基于LBM的單氣泡上升現(xiàn)象及并行優(yōu)化研究

溫劍鋒，覃一海

（廣西建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南寧530000）

0 引言

氣液兩相流是非常有趣自然現(xiàn)象，同時也是工業(yè)制造中常見的現(xiàn)象。氣泡在液體中產(chǎn)生、合并、上升、爆裂等現(xiàn)象在工業(yè)生產(chǎn)中有著重要的影響。在工業(yè)生產(chǎn)中，通常根據(jù)氣泡的動力學(xué)特點(diǎn)，調(diào)整生產(chǎn)過程的參數(shù)提高生產(chǎn)效率。在醫(yī)療中，利用氣泡的運(yùn)動特性，將藥物運(yùn)送到患者的生病部位達(dá)到治病目的。在航運(yùn)過程中，通過減少高速運(yùn)轉(zhuǎn)的螺旋漿產(chǎn)生的空化氣泡達(dá)到保護(hù)螺旋漿的目的。

至今，眾多研究者對氣泡上升時出現(xiàn)行為進(jìn)行展開了深入的研究，如合并、變形、破裂、速度等。Li等人[1]用VOF方法研究了氣泡在液相中產(chǎn)生和上浮。付等人[2]根據(jù)氣泡在液體中的運(yùn)動過程，推導(dǎo)出了氣泡的運(yùn)動方程。田等人[3]用水平集方法等研究氣泡上升時的變形和運(yùn)動特點(diǎn)，揭示了氣泡變形的原因。陳等人[4]研究了氣泡在浮力作用下的流場分規(guī)律，并提出了浮力作用的假設(shè)。

LBM是當(dāng)前主流的數(shù)值模擬方法，它具有算法簡單、邊界易于處理、適合并行處理等特點(diǎn)，非常適合用于復(fù)雜多相流現(xiàn)象的模擬研究。CUDA是NVIDIA公司推出的解決復(fù)雜運(yùn)算的架構(gòu)，它能使GPU在并行運(yùn)算、圖像處理等方面的能力大大提升。基于CUDA的LBM算法為數(shù)值模擬提供了更高效的計算方式，受到眾多學(xué)者的喜愛。

本文擬用LBM方法進(jìn)行建模，然后使用CUDA并行技術(shù)對LBM程度進(jìn)行加速計算，探索氣泡上升的形態(tài)變化和上升的速度變化等。

1 LBM建模

1.1 LBM的基本公式

LBM編程簡單主要在于該模型的公式簡單、參數(shù)少，本文使用二維LBM模型進(jìn)行編程，它的基本公式如下：

其中，fi、是分布函數(shù)，Ωi是碰撞因子、ei是單位速度、是平衡分布函數(shù)(ρ,u)、τ、ρ、u、δt分別是單馳豫時間、宏觀密度、宏觀速度、步長，展開為：

公式（1）包括了碰撞和遷移兩部分，碰撞的公式為：

遷移的公式為：

1.2 LBM多相流模型

經(jīng)過多年的發(fā)展，用于多相流模擬的LBM模型有顏色模型[5]、SC 模型[6]、Zheng 模型[7]，然而這些均存在一些不足，如顏色模型計算具有指數(shù)復(fù)雜性、穩(wěn)定性差，如偽勢模型計算虛速度大，Zheng模型不滿足伽利略不變性。在某些研究領(lǐng)域，這些模型的應(yīng)用受了限制。對此，覃等人[8]深入分析了以上模型存在的缺陷，提出了復(fù)合的LBM多相流模型，此模型能更好地進(jìn)行數(shù)值模擬，并具有較高的精確度和穩(wěn)定性。該模型的動量公式為：

遷移公式為：

上述方程經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化，可恢復(fù)N-S方程：

2 模型驗證

本文主要使用（15）公式進(jìn)行編程模擬，通過計算Δp的值，將實(shí)驗計算的Δp值與理論進(jìn)行比較，以檢測模型的正確性。

其中，Δp表示氣泡內(nèi)外壓強(qiáng)差，R表示半徑，σ表示表面張力。計算區(qū)域定為201×201，界面厚度、氣相密度、液相密度、馳豫時間、表面張力、遷移量、序參等分別為：5、1、1000、0.875、0.1、100、499.5。通過模擬不同的半徑，求出內(nèi)外壓強(qiáng)差，然后用壓強(qiáng)差與半徑作圖，所得數(shù)據(jù)如表1表示，由表可見實(shí)驗值與理論值非常接近，計算誤差均在1%以下，由實(shí)驗可知本文采用的LBM滿足Laplace定律，可用于多相流的數(shù)值模擬之中。

表1 實(shí)驗結(jié)果與理論值對比

3 氣泡上升研究

本文主要模擬二維單氣泡在浮力作用下上升的現(xiàn)象。每一相的密度和表面張力系數(shù)的取值與文章Takada[9]一樣。氣泡處于四壁平穩(wěn)的流場中。初始，氣泡處于計算區(qū)域為80×300的低區(qū)域中（流場高度的1/4）。氣泡內(nèi)初始序參設(shè)為φ*，氣泡外初始序參設(shè)為-φ*。在不同參數(shù)值（如表2所示），進(jìn)行了幾個數(shù)值模擬。由于氣泡的半徑很小，我們不必把界面厚設(shè)置太大。當(dāng)浮力和拖拽力達(dá)到平衡，氣泡將以幾乎不變的速率上升。事實(shí)上，速率并不是常量。氣泡在上升的時候，存在振蕩現(xiàn)象。表2展示模擬結(jié)果對比情況。很明顯，這些結(jié)果與VOF方法和Takada’s LBM吻合得非常好。氣泡在不同條件下的最終上升的形態(tài)如圖1所示。

表2 氣泡在浮力作用下上升的模擬參數(shù)

表3 氣泡在浮力作下上升的終點(diǎn)速率

圖1 不同參數(shù)下氣泡上升的最終形狀

4 對氣泡上升算法進(jìn)行加速研究

維度劃分是CUDA優(yōu)化加速的其中方法之一。Grid和Block是劃分維度的重要單元，通過確定合理的比例使CPU性能發(fā)揮最大作用。在優(yōu)化時，可以將Block劃分一維、二維、三維，通常認(rèn)為維度越高，能劃分的線程數(shù)就越多，但是由于GPU的線程數(shù)有限，并不能盲目對Block進(jìn)行多維度劃分?？紤]到計算規(guī)模，本文先將Block劃分一維，然后再將Block未利用的空間與Grid重新合并形成新的維度，這樣充分利用了空閑的線程進(jìn)行運(yùn)算，使程序并行效率達(dá)到最大化。將未進(jìn)行維度劃分的算法設(shè)為S0，已經(jīng)進(jìn)行維度劃分的算法為S1，演化10000步的計算結(jié)果，如表4所示，由表可見，經(jīng)過優(yōu)化加速后，流場越大獲得的加速比越大。因此，進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬運(yùn)算時，引入CUDA并行技術(shù)能大大提升程序運(yùn)行效率，能為更深入研究提供堅實(shí)的基礎(chǔ)。

表4 方案S0、S1的耗時和加速效果的比較

5 結(jié)語

本文使用主流多相流LBM模型研究了氣泡上升的現(xiàn)象，通過多組不同的初始參數(shù)計算了氣泡上升的速度以及不同參數(shù)下氣泡上升的形狀，實(shí)驗與前人研究結(jié)果基本吻合。針對當(dāng)前程序計算效率低下問題，本文引入CUDA對LBM多相流程序進(jìn)行了加速計算，能獲得最高13.86倍的加速比，大大縮短了程序達(dá)到穩(wěn)定時需要的時間，能為更深入的研究縮短期限。接下來，筆者計劃在CUDA并行技術(shù)方面進(jìn)行更深入的探索，希望能為LBM程序的運(yùn)算減少更多的時間。