各種問(wèn)題.能夠根據(jù)對(duì)問(wèn)題情境的分析，運(yùn)用實(shí)證數(shù)據(jù)分析事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系.以抽象的概念反映客觀事物的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系.運(yùn)用抽象與聯(lián)想、歸納與概括、推演與計(jì)算、模型與建模等思維方法來(lái)組織、調(diào)動(dòng)相關(guān)的知識(shí)與能力，解決生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問(wèn)題[1].隨著高考評(píng)價(jià)與教育育人目標(biāo)的有機(jī)聯(lián)通，需要我們運(yùn)用融合的科學(xué)思維方式去面對(duì)，運(yùn)用好類似數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維是值得深入研究、探索的話題.

1 數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維的認(rèn)識(shí)

數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維是指在物理與數(shù)學(xué)中不囿于學(xué)科邊界，重視學(xué)科內(nèi)部、外部的知識(shí)交叉、融合，通過(guò)跨界去整合知識(shí)，從而解決問(wèn)題的思維方式，它的突出特征是思維上的融會(huì)貫通[2].

對(duì)于物理學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，楊振寧先生曾用長(zhǎng)在一棵根莖上的“雙葉”加以形容.一片葉子是物理學(xué)，另一片葉子是數(shù)學(xué)，兩者生長(zhǎng)在同一根莖上，這充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的同源關(guān)系.不論物理知識(shí)在學(xué)習(xí)建構(gòu)過(guò)程中，還是物理知識(shí)運(yùn)用過(guò)程中，數(shù)學(xué)和方法論問(wèn)題都起到重要的紐帶作用[3].由于數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的廣泛性、普適性以及數(shù)學(xué)理性思維的不可替代性，無(wú)論是人文社科領(lǐng)域，還是自然科學(xué)領(lǐng)域，與數(shù)學(xué)的交叉與融合都具有普遍性.總之，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維是非常必要的.由于學(xué)科教學(xué)的分立，教師教學(xué)中過(guò)于習(xí)慣固守學(xué)科邊界，很難主動(dòng)進(jìn)行學(xué)科間知識(shí)的融通，造成了思維的局限性.在物理教學(xué)過(guò)程中，老師要主動(dòng)示范，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法去分析物理概念、規(guī)律及物理公式和圖像的物理結(jié)論，既考慮定性分析，又重視定量計(jì)算.真正利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維讓知識(shí)之間有了聯(lián)系，便于遷移，讓知識(shí)鮮活、流動(dòng)起來(lái)，從而使師生既看見(jiàn)“樹(shù)木”，又看到“森林”.

2 利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維分析案例

近幾年高考物理重視學(xué)生綜合素質(zhì)的考查，試題突出知識(shí)間的聯(lián)系和學(xué)科間的融合，以社會(huì)生活、生產(chǎn)和科學(xué)創(chuàng)新的情境為依托，考查學(xué)生能否綜合運(yùn)用學(xué)科知識(shí)和多種思維方法，從不同角度思考、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題.由于物理與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系，高考試題的變化倒逼我們加強(qiáng)數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)用跨學(xué)科思維方法去分析、解決物理問(wèn)題，更好地達(dá)成知識(shí)間、能力間的融會(huì)貫通.根據(jù)數(shù)理結(jié)合的復(fù)雜程度，把相關(guān)高考試題分為基礎(chǔ)型和發(fā)展型，下面結(jié)合2021年全國(guó)高考物理（乙卷）試題作案例分析.

2.1 基礎(chǔ)型

例題1 （2021年全國(guó)物理高考乙卷 20題）四個(gè)帶電粒子的電荷量和質(zhì)量分別為（+q，m）、（+q，2m）、（+q，3m）、（-q，m）.它們先后以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸正方向射入一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)方向與y軸平行，不計(jì)重力，下列描繪這四個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圖像中（如圖1），可能正確的是分析：該題以不同荷質(zhì)比的帶電粒子在同一電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)為情境設(shè)置問(wèn)題，主要考查學(xué)生根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定不同帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖形形狀的判斷能力.在x軸上粒子的運(yùn)動(dòng)位移為x=v0t;在y軸上，粒子運(yùn)動(dòng)的加速度和位移分別為a=qEm和y=12at2，所以，帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為y=qE2mv20x2.由粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡方程可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀與荷質(zhì)比qm的大小有關(guān).此題需要建構(gòu)所學(xué)拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，利用數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖像特點(diǎn)去進(jìn)行分析、判斷.學(xué)生如果缺乏建立軌跡方程的意識(shí)，沒(méi)有跨學(xué)科思維的習(xí)慣，就難以形成解決問(wèn)題的方法和路徑.這類題目在歷屆高考中也曾反復(fù)出現(xiàn)過(guò).

評(píng)析：此類高考試題的解答，多從具體物理問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)知識(shí)的梳理需要延伸到利用數(shù)學(xué)工具去解決.教師在教學(xué)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)理結(jié)合的角度，運(yùn)用聯(lián)想、類比、遷移、逆向思維等方法去處理物理問(wèn)題，尤其注重挖掘并發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)元素，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維方式去解決相關(guān)的物理問(wèn)題.

2.2 發(fā)展型

例題2 （2021全國(guó)高考物理乙卷 34題（2））用插針?lè)y(cè)量上、下表面平行的玻璃磚的折射率.實(shí)驗(yàn)中用A、B兩個(gè)大頭針確定入射光路，C、D兩個(gè)大頭針確定出射光路.O和O′分別是入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，如圖2（a）所示.測(cè)得玻璃磚厚度為h=15.0mm;A到過(guò)O點(diǎn)的法線OM的距離AM=10.0mm，M到玻璃磚的距離MO=20.0mm，O′到OM的距離為s=5.0mm.

（?。┣蟛ＡТu的折射率;

（ⅱ）用另外一塊材料相同，但上下表面不平行的玻璃磚繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，玻璃磚的截面如圖2（b）所示.光從上表面入射，入射角從0°逐漸增大，達(dá)到45°時(shí)，玻璃磚下表面的出射光線恰好消失.求此玻璃磚上下表面的夾角.

分析：插針?lè)ㄊ且环N測(cè)量結(jié)果相對(duì)比較精確，而操作過(guò)程又非常簡(jiǎn)單的測(cè)量透明物質(zhì)折射率的實(shí)驗(yàn)方法.例題2是2021全國(guó)高考物理乙卷選考題最后一題（34題）的第（2）小題，以插針?lè)y(cè)量玻璃折射率為背景設(shè)置的題目.通過(guò)考生對(duì)該題目的解答，可以考查學(xué)生對(duì)折射率的含義、全反射的條件等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜物理問(wèn)題的能力.

第一問(wèn)，利用題目給出的相關(guān)線段的長(zhǎng)度作為條件，在圖2（a）Rt△OAM和Rt△OO′N中可以分別求出∠AOM和∠OO′N的正弦值，再根據(jù)折射率的定義即可確定組成玻璃磚材料的折射率為2.應(yīng)該說(shuō)，題目的第一個(gè)小問(wèn)題屬于基礎(chǔ)性問(wèn)題，只要學(xué)生掌握折射率的定義，利用題目條件容易確定問(wèn)題的答案.相比于第一個(gè)問(wèn)題，第二個(gè)小問(wèn)題的難度要高一些，不僅要求學(xué)生掌握全反射的條件，而且還要有較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.根據(jù)題目條件，在圖中作出相關(guān)輔助線之后（如圖3）——

可以看出，本題目的兩個(gè)小問(wèn)題，不僅考查的知識(shí)點(diǎn)全面，而且有明顯的難度梯度，具有區(qū)分考生能力高下的功能，這也是作為選拔性考試題目應(yīng)該具備的一個(gè)條件.

能夠發(fā)現(xiàn)，這道高考題目給出的幾個(gè)長(zhǎng)度數(shù)據(jù)條件比較“特殊”，利用三角函數(shù)經(jīng)過(guò)計(jì)算剛好使得相關(guān)的角度為特殊角（分別是15°、30°和45°這些特殊角），這肯定是編者精心設(shè)計(jì)的結(jié)果，目的是使考生便于根據(jù)題目給出的長(zhǎng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)角度的計(jì)算.我們從數(shù)理結(jié)合的視角去思考，如果該問(wèn)題給出線段的長(zhǎng)度數(shù)據(jù)是任意的，對(duì)應(yīng)的相關(guān)角度就可能不再是特殊角，那么，一般情形下這一物理問(wèn)題的求解，在數(shù)學(xué)關(guān)系上是否存在確定的規(guī)律？

2.3 擴(kuò)展條件 尋找規(guī)律

例題3 如圖4所示，玻璃磚的上下兩個(gè)側(cè)面PQ和RS不平行，讓一束光線按圖示方向以較小的入射角從空氣照射到玻璃磚上表面PQ上的確定點(diǎn)O，并逐漸增大入射角，發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射角增大到θ時(shí)，進(jìn)入玻璃中的折射光線OB射到玻璃下側(cè)面時(shí)剛好發(fā)生全反射，若玻璃的折射率為n，試求玻璃磚上下兩個(gè)側(cè)面PQ和RS夾角α的大小（可用反三角函數(shù)表示）.

分析：這道高考變式題目，是在原高考題目的基礎(chǔ)上更改一些條件之后，將原高考題目給出的特殊角下的物理問(wèn)題推廣到一般情形，各相關(guān)角度成了任意角，所以，這道變式題目的解決方法和對(duì)應(yīng)答案更具普遍意義.

該結(jié)果正是例題2給出條件下玻璃磚上下表面的夾角，這也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明我們推得的公式α=arcsin1n-arcsinsinθn的正確性.

與原高考題目給出的問(wèn)題相比，這一變式給出的一般情形下問(wèn)題的求解，能夠更好地利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維方式培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)推理能力.

2.4 開(kāi)拓思路 創(chuàng)編新題

例題4 如圖6所示，半球狀玻璃磚球心為O，底面水平放置，OM是垂直于底面的直線，玻璃的折射率為233，ON是過(guò)O點(diǎn)的另外一條直線，它與OM的夾角為α，在兩條直線確定的平面內(nèi)，光線AB以很小的入射角從空氣射向玻璃磚球面上的點(diǎn)B，保持入射點(diǎn)位置不變，逐漸增大入射角，當(dāng)角度增大到確定值θ時(shí)，折射入玻璃磚中的光線再射向底面時(shí)剛好發(fā)生全反射，已知C是A在直線OB上的正投影，AC=1，BC=2.

（1）求法線ON與直線OM夾角α的大小;

（2）如圖7所示，當(dāng)入射光線ED對(duì)應(yīng)法線OP與豎直線OM的夾角為=15°時(shí)，為使折射入玻璃中的光線再射向玻璃磚的底面時(shí)能夠發(fā)生全反射，入射角θ′的最小值為多大（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）？

解析：（1）圖6中過(guò)光線AB的入射點(diǎn)B作球面的切線，交底面于S，如圖8所示，則∠S=∠BOM=α，由已知條件可求得sinθ=33，則光線從B點(diǎn)由空氣入射時(shí)，相當(dāng)于光線從兩側(cè)面為平面且?jiàn)A角為α的玻璃磚的一個(gè)側(cè)面由空氣入射的情形，運(yùn)用例題2推導(dǎo)的公式可得

（2）圖7中，對(duì)入射光線ED而言，要使折射光線再射到玻璃磚的底面時(shí)發(fā)生全反射，必須滿足：

答：（1）法線ON與直線OM夾角α的大小30°;（2）為使折射入玻璃中的光線再射向玻璃磚的底面時(shí)能夠發(fā)生全反射，入射角θ′的最小值為θ′=arcsin63.

評(píng)析：上面給出的高考試題原題和對(duì)應(yīng)變式的解答，能夠利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維方式解決相關(guān)問(wèn)題，從例2到例3，體現(xiàn)了歸納推理的基本思想，從例3到例4，展現(xiàn)了演繹推理的思維方式，這些問(wèn)題的解決可以提升學(xué)生的科學(xué)推理能力.教師要有對(duì)此類高考題背后的數(shù)學(xué)規(guī)律挖掘的意識(shí)和行為，多帶領(lǐng)學(xué)生靈活使用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維去深化對(duì)物理規(guī)律的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考知識(shí)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)規(guī)律，提升學(xué)生深度分析問(wèn)題的能力[4].

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維立足于運(yùn)用物理知識(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)工具去解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，既要考慮物理?xiàng)l件的約束，又需注意數(shù)學(xué)處理時(shí)的邊界問(wèn)題，這對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求.建議教師在業(yè)余時(shí)間多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教材的相關(guān)內(nèi)容，經(jīng)常與數(shù)學(xué)教師溝通交流，找準(zhǔn)數(shù)理結(jié)合顯性和隱性的“鏈接點(diǎn)”.教師應(yīng)身體力行，言傳身教，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，尤其是習(xí)題課教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維解決相關(guān)的物理問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M].北京： 人民教育出版社，2020.

[2]黃翔，童莉，史寧中.談數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的跨學(xué)科思維[J].課程·教材·教法，2021，41（07）：106-111.

[3]邢紅軍.中學(xué)物理教學(xué)法[M].北京： 北京大學(xué)出版社，2020.

[4]楊培軍.追根溯源 瑕不掩瑜——2016年高考全國(guó)卷Ⅰ物理第35題賞析[J].物理教師，2017，38（01）：81-83.

（收稿日期：2021-09-03）

基金項(xiàng)目：安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目2020年度課題“新人教版高中物理單元教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：JK20040）;人民教育出版社課程教材所“十三五”課題“基于智慧課堂的新版高中物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：KC2020-007）.

作者簡(jiǎn)介：楊培軍（1970-），男，安徽阜陽(yáng)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，物理教研員，研究方向：課堂教學(xué);

王偉民（1964-），男，安徽阜陽(yáng)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：中學(xué)物理教學(xué).