全空間中具時間依賴參數(shù)的p-Laplacian方程的拉回吸引子

王 怡， 馬巧珍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 蘭州 730070 )

1 引 言

文獻[1]考慮了單項滲透問題.假設(shè)有一種可壓縮流體在均勻、各向同性的剛性多孔介質(zhì)中流動.根據(jù)質(zhì)量守恒定律有

(1)

其中正常數(shù)θ為介質(zhì)的孔隙率，u為流體的滲透速度.在非牛頓多方氣體流中，上式中的氣體動量密度

(2)

而壓力和密度滿足狀態(tài)方程

P=cuγ

(3)

其中λ與視粘度μ有關(guān)，μ不僅取決于切變率而且取決于施加切變率的時間,α>0 是物理常數(shù)，c和γ是正常數(shù). 結(jié)合以上方程，我們可以得到

ut-div(ε(t)|u|p-2u)+f(x,u)=g(x)

(4)

在帶參變量t的賦范空間中時間依賴全局吸引子和拉回吸引子的存在性.

本文考慮外力項也依賴于時間t的p-Laplacian方程

(5)

其中p>2,f(x,u)=a(x)f1(u)滿足假設(shè)：

f1(0)=0,α|u|p-β|u|2≤f1(u)u≤

γ|u|p+δ|u|2

(6)

f1′(u)≥c1

(7)

a(·)∈L1(Rn)∩L(Rn),a(x)>0,

?x∈Rn,

(8)

這里α，β，γ，δ為正常數(shù)，α>β與文獻[2-3]相同.

設(shè)ε(·)∈C1(R)是單調(diào)遞減函數(shù)并滿足

(9)

且存在L>0,使得

(10)

(11)

其中σ>0為恰當(dāng)?shù)某?shù). 當(dāng)ε(t)為常數(shù)時，方程(5)的全局吸引子和一致吸引子的存在性已有研究[4-6].文獻[7]研究了參數(shù)為Dλ的p-Laplacian方程拉回吸引子的存在性和上半連續(xù)性，其中Dλ(t)∈L([τ,t]×Ω),在[τ，t]×Ω上，0<β≤Dλ(t,x)≤M幾乎處處成立.對每個λ∈[0,],?x∈Ω,s,t∈[τ,T],有

|Dλ(sx)-Dλ(tx)|≤Cλ|s-t|θ λ,

且在L([τ，t]×Ω)上當(dāng)λ→λ1時，Dλ→Dλ1.最近，文獻[8-9]分別得到了plate方程強拉回吸引子的存在性和帶有非線性阻尼的非線性彈性桿振動方程時間依賴吸引子的存在性.

在無界域上研究p-Laplacian方程所對應(yīng)的無窮維動力系統(tǒng)吸引子的存在性時，Sobolev嵌入沒有緊性是一個本質(zhì)的困難.為克服這一困難，我們利用了文獻[10]中提出的尾部估計方法.本研究是文獻[11]的推廣.

2 預(yù)備知識

設(shè)X是完備的距離空間.對t∈R,令Xt是一族依賴于時間的賦范空間.稱雙參數(shù)算子族{U(t,τ)}t≥τ是一過程，若它滿足

(i)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ),?t≥r≥τ;

(ii)U(τ,τ)是Xτ上的恒同映射，?τ∈R;

(iii)U(t,τ):X→X連續(xù)，t≥τ≥R.

如果對每一個有界集D?X上式都成立，則稱K在t時刻拉回吸引有界集.

(i) 對于任意t∈R,A(t)是X中的緊集；

(ii) 對過程U(t,τ)而言，A(t)具有不變性，即

U(t,τ)A(τ)=A(t),?-<τ≤t<+,

A(t)拉回吸引空間X中任意有界集D，即對任意的t∈R,有

其中dist(A,B)表示集合A和B的Hausdorff半距離.

則A(t)?C(t).

3 主要結(jié)果

記L2(Rn)中的內(nèi)積為〈·，·〉，范數(shù)為‖·‖.由ε(t)的假設(shè)可知，對固定的t,τ∈R,空間Xt與Xτ，Yt與Yτ的范數(shù)等價，且當(dāng)t→+時，等價常數(shù)爆破，見文獻[12].由標(biāo)準的Galerkin方法，以下定理成立.

定理3.1假設(shè)f,ε,g滿足(6)～(11)式.則對任意的τ∈R，初值uτ∈L2(Rn)和任意的t≥τ,方程(5)存在唯一解u∈C([τ,t];L2(Rn)),且映射uτ→u(t,τ,uτ)在L2(Rn)中連續(xù).

由上面的定理可知，在Xt中可以定義連續(xù)過程

U(t,τ):U(t,τ)u(τ)=u(t)

(12)

其中u(t)是問題(5)的解.現(xiàn)在給出本文的主要結(jié)果：

為了證明定理3.2，首先證明下面幾個引理.

引理3.3假設(shè)f,ε,g滿足(6)～(11)式，則有

其中Q是不依賴與t,τ的正常數(shù)，

證明 證明過程類似于文獻[3]中的證明,只是外力項的估計不同.用ε(t)u與(5)式在L2(Rn)中做內(nèi)積，可得

〈g(x,t),ε(t)u〉

(13)

由于f(x,u)=a(x)f1(u)，應(yīng)用(6)式可得

〈a(x)f1(u),u〉≤

δ‖a‖L(Rn)‖u‖2

(14)

由g的假設(shè)及Cauchy不等式，有

2〈g(x,t),ε(t)u〉≤

(15)

其中ν為充分小的正常數(shù).由(13)～(15)式并結(jié)合ε′(t)<0得

(16)

注意p>2,故

(17)

由于a(x)>0，故存在正常數(shù)α0，使得a(x)≥α0>0,?x∈Rn.由(17)式和a(x)的假設(shè)及嵌入定理得到

Qε(t)‖u‖2

(18)

這里Q為不依賴于t,x的正常數(shù).將(18)式代入(16)式可得

(19)

上式兩端同乘eQ s有

(20)

對(20)式關(guān)于s在[τ，t]上積分得

ε(t)‖u(t)‖2≤e-Q(t-τ)ε(τ)‖u(τ)‖2+

(21)

這里C1是不依賴于t,x的正常數(shù).結(jié)合(11)式得到Rt<,且這樣，由引理3.3可知，(12)式定義的過程U(t,τ)擁有一個有界的拉回吸收集{Bt}t∈R,其中

注1引理3.1的證明過程結(jié)合(16)式可得

(22)

PLe-Q τ‖g(s)‖2ds.

證明 用ε(t)ut與(9)式在L2(Rn)中做內(nèi)積可得

-〈f(x,u),ε(t)ut〉+

(23)

由(7)式及H?lder不等式得

將上式代入(23)式得

(24)

上式兩端同乘eQ s，結(jié)合ε′(t)<0和(22)式得

(25)

由一致Gronwall引理得

(26)

即

‖g(s)‖2ds

(27)

從而由(10)式可得

(28)

結(jié)合(11)式和引理3.3得到

(29)

證畢.

引理3.5對任意的σ>0，當(dāng)初值uτ∈Bτ時存在正常數(shù)k和T>0,使得

(30)

證明 選擇合適的光滑函數(shù)θ，使得對任意的s≥0有0≤θ(s)≤1.具體地，當(dāng)0≤θ(s)≤1時有θ(s)=0；當(dāng)s≥2時有θ(s)=1，且存在一正常數(shù)C，使得|θ′(s)|≤C.

(31)

應(yīng)用ε(t)單調(diào)遞減的假設(shè)及Cauchy不等式，忽略(31)式左邊第二項可得

〈-div(ε(t)|u|p-2

(32)

注意到

(33)

(34)

由(6)式得

(35)

將(33)～(35)式代入(32)式可得

(36)

注意到p>2,故

(37)

這里C是不依賴于t,u的常數(shù).由(37)式和a(x)的假設(shè)可知存在正常數(shù)λ和k0使得當(dāng)k>k0時有

(38)

將(38)式代入到(36)式得

(39)

故

(40)

上式兩邊關(guān)于r在[τ，t]上積分可得

(41)

下面我們對(41)式的右邊兩項進行估計.由于uτ∈Bτ，則當(dāng)τ→-時，對任意固定的t∈R有

(42)

由Lebesgue積分的性質(zhì)，存在k1(t,σ)使得第二項滿足

(43)

注意到

(44)

則存在k2>k使得

(45)

定理3.2的證明 由引理3.3可知u(t,τ)于Xt上存在有界的拉回吸收集{Bt}t∈R.由引理3.4和引理3.5可知u(t,τ)在Xt上是漸進緊的.應(yīng)用定理2.5和定理3.1，定理3.2得證.