本原性數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)下的教學(xué)研究

王 毳

（寧城縣高級中學(xué)，內(nèi)蒙古 赤峰 024299）

當(dāng)前，教師在進行數(shù)學(xué)教學(xué)時存在如下傾向：第一種傾向為教師執(zhí)著于題海戰(zhàn)術(shù)，非常認同從題海中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的教學(xué)方法；第二種傾向為教師盲目地設(shè)計和開展情境創(chuàng)設(shè)、活動探究及小組合作等教學(xué)過程，以表達對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和新教學(xué)模式的推崇；第三種傾向為教師追求對數(shù)學(xué)知識與方法的全面講解，表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)知識與方法的簡單堆積與重復(fù)［1］。

筆者認為，第一種教學(xué)傾向產(chǎn)生的問題是，不能很好地提高教學(xué)效率，使教師與學(xué)生的負擔(dān)加重；第二種教學(xué)傾向產(chǎn)生的問題是，教師盲目地推崇形式上的數(shù)學(xué)教育，忽視了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，未能使學(xué)生真正習(xí)得數(shù)學(xué)學(xué)科知識；第三種教學(xué)傾向產(chǎn)生的問題是，簡單堆積與重復(fù)數(shù)學(xué)知識與方法，使學(xué)生逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

如何讓教師在有限的教學(xué)時間里加強師生間的互動交流，提高教學(xué)效率？如何讓學(xué)生在有限的課堂學(xué)習(xí)過程中，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，如數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法？如何提高師生課堂參與度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣？這正是本研究需要解決的主要問題。

一、本原性數(shù)學(xué)問題理論

本原性數(shù)學(xué)問題是指構(gòu)成某數(shù)學(xué)主題的核心或基本要素。從知識層面上講，本原性數(shù)學(xué)問題是指能揭示某數(shù)學(xué)主題的基本概念，能聯(lián)系命題間的知識結(jié)構(gòu)；從思維層面上講，本原性數(shù)學(xué)問題是指蘊含在某數(shù)學(xué)定理背后的數(shù)學(xué)思想與方法，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和提升認知水平的思維方法［2］。

什么是本原性數(shù)學(xué)問題的來源？一方面來源于教師的教學(xué)設(shè)計，由教師根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)體系、思想方法及發(fā)展脈絡(luò)，設(shè)計出適合所授主題的核心知識與技能的本質(zhì)性數(shù)學(xué)問題；另一方面來源于學(xué)生的樸素觀點，由學(xué)生根據(jù)自身的學(xué)習(xí)習(xí)慣及認知水平，提出有關(guān)所學(xué)主題的樸素想法。前者意味著教師要有較為精深的學(xué)科素養(yǎng)，能明晰學(xué)科知識結(jié)構(gòu)、把握學(xué)科發(fā)展脈絡(luò)、較為熟練地運用學(xué)科思想與方法解決問題；后者意味著教師要有較為深厚的教學(xué)素養(yǎng)，能較為準(zhǔn)確地把握學(xué)生的特點，能敏銳地抓住學(xué)生提出的能夠反映學(xué)科主題的樸素觀點，并且合理地引導(dǎo)學(xué)生將樸素的觀點轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)本原性問題。

本原性數(shù)學(xué)問題具有存在性、互動性、開放性的特征。第一，存在性。本原性數(shù)學(xué)問題揭示了數(shù)學(xué)學(xué)科構(gòu)成要素及結(jié)構(gòu)，是隱藏在數(shù)學(xué)學(xué)科背后的思想與方法，需要師生發(fā)現(xiàn)并提出。第二，互動性。本原性數(shù)學(xué)問題為教師與學(xué)生認知領(lǐng)域交匯的問題，需要師生、生生在教學(xué)對話、活動中產(chǎn)生。第三，開放性。本原性數(shù)學(xué)問題不拘泥于形式，問題形式多樣，不唯一，能體現(xiàn)本教學(xué)主題內(nèi)容思想的關(guān)鍵性問題即可，需要教師鼓勵學(xué)生從不同角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)進行聯(lián)系，從而加深對數(shù)學(xué)學(xué)科的理解。

什么是本原性數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的條件？一方面，要求教師有精深的數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)和深厚靈活的教學(xué)素養(yǎng)，表現(xiàn)為教師能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展脈絡(luò)、思想方法及結(jié)構(gòu)體系，并且能敏銳地抓住學(xué)生的樸素觀點，及時進行引導(dǎo)，使其上升為對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；另一方面，要求學(xué)生有問題意識和反思能力，表現(xiàn)為學(xué)生能根據(jù)自身認知水平及學(xué)習(xí)習(xí)慣提出有關(guān)數(shù)學(xué)主題的樸素觀念，通過師生、生生間的交流，反思建構(gòu)形成個性化的知識體系［3］。

二、本原性數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)下的教學(xué)

（一）從知識層面組織數(shù)學(xué)教學(xué)

從學(xué)科知識內(nèi)容角度分析，本原性數(shù)學(xué)問題圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科知識的核心內(nèi)容展開，以本原性問題引領(lǐng)教學(xué)，能使學(xué)生明確數(shù)學(xué)學(xué)科某主題內(nèi)容的重點與難點，掌握學(xué)科知識技能。本原性數(shù)學(xué)問題可以引領(lǐng)某一節(jié)課或幾節(jié)課的內(nèi)容，甚至是某一階段的全部學(xué)習(xí)內(nèi)容，既能體現(xiàn)某學(xué)科主題的核心內(nèi)容，又能起到聯(lián)系其他主題的作用［4］。

【案例1】：函數(shù)的概念

函數(shù)主題學(xué)習(xí)的意義：函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是解決現(xiàn)實世界變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實際問題中日益發(fā)揮著重要作用，如氣象預(yù)測、股市分析及計算科學(xué)的發(fā)展等。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中函數(shù)主題貫穿始終，要求為：第一，理解函數(shù)概念—函數(shù)性質(zhì)—函數(shù)模型—解決問題；第二，感悟運動變化、數(shù)形結(jié)合、極限思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

對于函數(shù)概念的核心內(nèi)容主要從變量說、對應(yīng)關(guān)系說、極限說三個維度進行認識。第一個維度為變量說。函數(shù)是描述變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，這種變量與變量之間的依賴關(guān)系為：當(dāng)一個變量取一個定值，另一個變量憑借著變量之間的依賴關(guān)系有唯一確定的值與之相對應(yīng)。第二個維度為對應(yīng)關(guān)系說。函數(shù)是描述實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，并且將這種對應(yīng)關(guān)系用抽象符號表示，這種對應(yīng)關(guān)系是平面上點的集合，可以看作平面上的一個軌跡或圖形。從某種意義上講，研究函數(shù)就是研究軌跡或圖形的變化、性質(zhì)。第三個維度為極限說，用極限、逼近的觀念去重新認識函數(shù)。函數(shù)概念貫穿初中、高中、大學(xué)階段，具有連續(xù)性和延展性。

引領(lǐng)函數(shù)概念教學(xué)的本原性問題為：

“初中階段的函數(shù)的概念是什么？”

“為何到了高中階段要重新定義函數(shù)的概念？初中與高中的函數(shù)概念有何異同？”

“能否構(gòu)建出具體的基本函數(shù)模型？”

教師要把握學(xué)科結(jié)構(gòu)體系，認識研讀課標(biāo)和教材，真正弄清什么是學(xué)科主題的本原性問題，哪些問題可以看成相關(guān)問題和延續(xù)性問題。

（二）從思維層面組織數(shù)學(xué)教學(xué)

從學(xué)科思維方式的角度分析，本原性數(shù)學(xué)問題重視將學(xué)生的注意力由知識與技能轉(zhuǎn)化為學(xué)科的思想與方法，并且能更清晰合理地對數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)進行思考［5］。

【案例二】：函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的性質(zhì)是變量關(guān)系所體現(xiàn)的運動變化過程中的規(guī)律，包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的周期性、函數(shù)的奇偶性等。函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)的變化，決定了函數(shù)圖像的走勢。

函數(shù)的單調(diào)性所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有變化思想、數(shù)形結(jié)合思想、運算思想、極限思想等。函數(shù)單調(diào)性所蘊含的本原性問題如下：列表蘊含的本原性問題為數(shù)學(xué)對象分類或概念劃分思想；畫圖蘊含的本原性問題為數(shù)形結(jié)合思想；列舉蘊含的本原性問題為數(shù)學(xué)分類思想；轉(zhuǎn)化蘊含的本原性問題為不變量思想與等量代換方法等。

對于函數(shù)單調(diào)性的研究分為兩個階段。第一個階段為利用不等關(guān)系的形式化定義研究函數(shù)的單調(diào)性，這個階段的基本要素和構(gòu)成包括函數(shù)變量之間與變化方向的相互依賴關(guān)系；這種相互依賴關(guān)系是在一定范圍內(nèi)討論的；通過任意兩點大小變化關(guān)系來描述函數(shù)整體變化趨勢。第二個階段為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，這個階段的基本要素和構(gòu)成為導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖像可以畫出；利用函數(shù)單調(diào)性可以判斷導(dǎo)數(shù)的符號［6］。

引領(lǐng)函數(shù)單調(diào)性的本原性問題設(shè)計為：

“什么是函數(shù)單調(diào)性？能否用自己的語言進行描述和概括？”

“為什么要將函數(shù)單調(diào)性的描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言？”

“如何描述基本函數(shù)的性質(zhì)？” 教師應(yīng)該利用思維方法帶動具體知識與技能的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考不同概念、方法、問題之間的聯(lián)系，做到真正地學(xué)懂、學(xué)會、學(xué)透。

結(jié)語

從理論上講，首先，本原性數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)下的教學(xué)豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)；其次，該模式在某種程度上使學(xué)生真正實現(xiàn)了學(xué)會學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正學(xué)會將數(shù)學(xué)概念、理論內(nèi)化為自己的知識結(jié)構(gòu)；再次，該模式也提升了教師的素養(yǎng)，使教師加深了對學(xué)科本質(zhì)的理解；最后，該模式加深了師生間的聯(lián)系與交流，真正意義上實現(xiàn)了平等和諧地學(xué)習(xí)。

從實踐上講，首先，該模式有助于活躍課堂氛圍，加強師生、生生間的合作交流；其次，該模式有利于增強學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索，增加其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與興趣；再次，該模式有利于發(fā)展教師的教學(xué)機智，提升教學(xué)技能。