基于波動(dòng)法的雙層板振動(dòng)功率流分析

楊培凱，陳美霞*，陳樂佳

1 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

2 中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064

0 引 言

耦合雙層板結(jié)構(gòu)常見于船體結(jié)構(gòu)中，例如船底板、艙壁等，其彎曲振動(dòng)和面內(nèi)振動(dòng)及輻射噪聲與艦船的安全性和適用性密切相關(guān)。因此，研究雙層板結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流有助于艦船減振降噪設(shè)計(jì)。

目前，國(guó)內(nèi)外基于波動(dòng)法的耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流相關(guān)研究多為L(zhǎng) 型板，而對(duì)雙層板結(jié)構(gòu)的功率流分析卻不多見。 例如：Kessissoglou［1］運(yùn)用波動(dòng)法研究了L 型板的振動(dòng)與功率流特性，結(jié)果表明，面內(nèi)波在低頻段對(duì)功率流的影響不大，但在高頻段作用顯著；Cuschieri 等［2-4］分析了薄板和厚板情況下的L 型板功率流，發(fā)現(xiàn)薄板的面內(nèi)波在彎曲波波數(shù)與板厚的乘積小于0.1 時(shí)的作用可以忽略不計(jì)，大于1 時(shí)影響較大；Zhang 等［5］討論了雙層耦合板和“口”字型耦合板的振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)面內(nèi)平均振幅遠(yuǎn)低于彎曲振動(dòng)，僅在共振峰處的面內(nèi)波幅值與彎曲波幅值接近；朱瑞儀［6］基于波動(dòng)理論將板結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為梁的方法，分析了多轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)和雙層板結(jié)構(gòu)的功率流及其振動(dòng)衰減特性；趙芝梅等［7］基于波導(dǎo)方法討論了激勵(lì)特性對(duì)L 型板振動(dòng)功率流的影響，重點(diǎn)分析了激勵(lì)力角度和力矩混合等激勵(lì)特性對(duì)面內(nèi)波的影響；漆瓊芳等［8-9］采用波動(dòng)法研究了有限尺寸耦合板的振動(dòng)功率流與板的激勵(lì)力角度及連接角度的關(guān)系，結(jié)果表明，較低頻率時(shí)的彎曲波功率流遠(yuǎn)大于面內(nèi)波功率，而高頻時(shí)二者相當(dāng)；姚熊亮等［10］基于波動(dòng)理論分析了典型船舶中振動(dòng)波的傳遞特性，結(jié)果表明突變截面使阻抗失配，由此加劇了振動(dòng)波的轉(zhuǎn)換，使隔振效果得到改善；趙建學(xué)等［11］采用平均法導(dǎo)出了系統(tǒng)功率流傳遞率，發(fā)現(xiàn)雙層隔振系統(tǒng)有比等效線性隔振系統(tǒng)更好的低頻隔振性能。

鑒于目前使用波動(dòng)法分析耦合板功率流的研究成果較多，而對(duì)于雙層板結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究則較為少見，本文將基于薄板理論采用波動(dòng)法建立有限尺寸雙層板的振動(dòng)模型，在結(jié)構(gòu)耦合處斷開，離散后將每塊板的運(yùn)動(dòng)方程組裝，求解得到振動(dòng)響應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算彎曲振動(dòng)功率流和面內(nèi)振動(dòng)功率流，并分析激勵(lì)力角度、連接件角度和厚度對(duì)振動(dòng)功率流的影響，以為雙層板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。

1 理論推導(dǎo)

1.1 雙層板運(yùn)動(dòng)方程

本文研究的耦合雙層板結(jié)構(gòu)由上、下2 層矩形薄板和中間連接板組成，并將雙層板模型在激勵(lì)力處及結(jié)構(gòu)連接處斷開后離散為6 個(gè)區(qū)域，記為板1～板6，圖1 示出了6 個(gè)板各自的局部坐標(biāo)方向和內(nèi)力方向。圖中：ui，vi，wi分別對(duì)應(yīng)第i塊板在xi，yi，zi方向的振動(dòng)位移；θi=?wi/?xi，為轉(zhuǎn)角；Vxxi，Mxxi，Nxxi和Nxyi分別為第i塊板橫截面上等效的法向純剪力、彎矩、面內(nèi)縱向力和面內(nèi)剪切力，內(nèi)力表達(dá)式見文獻(xiàn)［1］；簡(jiǎn)諧激勵(lì)力F(x0，y0)與x軸夾角記為α（以下稱激勵(lì)角），板2與板4 的夾角記為β（以下稱連接角）；板寬為L(zhǎng)y，板1～板6 在y=0 和y=Ly處均為簡(jiǎn)支邊界，板1 和板5 的左端及板3 和板6 的右端均為自由邊界。

由Poisson-Kirchhoff 薄板假設(shè)［1］，不考慮剪切變形情況下薄板的振動(dòng)微分方程為

式中：D=Eh3[12(1-μ2)]，為板的彎曲剛度，其中E，h，μ分別為楊氏模量、薄板的板厚、泊松比；4=?4/?x4+2?4/?x2?y2+?4/?y4，為 算 子；ρ為 薄板的密度；cl，ct分別為縱波和剪切波波速；Fx，F(xiàn)y和Fz分別為激勵(lì)力在對(duì)應(yīng)方向上的分量；t 為時(shí)間。

圖1 雙層板位移和內(nèi)力示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-layer plate displacement and internal force

如圖1 所示，離散后的雙層板的6 個(gè)區(qū)域記為板1～板6，Lxi為各板沿局部坐標(biāo)x軸方向的板長(zhǎng)，i=1，2，3，4，5，6。由于板在y=0 和y=Ly處均為簡(jiǎn)支邊界，故6 個(gè)區(qū)域內(nèi)的振動(dòng)位移響應(yīng)（省略時(shí)間項(xiàng)）如式（2）所示。

式中：設(shè)Wi，m(xi)=Aiekxi，為第i 塊板上面外方向的位移通解形式，其中，下標(biāo)m 為模階數(shù)，Ai為位移函數(shù)中的待定系數(shù)，回代到振動(dòng)式（1）中可得模態(tài)波數(shù)k的4 個(gè)根；ky為板結(jié)構(gòu)沿y方向的模態(tài)波數(shù)，ky=mπ/Ly，從而得到Wi，m(xi)的表達(dá)式。采用同樣的方法，可得2 個(gè)面內(nèi)方向的位移Ui，m(xi)和Vi，m(xi)的表達(dá)式，如式（3）所示。

1.2 邊界條件和連續(xù)性條件

由1.1 節(jié)的推導(dǎo)可知，雙層板離散后，板1～板6 共含48 個(gè)位移系數(shù)待求解。本文取雙層板中的板1～板4 作為邊界條件及連續(xù)性條件進(jìn)行分析。

在x1=0 和x3=Lx1+Lx2+Lx3處為自由邊界時(shí)，截面上的剪力、彎矩、面內(nèi)縱向力和面內(nèi)剪切力均為0，由向量表示如下：

在截面x1=x2=x0的位移和內(nèi)力連續(xù)條件為：

板2，板3 與 板4 連 接 處x2=x3=Lx1+Lx2，x4=0 位移和內(nèi)力連續(xù)條件為：

雙層板板1，板2，板3 及板4 通過邊界條件和連續(xù)條件可以得到式（4）～式（9）共28 個(gè)方程，板4，板5 和板6 采用同樣方法也可列出其他剩余的20 個(gè)方程，這里不再贅述。

1.3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力

如圖2 所示，在板1，板2 連接線上的點(diǎn)(x0，y0)處，狄拉克函數(shù)δ表示的作用集中力F=F0δ(x-x0)δ(y-y0)（其中F0為振動(dòng)幅值）時(shí)，可將其沿x，y，z 方向分解。本文重點(diǎn)討論振動(dòng)波沿x 方向的傳遞，即激勵(lì)力垂直于y 軸，則α為激勵(lì)力與x 軸的夾角，此時(shí)各方向的激勵(lì)力分量為

此時(shí)，需對(duì)1.2 節(jié)的內(nèi)力連續(xù)方程式（7）中的剪力和面內(nèi)縱向力這2 項(xiàng)進(jìn)行修正，則有

由修正后的激勵(lì)力作用截面處的連續(xù)方程，結(jié)合1.2 節(jié)中板1～板6 的邊界條件和連續(xù)條件，對(duì)所有板的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行組裝，得到雙層板的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：A為48×48 的系數(shù)矩陣；向量X由各板位移函數(shù)中的48 個(gè)待定系數(shù)組成；F為作用力向量，并且僅有2 項(xiàng)不為0，即修正后的式（13）等號(hào)右側(cè)2 項(xiàng)，再由X=A-1F可求解得到6 塊板的48個(gè)未知系數(shù)，最后代入式（2）和式（3），可得各個(gè)板在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的振動(dòng)響應(yīng)。

圖2 平板上的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力Fig.2 Simple harmonic excitation on the plate

1.4 振動(dòng)功率流

1.3 節(jié)得到振動(dòng)位移響應(yīng)后，可由式（15）求得彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流。

式中：Pb為彎曲波功率流；Pin為面內(nèi)波功率流；Re 為取實(shí)部。

彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流二者相加為總功率流，記第i塊板在ω1～ω2頻帶內(nèi)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)功率流平均值Pi為

式中，Qxxi，Mxxi，Mxyi，Nxxi，Nxyi分別為第i 塊板橫截面上的剪應(yīng)力、彎矩、扭矩、面內(nèi)縱向力和面內(nèi)剪切力，內(nèi)力表達(dá)式參見文獻(xiàn)［1］。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

2.1 收斂性與有效性分析

應(yīng)用模態(tài)疊加原理，需要足夠大的模態(tài)截?cái)鄶?shù)才可以保證收斂性。本文將有限元計(jì)算結(jié)果與解析法結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，以驗(yàn)證結(jié)果的有效性。表1 所示為雙層板尺寸及材料參數(shù)。

表1 物理參數(shù)及材料參數(shù)Table 1 Physical and material parameters

激勵(lì)作用在板1 上的力位于點(diǎn)(x0，y0)=( 0.15，0.15) 處，振動(dòng)幅值F0=1，如圖1 所示。計(jì)算頻段為1～5 kHz，分別取模態(tài)截?cái)鄶?shù)M=6，10 和14，得到激勵(lì)點(diǎn)(x0，y0)=( 0.15，0.15) 在各截?cái)鄶?shù)下的橫向位移w頻響曲線，如圖3（a）所示。數(shù)值算法則采用有限元軟件ANSYS 求解，采用shell 63殼單元建模，共劃分18 萬個(gè)網(wǎng)格，取測(cè)點(diǎn)1 為板1上 的(x0，y0)=( 0.15，0.15) 處，測(cè) 點(diǎn)2 為 板6 上 的(x6，y6)=( 0.15，0.15 )處，然后與本文采用波動(dòng)法，得到的橫向位移振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖3（b）和圖3（c）所示。

由圖3（a）可見，在0～5 000 Hz 的計(jì)算頻段內(nèi)，模態(tài)截?cái)鄶?shù)M 為10 和14 時(shí)的橫向位移頻響曲線計(jì)算結(jié)果已基本重合，取截?cái)鄶?shù)M=14 已足以保證結(jié)果得到收斂。

由圖3（b）和圖3（c）可見，本文方法與有限元方法得到的橫向位移振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果基本吻合，這驗(yàn)證了本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。后續(xù)計(jì)算中，位移函數(shù)的截?cái)鄶?shù)M 均取為15。

圖3 橫向位移響應(yīng)波動(dòng)法收斂性和有效性分析（基準(zhǔn)位移10-12 m）Fig.3 Transverse displacement analysis of the convergence and effectiveness by wave method（ref.value 10-12 m）

2.2 不同角度激勵(lì)下的振動(dòng)功率流

本節(jié)采用了2.1 節(jié)相同的雙層板模型參數(shù)。分析時(shí)，分別取激勵(lì)角α=30°，60°，90°。設(shè)板2上x2=0.18 m 為激勵(lì)板觀測(cè)面，板6 上x6=0.48 m為接收板觀測(cè)面，然后計(jì)算并分析上述2 個(gè)觀測(cè)面處低頻段和高頻段下激勵(lì)板及接收板的彎曲振動(dòng)以及面內(nèi)振動(dòng)功率流，結(jié)果如圖4～圖7 所示。圖中，平直虛線所示為α=90°時(shí)在相應(yīng)頻段內(nèi)的功率流平均值。

由圖4 可看出，在低頻段內(nèi)激勵(lì)板的彎曲振動(dòng)功率流遠(yuǎn)大于面內(nèi)振動(dòng)功率流，其平均值相差超過12 dB，且彎曲振動(dòng)功率流隨激勵(lì)角α的增大而增大，面內(nèi)波則相反。

由圖5 可看出，在低頻段內(nèi)接收板同樣滿足了彎曲振動(dòng)功率流遠(yuǎn)高于面內(nèi)振動(dòng)功率流的規(guī)律，其平均值相差30 dB，二者均隨激勵(lì)角的增大而增大，但相對(duì)于激勵(lì)板而言，彎曲振動(dòng)功率流和面內(nèi)振動(dòng)功率流的平均值都有較大衰減。

由圖6 可看出，激勵(lì)板中的彎曲振動(dòng)功率流與面內(nèi)振動(dòng)功率流平均值相差僅3 dB，彎曲振動(dòng)功率流隨著激勵(lì)角度的增大而增大，但面內(nèi)振動(dòng)功率流隨之減小。

圖4 低頻段內(nèi)激勵(lì)板x2=0.18 m 處的振動(dòng)功率流（基準(zhǔn)功率流10-12 W）Fig.4 Excitation plate vibration power flow at x2=0.18 m in low frequency band（ref.power flow 10-12 W）

圖5 低頻段內(nèi)接收板x6=0.48 m 處的振動(dòng)功率流（基準(zhǔn)功率流10-12 W）Fig.5 Receiving plate vibration power flow at x6=0.48 m in low frequency band（ref.power flow 10-12 W）

圖6 高頻段內(nèi)激勵(lì)板x2=0.18 m 處的振動(dòng)功率流（基準(zhǔn)功率流10-12 W）Fig.6 Excitation plate vibration power flow at x2=0.18 m in high frequency band（ref.power flow 10-12 W）

圖7 高頻段內(nèi)接收板x6=0.48 m 處的振動(dòng)功率流（基準(zhǔn)功率流10-12 W）Fig.7 Receiving plate vibration power flow at x6=0.48 m in high frequency band（ref.power flow 10-12 W）

由圖7 可看出，接收板中，隨著頻率的增加，面內(nèi)波功率流也逐漸增大，這與彎曲波功率流相差無幾。

通過對(duì)圖4～圖7 的分析，可以得到如下結(jié)果：

1）在低頻段內(nèi)，彎曲振動(dòng)功率流遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于面內(nèi)振動(dòng)功率流，但隨著頻率的增加，面內(nèi)振動(dòng)功率流逐步增大，與彎曲振動(dòng)功率流相當(dāng)。

2）在全頻段內(nèi)，彎曲振動(dòng)功率流隨著激勵(lì)角度的增大而增大，但面內(nèi)振動(dòng)功率流在高頻段內(nèi)隨激勵(lì)角的變化規(guī)律與低頻段相反，即隨著激勵(lì)角的增大而減小。

綜上所述，面內(nèi)振動(dòng)功率流變化的原因源于2 個(gè)方面：一是激勵(lì)直接引起的振動(dòng)，二是彎曲和面內(nèi)波的波形轉(zhuǎn)換。一方面，激勵(lì)角的增大導(dǎo)致了垂直于板的激勵(lì)力分量增大，面內(nèi)激勵(lì)力分量減少，從而使面內(nèi)的振動(dòng)較小，而彎曲的振動(dòng)較大；另一方面，盡管激勵(lì)角的增大使激勵(lì)板的面內(nèi)振動(dòng)相對(duì)較弱，但彎曲振動(dòng)波也會(huì)經(jīng)過波形轉(zhuǎn)換更多地變?yōu)槊鎯?nèi)波。因此，計(jì)算得到的功率流是外部激勵(lì)和內(nèi)部波形轉(zhuǎn)換共同作用的結(jié)果。當(dāng)頻率較低時(shí)，薄板縱向剛度遠(yuǎn)比彎曲剛度的大，故激勵(lì)力在面內(nèi)方向的分量引起的振動(dòng)功率流數(shù)值較??；當(dāng)激勵(lì)角度增大時(shí)，面內(nèi)力的分量會(huì)更小，而圖4（b）～圖7（b）顯示其隨著角度的增大，振動(dòng)功率流也會(huì)增加，造成此現(xiàn)象的原因是在此階段的波形轉(zhuǎn)換效果明顯，起到了主要作用；而頻率較高時(shí)，縱向剛度和彎曲剛度大小相當(dāng)，激勵(lì)力的面內(nèi)分量直接作用逐漸凸顯，在此階段，激勵(lì)力直接作用帶來的面內(nèi)振動(dòng)功率流作用更加明顯。

2.3 連接件板4 對(duì)振動(dòng)功率流的影響

本節(jié)采用與2.1 節(jié)相同的雙層板模型參數(shù)。分析連接角β=30°，60°，90°時(shí)接收板6 上截面x6=0.48 m 處在0～1 000 Hz 頻率范圍的功率流，以及連接角β=90° 時(shí)板4 的厚度分別為5，7，9 mm 情況下板6 上截面x6=0.48 m 處觀測(cè)到的功率流，結(jié)果如圖8 和圖9 所示。

圖8 不同連接角下接收板6 的振動(dòng)功率流（基準(zhǔn)功率流10-12 W）Fig.8 Vibration power flow of receiving plate-6 at different connection angles（ref.power flow 10-12 W）

圖9 不同板厚下接收板6 的振動(dòng)功率流（基準(zhǔn)功率流10-12 W）Fig.9 Vibration power flow of receiving plate-6 at different plate thicknesses（ref.power flow 10-12 W）

由圖8 可看出，總體上，總功率流隨著連接角的增大而略有下降。連接角為90°時(shí)，減弱的作用表現(xiàn)得尤為明顯，這是因?yàn)榇藭r(shí)面板剪力方向平行于腹板的面內(nèi)方向，彎曲波和面內(nèi)波的波形轉(zhuǎn)化效果明顯，且波形轉(zhuǎn)化隨著頻率的升高而加劇；振動(dòng)傳遞過程中的能量衰減更明顯，從而使接收板的功率流曲線也呈下降趨勢(shì)［12］。

由圖9 可看出，接收板的振動(dòng)功率流受連接件的板厚影響較大，總體上，總功率流隨著連接板厚度的增大而下降，且峰值頻率也會(huì)右移。這是因?yàn)檫B接板厚度的增大使板的剛度增大，連接板的能量傳遞和波形轉(zhuǎn)化作用都會(huì)提升，與之對(duì)應(yīng)的功率流衰減也更多，從而導(dǎo)致接收板的功率流曲線呈下降趨勢(shì)。

3 結(jié) 論

本文基于薄板理論與波動(dòng)法，建立了有限尺寸雙層板的耦合振動(dòng)模型，并通過有限元對(duì)比驗(yàn)證了計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。在上述基礎(chǔ)上，分析了不同激勵(lì)角、連接角及其厚度對(duì)振動(dòng)功率流的影響，并得到如下結(jié)論：

1）在低頻段，激勵(lì)板和接收板的彎曲波功率流遠(yuǎn)大于面內(nèi)波功率流，隨著頻率的增大，二者逐漸靠近。

2）在低頻段，激勵(lì)板和接收板的面內(nèi)振動(dòng)功率流遠(yuǎn)小于彎曲波功率流，但在高頻段二者相當(dāng)，原因是二者主要受到外部激勵(lì)力和波形轉(zhuǎn)換這2個(gè)因素的影響；激勵(lì)板和接收板均滿足在低頻段隨著激勵(lì)角的增大而增大的規(guī)律，此時(shí)二者主要受到波形轉(zhuǎn)換的影響；在高頻段，二者隨著激勵(lì)角的增大而減小，此時(shí)受激勵(lì)力的直接影響較大。

3）接收板功率流的大小與雙層板連接角及厚度密切相關(guān)，即連接角越是接近于垂直波形，其轉(zhuǎn)化效果就越明顯；同時(shí)，連接件的厚度越大，功率流的損耗也會(huì)增大，使得功率流曲線呈下降趨勢(shì)。因此，在實(shí)際工程中，應(yīng)在允許的范圍內(nèi)將雙層板中的連接角設(shè)計(jì)為接近90°，并適當(dāng)選擇稍大的板厚以獲得較好的減振效果。