雙板裝置的測(cè)角偏差及修正方法研究

薛光明，石 昊，錢明軍，王志文，王 可

(中國(guó)人民解放軍63969部隊(duì)，江蘇 南京 210028)

0 引 言

車輛通過(guò)角是反映車輛通過(guò)性能的重要參數(shù)，也是汽車試驗(yàn)的重要項(xiàng)目[1]。當(dāng)前測(cè)量車輛通過(guò)角的方法主要是通過(guò)測(cè)量車體突出點(diǎn)距離、高度，然后基于輪胎的靜力半徑或自由半徑進(jìn)行計(jì)算[2-4]。該方法計(jì)算精度較高，但是計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，后續(xù)處理較難，同時(shí)突出點(diǎn)的位置通過(guò)肉眼進(jìn)行判斷，十分依賴試驗(yàn)員經(jīng)驗(yàn)，難以進(jìn)行精度論證。

測(cè)距法是一種汽車試驗(yàn)領(lǐng)域最常用的間接測(cè)量法，部分學(xué)者還基于機(jī)械設(shè)計(jì)[5-6]、紅外光幕[7-8]、激光測(cè)量[9-10]或圖像識(shí)別[11-12]等技術(shù)手段進(jìn)行測(cè)量，可直接測(cè)量出車輛通過(guò)角，或先辨識(shí)車輛輪廓或尺寸參數(shù)，再計(jì)算出車輛通過(guò)角度。這些手段測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確有效，但實(shí)施需要復(fù)雜儀器和專業(yè)知識(shí)，對(duì)于普通技術(shù)人員存在執(zhí)行難度，同時(shí)在誤差分析上難度較高，不利于后續(xù)標(biāo)準(zhǔn)的制定。除上述手段外，基于其原理的通用測(cè)角方法[13]也可用于車輛通過(guò)角的測(cè)量。

對(duì)比上述方法，采用雙板進(jìn)行測(cè)量是最直觀的測(cè)量法，能夠模擬車輛真實(shí)的通過(guò)情況，測(cè)量角度準(zhǔn)確且易于實(shí)施。然而采用雙板測(cè)量車輛接近角或離去角存在的最大難點(diǎn)就是板的厚度問(wèn)題，當(dāng)測(cè)量板具有一定厚度后，在待測(cè)角較小時(shí)難以保證與輪胎相切，此時(shí)實(shí)測(cè)角并非精確角，測(cè)量存在偏差。本文針對(duì)該問(wèn)題，對(duì)測(cè)量有效和失效的情況進(jìn)行分析，并計(jì)算失效測(cè)量偏差，提出對(duì)應(yīng)的修正方案，為車輛角度的測(cè)量提供一種新的技術(shù)手段。

1 測(cè)量原理

雙板測(cè)量車輛通過(guò)角的原理如圖1所示。其中，A為測(cè)量接觸面與車體突出位置的接觸點(diǎn)，B為測(cè)量板端點(diǎn)，G為兩板的鉸接點(diǎn)，Q為車輪中心點(diǎn)。以車輪接地的最低點(diǎn)為坐標(biāo)軸軸心O，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，可建立圖中所示的xOy坐標(biāo)系。

如圖1（a）所示，當(dāng)測(cè)量板上表面與車輪相切時(shí)，兩板之間的夾角等于待測(cè)的通過(guò)角，測(cè)量結(jié)果有效；如圖1（b）所示，當(dāng)測(cè)量板上表面無(wú)法與輪胎相切，而與車輪交于端點(diǎn)B時(shí)，兩板之間的夾角為割線AB與基準(zhǔn)板之間的夾角，而不是由A點(diǎn)引出的切線夾角，因而不等于待測(cè)的通過(guò)角，這種情況下測(cè)量無(wú)效。下面對(duì)測(cè)量有效和失效的情況進(jìn)行分析，以確定可行的測(cè)量范圍并對(duì)失效情況進(jìn)行修正。

圖1 雙板測(cè)量原理

2 有效測(cè)量范圍

2.1 臨界情況

首先分析測(cè)量的臨界情況，即測(cè)量板上平面與輪胎相切時(shí)，且切點(diǎn)恰為B。此時(shí)，QBG共線且與AB垂直，則∠OQB恰為所測(cè)臨界角α0，此時(shí)有

式中：dt、dg——測(cè)量板厚度、基準(zhǔn)板厚度；

R——車輪半徑。

求解可得測(cè)量臨界角度為

易知，當(dāng)測(cè)得角α不小于式（2）給出的臨界角時(shí)，測(cè)量板上表面能夠與輪胎圓相切（僅在臨界條件下切點(diǎn)為B），實(shí)測(cè)角即為車輛的實(shí)際通過(guò)角，測(cè)量結(jié)果是有效的。

2.2 有效測(cè)量時(shí)測(cè)量板厚度

由式（2）可知，當(dāng)待測(cè)實(shí)際角α≥α0= arccos[（R-dg）/（R+dt）]時(shí)，采用雙板測(cè)得角為精確角，整理該不等式，可得適用的雙板結(jié)構(gòu)形式需滿足

因此，若要對(duì)車輪半徑為R、通過(guò)角為α的車輛進(jìn)行有效測(cè)量，所采用的測(cè)量板和基準(zhǔn)板厚度應(yīng)滿足式（3）。以dg為橫軸，dt為縱軸，式（3）對(duì)應(yīng)了圖2所示的三角形陰影區(qū)域。有效測(cè)量時(shí)基準(zhǔn)板和測(cè)量板的厚度參數(shù)應(yīng)處于圖2中所示三角形區(qū)域（含邊界）。當(dāng)板的厚度參數(shù)處于圖2中所示三角形之外時(shí)，實(shí)測(cè)角要小于精確角，直接測(cè)量結(jié)果失效。

圖2 有效測(cè)量時(shí)裝置參數(shù)范圍

2.3 裝置的有效測(cè)量范圍

當(dāng)測(cè)量裝置尺寸已知后，根據(jù)式（2）同時(shí)可得測(cè)量有效時(shí)的最小角度值，其結(jié)果如圖3中曲面所示。當(dāng)待測(cè)車輛的通過(guò)角數(shù)值處于曲面上方時(shí)，裝置的測(cè)量結(jié)果是有效的，而當(dāng)待測(cè)角處于曲面下方時(shí)，測(cè)量結(jié)果是無(wú)效的。

圖3 有效測(cè)量的最小角度

由圖3可知，dt/R、dg/R越大，雙板進(jìn)行有效測(cè)量時(shí)的最小角越大，即測(cè)量范圍越小。若要降低有效測(cè)量角的最小值，即增大測(cè)量范圍，應(yīng)盡可能減小dg和dt與輪胎半徑R的比值。

對(duì)于測(cè)量裝置而言，測(cè)量板和基準(zhǔn)板越薄，有效測(cè)角最小值越小，裝置測(cè)量范圍越大。對(duì)于車輛而言，輪胎半徑越小，所需測(cè)量板和基準(zhǔn)板的厚度越薄。也就是說(shuō)，若測(cè)量裝置適用于輪胎半徑較小的情況，必適用于輪胎半徑較大的情形。

2.4 等雙板情形

一般情況下，為加工方便，測(cè)量板和加工板一般厚度相等，即dg=dt。此時(shí)，式（3）轉(zhuǎn)化為

為具有通用性，測(cè)量裝置應(yīng)能適用于最小尺寸的輪胎，考慮到絕大多數(shù)車輛輪胎半徑不小于29 cm，應(yīng)代入該最小尺寸進(jìn)行計(jì)算，可得到板厚度與最小可測(cè)角的關(guān)系如圖4所示。

由計(jì)算結(jié)果可知，對(duì)于大部分越野車輛，其通過(guò)角不小于20°，所用測(cè)量板厚度最好不超過(guò)1 cm；對(duì)于家用車，其通過(guò)角約為10.5°，所需測(cè)量板厚度應(yīng)不超過(guò)0.25 cm。如此薄的板對(duì)選材和制造加工提出了一定要求，同時(shí)要避免在使用時(shí)必然產(chǎn)生較大的彎曲變形，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確。

圖4 不同板厚度下的最小可測(cè)角

3 測(cè)量失效情況

當(dāng)測(cè)量板上平面與輪胎圓相交而非相切時(shí)，測(cè)得角為割線AB與基準(zhǔn)板平面之間的夾角，考慮到車輛實(shí)際的通過(guò)角為切線與基準(zhǔn)板平面之間的夾角，此時(shí)實(shí)測(cè)角較精確角要偏小。

3.1 失效時(shí)實(shí)測(cè)角αB

下面對(duì)該種情況下的實(shí)測(cè)角進(jìn)行計(jì)算。由圖1（b），B點(diǎn)和G點(diǎn)的距離等于板厚度dt，同時(shí)有直線BQ⊥AB，若記實(shí)測(cè)角為αB，可得測(cè)量裝置的固有方程為

其中yB為B點(diǎn)的縱坐標(biāo)值。

B點(diǎn)在直線AB上，則有

式中：xB——B點(diǎn)的橫坐標(biāo)值；

l、h——分別為測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度和高度。

同時(shí)，B點(diǎn)在圓Q上，可得

聯(lián)立式（5）、（6）和（7），可求得實(shí)測(cè)角αB的隱式方程為

該方程不具有解析解，可采用一維搜索方法進(jìn)行數(shù)值求解。

3.2 精確角αe

下面分析車輛通過(guò)角和離去角的精確值αe。過(guò)A點(diǎn)引圓Q的切線，該切線的斜率即為車輛實(shí)際角的正切值。若記切點(diǎn)為E，E點(diǎn)坐標(biāo)為（xE，yE），切線AE的斜率為tanαe，則E點(diǎn)滿足在切線AE上、在圓Q上、QE與AE垂直這三個(gè)條件，對(duì)應(yīng)方程為

求解該方程，可得精確角αe的余弦值滿足

3.3 測(cè)量失效時(shí)的修正

3.3.1 測(cè)量偏差

綜合3.1節(jié)和3.2節(jié)中的分析結(jié)果可知，實(shí)測(cè)角α與車輛通過(guò)角的精確值αe之間的關(guān)系為

式中，α0、αB、αe分別由式（2）、式（8）、式（10）給出。

同時(shí)測(cè)量是否有效可直接從觀察判定，若測(cè)量板上表面與輪胎相切時(shí)，意味著實(shí)測(cè)角不小于臨界角，則測(cè)量角度等于精確通過(guò)角；若觀察到測(cè)量板上表面與輪胎相交，則實(shí)測(cè)角小于臨界角，同時(shí)也小于實(shí)際通過(guò)角。

圖5給出了無(wú)法實(shí)施有效測(cè)量時(shí)實(shí)測(cè)角與精確角之間的差異。由曲線可知，當(dāng)待測(cè)角不大于式（2）給出的臨界角時(shí)存在偏差，且該偏差隨待測(cè)角的增大而減小；當(dāng)待測(cè)角超過(guò)臨界角時(shí)，測(cè)量偏差變?yōu)?。

定義測(cè)量偏差Δα為精確角與實(shí)測(cè)角的差值，下面對(duì)該測(cè)量偏差進(jìn)行補(bǔ)正，希望通過(guò)對(duì)測(cè)量角進(jìn)行適當(dāng)處理以得到精確角。

由式（10）給出的精確角和式（8）給出的實(shí)測(cè)角表達(dá)式可知，實(shí)測(cè)角或精確角與輪胎半徑R、板厚度dt、測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度l、測(cè)量點(diǎn)高度h有關(guān)。將式（8）中方程兩邊同時(shí)除以R2，式（10）右側(cè)分子分母同除以R可知，實(shí)測(cè)角或精確角與各尺寸參數(shù)與輪胎半徑R的比值有關(guān)，即與dt/R、l/R、h/R有關(guān)。考慮到實(shí)測(cè)角為已知量，相當(dāng)于這3個(gè)量有一個(gè)為確定量，只需分析dt/R和l/R兩個(gè)量的影響即可分析得到測(cè)量偏差。

3.3.2 板厚度的影響

下面分析這兩個(gè)參數(shù)對(duì)測(cè)量偏差的影響。令l=2.5R，即測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度為車輪半徑的2.5倍，圖6（a）給出了不同dt/R時(shí)的測(cè)量偏差曲線。由計(jì)算結(jié)果可知，dt/R越小，即車輪半徑固定時(shí)，測(cè)量板越薄，偏差曲線整體下移，失效時(shí)的測(cè)量偏差也越小。

圖5 精確角和實(shí)測(cè)角

圖6 dt/R對(duì)測(cè)量偏差的影響

調(diào)整l/R的數(shù)值時(shí)，曲線形式不變，但在縱軸的截距即偏差最大值具有較大影響。計(jì)算不同l/R下的最大偏差值如圖6（b）所示，由計(jì)算結(jié)果可知，偏差最大值與dt/R之間的關(guān)系為正比例關(guān)系，該比例系數(shù)與測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度l有關(guān)，l/R越大，測(cè)量偏差的最大值減小，這意味著測(cè)量偏差也在逐漸減小。

3.3.3 測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度的影響

令dt=0.1R，計(jì)算得到l/R對(duì)測(cè)量偏差的影響曲線如圖7（a）所示，同時(shí)不同dt/R下的偏差最大值如圖7（b）所示。由結(jié)果可知，l/R越大，即測(cè)量點(diǎn)距離越遠(yuǎn)，偏差曲線整體下移，測(cè)量偏差較??；測(cè)量偏差與R/l也大致成正比例關(guān)系，且當(dāng)R/l增大，即測(cè)量點(diǎn)較近時(shí)，測(cè)量最大偏差逐漸增大，亦即測(cè)量偏差變大。

圖7 l/R對(duì)測(cè)量偏差的影響

3.3.4 偏差修正

針對(duì)3.3.3節(jié)分析的偏差情況，可以基于實(shí)測(cè)角編制修正圖對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，以得到較為精確的計(jì)算結(jié)果。考慮到輪胎尺寸為標(biāo)準(zhǔn)尺寸，測(cè)量板在應(yīng)用推廣后尺寸也會(huì)標(biāo)準(zhǔn)化，而車輛的測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度等參數(shù)不會(huì)固定。因此，偏差修正圖最好以測(cè)量點(diǎn)位置的影響曲線為基礎(chǔ)，根據(jù)常用的輪胎尺寸和測(cè)量板尺寸多繪制幾個(gè)修正圖即可。

圖8給出了dt=0.1R時(shí)的修正曲線圖，根據(jù)實(shí)測(cè)角α、l/R的估計(jì)值可查得測(cè)量偏差，然后將實(shí)測(cè)角加上查得的偏差值即得最終的角度測(cè)量值，未落在曲線上的偏差值可由曲線上點(diǎn)值進(jìn)行估計(jì)。舉例說(shuō)明該圖的用法，如待測(cè)車輛的自由半徑為30 cm，采用dt=3 cm的測(cè)量板進(jìn)行測(cè)量，可選擇所示的修正圖進(jìn)行修正；若測(cè)得角為10°，同時(shí)估算測(cè)量板位置約為輪胎半徑的2.0倍，查圖可知，修正角約為3.3°，因而確定實(shí)測(cè)角為10°+3.3°=13.3°。

圖8 測(cè)量偏差修正圖

4 結(jié)束語(yǔ)

雙板式測(cè)量方法在測(cè)量車輛通過(guò)角時(shí)存在最小臨界角，待測(cè)角不小于臨界角時(shí)，測(cè)量結(jié)果直接有效，為降低臨界角，應(yīng)盡可能地減小測(cè)量板的厚度。待測(cè)角小于臨界角時(shí)，測(cè)量結(jié)果無(wú)效，且板厚度越薄，測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)度越大，測(cè)量失效時(shí)的偏差越小，同時(shí)，測(cè)量偏差可通過(guò)建立修正表予以補(bǔ)正。