有限溫度下基于NJL模型的GMOR關(guān)系研究

蔡文華, 王慶武

(四川大學(xué)物理學(xué)院, 成都 610065)

1 引 言

眾所周知,作為描述夸克—膠子相互作用的有效理論,量子色動力學(xué)(QCD)是粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型中相當(dāng)重要的一部分. QCD理論是研究自然界四大基本相互作用之一—強(qiáng)相互作用的理論. 而動力學(xué)手征對稱殘缺(DCSB)和夸克顏色禁閉是QCD的兩個基本特征. 研究QCD相圖的學(xué)者可能會對有限體積和非零夸克化學(xué)勢條件下的手征非禁閉相變感興趣. 因為通過這些研究,我們希望可以得到對自然和早期宇宙更加深刻的見解. 由于QCD復(fù)雜的非阿貝爾特征,人們現(xiàn)在很難對DCSB和夸克禁閉有一個全面的理解. 在QCD微擾領(lǐng)域中,即有大量動量傳遞的過程,由于其有效耦合常數(shù)很小,因此可以直接以微擾的方法去研究. 然而,在只有少量動量傳遞的過程,耦合常數(shù)變得很大并且開始波動. 在這些強(qiáng)耦合的非微擾領(lǐng)域,我們傾向于使用非微擾的有效理論來研究相關(guān)問題,例如格點QCD模型[1],DSE模型[2]等. 本文使用的NJL模型[3]便是研究非微擾問題比較成功的一個理論.

NIL模型作為一個成功的理論模型,被廣泛用于研究在QCD臨界點附近的保守電荷漲落. 在NJL模型中,夸克和膠子是基本的自由度,其所有的作用項都被簡化為了四體相互作用. 并且,它的拉格朗日方程是建立在自然界中已經(jīng)被觀測到QCD的基本對稱現(xiàn)象之上. 盡管在NJL模型中沒有夸克禁閉實現(xiàn)的機(jī)制,但它現(xiàn)在仍是研究非微擾QCD簡單有效的方法.文獻(xiàn)[4-7]介紹了NJL模型最新的一些應(yīng)用.

基于熱力學(xué)與統(tǒng)計物理的建立和大量實驗數(shù)據(jù)的積累,目前對一些宏觀物質(zhì)的相變研究已經(jīng)非常熟練[8],但對于核物質(zhì)的相變來講還處于摸索前進(jìn)狀態(tài). 這是由于對核物質(zhì)的認(rèn)識還有許多不確定的地方,其中就包括核物質(zhì)的QCD相結(jié)構(gòu)和其高溫非零重子化學(xué)勢下QCD相圖上相變點的存在性. 盡管對于一些保守量,例如重子、電荷量和奇異數(shù)等的起伏在相對論重子碰撞中能相對比較容易地被檢測到,但仍需構(gòu)建模型來對實驗獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋,并進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?

在零溫條件下,Gell-Mann-Oakes-Renner(GMOR)關(guān)系[9]在低階近似下嚴(yán)格成立. 由于夸克真空不能被直接觀測,它常被用來定義零溫下的夸克凝聚值. 但當(dāng)使用各種模型并將其推廣到有限溫條件下時,GMOR是否仍然成立并可被利用？如果不成立,又由什么原因引起？這些都是值得研究的問題. 本文內(nèi)容做如下安排:第二部分根據(jù)NJL模型和PTR方案推導(dǎo)出有限溫度下夸克有效質(zhì)量隨溫度變化的關(guān)系[10];第三部分會導(dǎo)出NJL模型下π介子衰變常數(shù)和π介子質(zhì)量隨溫度的變化, 從而研究GMOR關(guān)系在該方案下的成立曲線. 結(jié)論在第四部分.

2 NJL模型和PTR方案

由于本文使用NJL模型,故使用以下拉格朗日密度(本文的所有計算都將在歐式空間進(jìn)行,并且取味Nf=2,取色Nc=3).

LNJL=LO+LI=

(1)

盡管NJL模型的成功表明在某種程度上如此簡單的一個模型也能抓住QCD的某些關(guān)鍵要素,但是,由于該模型不涉及重整化,因此需要引入一些表征相互作用截斷的動量標(biāo)度來避免可能的紫外發(fā)散以及紅外發(fā)散. 下面的工作將把正時正規(guī)化(proper time regularization)方案的雙截斷版本(PTR-2)運(yùn)用于雙味NJL模型,并使用傳統(tǒng)的方法來修正參數(shù). PTR-2的關(guān)鍵方程為:

(2)

在方程(1)的平均場近似中,有效夸克質(zhì)量M通常能通過自洽能隙方程決定:

(3)

而該式中雙夸克凝聚被定義為:

(4)

其中G(p)為帶色夸克的傳播介質(zhì),它的跡與味、色和狄拉克空間有關(guān).根據(jù)洛倫茲結(jié)構(gòu)解析,在這種情況下溫度和化學(xué)勢都為0, 即T=μ=0,因此,G(p)應(yīng)為以下形式:

G-1(p)=ipA(p2)+B(p2)

(5)

其中,A(p2)和B(p2)是p2的標(biāo)量函數(shù). 易得兩式的解分別為A(p2)≡1和B(p2)≡M.代入PTR-2,推導(dǎo)得出:

(6)

把(6)代入能隙方程(3)

(7)

由(7)可以得到這個模型的4個參數(shù):裸夸克質(zhì)量m,耦合強(qiáng)度常數(shù)G,以及兩個截斷參量AUV和AIR. 因為AIR是為了模擬禁閉而被引入的,它的值應(yīng)該根據(jù)核子半徑的實驗值進(jìn)行修正. 本文采用AIR=235 MeV,以與半徑實驗數(shù)值0.84 fm相匹配[11].

(8)

將其代入能隙方程,得到M(T)

(9)

根據(jù)獲得的M(T)關(guān)系,可以對不同的T給出數(shù)值解. 圖1是根據(jù)表1所給出的3組參數(shù)而繪制的M(T)圖像.

表1 文中所用的3組參數(shù)

圖1 有效夸克質(zhì)量隨溫度的變化關(guān)系M(T)Fig.1 Effective quark mass M as a function of temperature T

從圖1可以看出,曲線很明顯地分為3段:低溫段(0～50 MeV)、中溫段(50～225 MeV)、高溫段(>225 MeV),其分別代表不同的相,這與用格點QCD模型和其他模型方案所得的結(jié)果相一致[12-13]. 在低溫段,夸克發(fā)生手征對稱自發(fā)破缺,夸克獲得有效質(zhì)量,但沒有發(fā)生相變;中溫段是從夸克凝聚手征自發(fā)破缺到手征恢復(fù)的過渡,發(fā)生熱核相變,有效質(zhì)量急劇減小;在高溫段,手征對稱性恢復(fù),相變完成,有效質(zhì)量不再變化,根據(jù)Nambu-Goldstone 理論,如果此時m=0,則夸克有效質(zhì)量M=0. 在非零化學(xué)勢下,可以在中溫段定義相變點(CEP),而在實驗中如何找到這個點成為如今高能物理實驗中十分重要的一個課題.

3 GMOR關(guān)系

在NJL模型中,π介子衰變常數(shù)可以通過真空到單π和軸向矢量電流矩陣元的Feynman圖導(dǎo)出,如圖2所示.

圖2 真空到單π躍遷和軸向矢量流矩陣元的Feynman圖Fig.2 Vacuum to one-pion and axial-vector current matrix element, as a Feynman diagram

對圖2中的過程使用獨(dú)立正則化方案,可以推出:

(10)

很多有效模型可以計算介子質(zhì)量,比如手征夸克模型,Dyson-Schwinger 方法[14]以及弦模型[15]等. 在NJL模型,計算π介子質(zhì)量有以下方程

(11)

其中

(12)

接下來討論在該方案下的GMOR關(guān)系隨溫度的變化. 1968年,Gell-Mann, Oakes和Renner根據(jù)獨(dú)立正則化方案的流代數(shù)結(jié)果導(dǎo)出關(guān)系式:

(13)

該等式的低階近似在零溫條件下成立,根據(jù)在NJL模型中運(yùn)用正時正則化方案可以導(dǎo)出,在有限溫下,該關(guān)系式各項都是T的函數(shù). 對該關(guān)系式進(jìn)行合理變形:

(14)

為了消除絕對誤差對研究上帶來的不便,根據(jù)百分偏差的定義,令:

(15)

為了方便對比,將M(T)進(jìn)行歸一化處理,定義相對有效夸克質(zhì)量M1(T)

M1(T)=M(T)/M(T=0)

(16)

依據(jù)以上的推導(dǎo)及結(jié)果作出B(T)和M1(T)圖像,見圖3. 其中圖像上部為3組M1(T)的關(guān)系,圖像下部為3組B(T)的關(guān)系.

圖3 GMOR關(guān)系式的百分偏差B和相對有效夸克質(zhì)量M1隨溫度T的變化關(guān)系Fig.3 The percentage deviation of GMOR relation B and the relative effective quark mass M1 as a function of temperature T

對于GMOR關(guān)系式,低溫條件下,在誤差允許范圍內(nèi),等式成立,但隨著溫度升高,在大于某一個閾值(50 MeV附近)時,曲線向上彎曲,說明此時凝聚值相對介子和衰變常數(shù)值乘積降低,等式不再成立. 通過對比B(T)和M1(T),可以看出,B(T)和M1(T)開始出現(xiàn)變化的起始溫度幾乎相同,說明GMOR等式的失效與凝聚變化有關(guān),即與手征破缺恢復(fù)有關(guān).

4 結(jié) 論

本文基于雙味NJL模型,采用了正時正規(guī)化方案(PTR),推導(dǎo)了有限溫下夸克凝聚隨溫度的變化,以及夸克凝聚時夸克質(zhì)量隨溫度的變化,并研究了GMOR關(guān)系式在此條件下隨溫度變化的成立情況. 結(jié)果表明,在零溫附近,GMOR等式在誤差允許范圍內(nèi)成立,但隨著溫度的升高,超過某一界限(50 MeV附近)后,等式不再成立,且等式兩邊的偏差值越來越大.這是因為我們將關(guān)系式中涉及的有效耦合強(qiáng)度G視為常量,但更加深入的研究表明,我們似乎沒有足夠的證據(jù)這么做. 因此有足夠的理由懷疑,在有限溫條件下繼續(xù)把有效耦合強(qiáng)度G視為常數(shù)并不合理,但至于G與什么因素有關(guān)且關(guān)系如何,還需要進(jìn)一步研究和討論.一些學(xué)者的最新研究表示G可能與溫度有關(guān),并試圖探究兩者之間的關(guān)系. 另外,在有限溫有限密下可能存在多解,即南部解和維格納解共存. 本文研究的只是南部解. 研究多解情況下GMOR關(guān)系的成立情況,也非常有意義,這對在高能實驗中尋找相變點具有重要的指導(dǎo)作用.