固結(jié)體系斜拉橋一階縱漂周期及橋塔地震剪力估算公式

何友娣， 王 巍， 沈文愛

(1. 中鐵大橋勘測(cè)設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司， 湖北 武漢 430056； 2. 廣州市市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司， 廣東 廣州 510040； 3. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

塔梁固結(jié)體系斜拉橋的結(jié)構(gòu)剛度較大，因此，在高烈度區(qū)其地震響應(yīng)也較大。此時(shí)，抗震安全性問題是橋型方案能否成立的決定性因素，故抗震設(shè)計(jì)是塔梁固結(jié)體系斜拉橋設(shè)計(jì)的首要環(huán)節(jié)[1, 2]。橋塔是斜拉橋最重要的受力構(gòu)件，且自身屬于高聳結(jié)構(gòu)，因此是全橋抗震的重中之重。若能快速估算橋塔的地震響應(yīng)，對(duì)工程設(shè)計(jì)的實(shí)用價(jià)值是不言而喻的。

在斜拉橋橋塔地震響應(yīng)研究方面，徐艷[3]設(shè)計(jì)制作了某雙塔斜拉橋比例模型，并通過振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)研究了不同方案的H形混凝土橋塔在橫橋向地震作用下的破壞模式。夏修身[4]基于OpenSees平臺(tái)建立斜拉橋模型，探討了橋塔的非線性抗震性能。陳瓊[5]利用有限元軟件對(duì)大跨度斜拉橋橋塔結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震需求分析。葉愛君[6]建立蘇通大橋有限元模型，將模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬相結(jié)合，得到了地震下橋塔的屈服順序和破壞位置。孫利民[7]進(jìn)行了斜拉橋比例模型的橫向振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，揭示了A型混凝土橋塔的橫向破壞模式具有明顯的雙塑性鉸模式?？梢园l(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多集中于不同橋塔形式、特點(diǎn)及其抗震性能的研究[8～12]，尚未將斜拉橋橋塔的地震響應(yīng)與“塔梁質(zhì)量比”和“塔梁線剛度比”關(guān)聯(lián)起來，它們之間的數(shù)學(xué)關(guān)系尚未建立，造成實(shí)際應(yīng)用過程中兩個(gè)參數(shù)的選定具有很大的盲目性，工程設(shè)計(jì)極為不便。

若采用有限元仿真試算方法來解決這一問題，計(jì)算者首先需要對(duì)“塔梁質(zhì)量比”和“塔梁線剛度比”給定不同的參數(shù)，然后建立有限元模型進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算，最后通過數(shù)據(jù)擬合分析得到近似規(guī)律。整個(gè)過程需要設(shè)計(jì)人員不斷地與有限元軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)交互，計(jì)算異常繁瑣且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。這種依靠經(jīng)驗(yàn)的試算方法有著巨大的工作量，計(jì)算處理耗時(shí)長(zhǎng)，導(dǎo)致工程師無法承受，故該法不具備工程實(shí)用價(jià)值。本文基于力學(xué)原理，推導(dǎo)出一種能夠計(jì)算塔梁固結(jié)體系斜拉橋橋塔地震內(nèi)力的簡(jiǎn)化公式。

而關(guān)于斜拉橋一階縱向振動(dòng)周期的研究，袁萬城等[13]在簡(jiǎn)化漂浮體系斜拉橋計(jì)算模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了其縱飄頻率簡(jiǎn)化計(jì)算方法。陳恒大等[14]利用Rayleigh法提出了考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋振動(dòng)基頻實(shí)用公式。張文學(xué)[15]采用柔度法推導(dǎo)了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階頻率的簡(jiǎn)化公式。但是，固結(jié)體系斜拉橋縱向振動(dòng)基頻簡(jiǎn)化計(jì)算方法的相關(guān)文獻(xiàn)較少，《公路斜拉橋抗震細(xì)則》里也只給出了斜拉橋結(jié)構(gòu)的豎向振動(dòng)頻率簡(jiǎn)化公式。結(jié)構(gòu)的縱向自振頻率是橋塔縱向地震響應(yīng)的計(jì)算基礎(chǔ)，因此本文推導(dǎo)了固結(jié)體系斜拉橋的一階縱向振動(dòng)頻率及橋塔剪力的簡(jiǎn)化公式。

1 簡(jiǎn)化公式的理論推導(dǎo)

1.1 斜拉橋模型的簡(jiǎn)化

斜拉橋原始力學(xué)模型見圖1所示，主要包括主塔、主梁和斜拉索，其中主塔和主梁之間的連接是固結(jié)體系，邊跨主梁端部為活動(dòng)支座，橋塔底部為固定支座。

圖1 斜拉橋的原始力學(xué)模型

將實(shí)際的斜拉橋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖2所示的力學(xué)模型，即將邊跨、上塔柱和斜拉索的結(jié)構(gòu)幾何部分省略。因斜拉索的重量相對(duì)較輕，忽略其重量，只考慮邊跨主梁、中跨主梁、上塔柱和下塔柱的重量。圖2模型中，參數(shù)定義如下：H為斜拉橋下塔柱的高度，即主梁頂部到下塔柱底部的距離(m)；L為斜拉橋的主跨(m)；mb為中跨主梁總質(zhì)量的一半(t)；mc為一側(cè)跨主梁與左塔柱的質(zhì)量之和(t)；Ec為塔柱彈性模量(kPa)；Ac為塔柱截面面積(m2)；Ic為塔柱截面抗彎慣性矩(m4)；Eb為主梁彈性模量(kPa)；Ab為主梁截面面積(m2)；Ib為主梁截面抗彎慣性矩(m4)；塔柱軸向剛度jc=EcAc/H；塔柱彎曲線剛度ic=EcIc/H；主梁軸向剛度jb=EbAb/L；主梁彎曲線剛度ib=EbIb/L。

圖2 斜拉橋的簡(jiǎn)化力學(xué)模型

將上圖所示的門式框架模型等效為如下兩個(gè)模型的疊加：正對(duì)稱模型和反對(duì)稱模型。由于荷載的反對(duì)稱性，故正對(duì)稱模型產(chǎn)生的地震力為零，這里分析反對(duì)稱模型即可。

圖3 正對(duì)稱和反對(duì)稱模型

1.2 振型向量的推導(dǎo)

這里分析反對(duì)稱模型。假設(shè)主塔軸向剛度jc為無窮大，則在A節(jié)點(diǎn)上，節(jié)點(diǎn)質(zhì)量mc有一個(gè)水平自由度和一個(gè)轉(zhuǎn)角自由度；在B節(jié)點(diǎn)上，節(jié)點(diǎn)質(zhì)量mb有水平、豎向和轉(zhuǎn)動(dòng)三個(gè)動(dòng)力自由度；在C節(jié)點(diǎn)上，因豎向自由度為零，故只有水平和轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)自由度。因此，A，B，C三個(gè)節(jié)點(diǎn)上共有2+3+2=7個(gè)自由度。對(duì)反對(duì)稱模型節(jié)點(diǎn)的未知量進(jìn)行編碼，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中的有限元分析原理，可組裝集合得到結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K0(對(duì)稱矩陣維度7×7)：

K0=

(1)

式中：第i行第j列元素kij表示僅使第j個(gè)自由度發(fā)生單位位移時(shí)，在自由度i上所需施加的外力。

結(jié)構(gòu)總質(zhì)量矩陣M0(矩陣維度7×7)為：

(2)

將式(1)(2)代入結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中求解結(jié)構(gòu)自振頻率的通用公式|K0-ω2M0|=0求解。常系數(shù)ω2(ω為振動(dòng)的圓頻率)是高次方程式，且項(xiàng)次太多，解析式較復(fù)雜，考慮進(jìn)一步簡(jiǎn)化。由于斜拉橋主梁的軸向剛度一般很大，故這里假設(shè)主梁軸向剛度jb=EbAb/L數(shù)學(xué)上無窮大，即忽略主梁軸向變形的影響，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。此時(shí)，剛度矩陣K0便退化為K(對(duì)稱矩陣維度5×5)：

(3)

對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣M0退化為M(矩陣維度5×5)：

(4)

第一階振型對(duì)應(yīng)的振型向量φ1定義為：

(5)

這里先求解矩陣φ1的部分元素φ11，φ21，φ51。假設(shè)主梁質(zhì)量集中在墩頂，即墩頂質(zhì)量為mc+mb，則剛度矩陣K進(jìn)一步退化為K1(矩陣維度為3×3):

(6)

對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣M退化為M1(矩陣維度為3×3)：

(7)

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中求解自振頻率的通用公式|K1-ω2M1|=0，可得頻率ω滿足下式:

(8)

(9)

聯(lián)立式(8)(9)，得到向量元素φ31為：

(10)

式中：φ11，φ21為A處的水平和轉(zhuǎn)角振型坐標(biāo)值；φ31，φ41為第一階振型B處的豎向和轉(zhuǎn)角振型坐標(biāo)值；φ51為第一階振型C處的轉(zhuǎn)角振型坐標(biāo)值。由于計(jì)算采用的是集中質(zhì)量模型，故轉(zhuǎn)角振型坐標(biāo)值對(duì)下文計(jì)算剪力的貢獻(xiàn)為零，不再求φ41。

1.3 一階縱漂周期和塔柱剪力公式的確定

根據(jù)反應(yīng)譜設(shè)計(jì)理論，且只考慮第一階主要振型的影響，則斜拉橋橋塔剪力由下式確定：

F=kβ(T)γ1φi1Gi

(11)

式中：F為斜拉橋橋塔塔底剪力(kN)；k為地震水平加速度系數(shù)；β(T)為動(dòng)力放大系數(shù)，動(dòng)力放大系數(shù)按照下式確定：

(12)

式中：βmax為動(dòng)力放大系數(shù)最大值；ω為結(jié)構(gòu)的一階自振頻率；Tg為場(chǎng)地特征周期(s)。γ1為第一階振型參與系數(shù)，按照下式確定：

(13)

式中：Gi為節(jié)點(diǎn)等效重量(t)； 由于轉(zhuǎn)角振型向量對(duì)剪力貢獻(xiàn)為零，因此φi1為第一階振型在A、B處的各振型坐標(biāo)值，即上節(jié)中的φ11，φ31。

引入“塔梁質(zhì)量比”和“塔梁線剛度比”，具體定義如下：

(14)

(15)

式中：塔柱彈性模量Ec和主梁彈性模量Eb的取值均由材料特性確定；對(duì)等截面的塔柱和主梁而言，塔柱截面的抗彎慣性矩Ic和主梁截面的抗彎慣性矩Ib均為常數(shù)，可通過截面特性分析軟件計(jì)算得到；對(duì)變截面塔柱和變截面主梁而言，塔柱截面的抗彎慣性矩Ic和主梁截面的抗彎慣性矩Ib均不是常數(shù)，可通過等效剛度的原則來確定，此法也適用于等截面主塔和等截面主梁的情形。具體過程如下：

(1)將主塔簡(jiǎn)化為一端固定、一端自由的懸臂梁(變截面)；將主梁簡(jiǎn)化為兩端固定的固結(jié)梁(變截面),見圖4所示。

圖4 懸臂梁和固結(jié)梁計(jì)算模型

(2)在懸臂梁的自由端施加荷載P1，在固結(jié)梁的跨中施加荷載P2；

(3)利用有限元軟件建立數(shù)學(xué)模型，分別獲得P1，P2作用下的自由端位移Δ1和跨中位移Δ2；

(4)按照下式確定塔柱的彎曲線剛度ic和主梁的彎曲線剛度ib。

(16)

(17)

將式(14)(15)代入式(8),得到一階縱漂圓頻率ω的最終公式：

(18)

則一階縱飄的基本周期為

(19)

聯(lián)立式(10)～(15)，得到橋塔剪力F的簡(jiǎn)化估算公式：

(20)

2 簡(jiǎn)化公式驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述推導(dǎo)的簡(jiǎn)化公式的正確性和適用性，本文選取了四座塔梁固結(jié)體系斜拉橋算例進(jìn)行對(duì)比分析，其有限元模型如圖 5 所示。

圖5 有限元模型

公式所需的計(jì)算參數(shù)如表1所示，此外，βmax=2.25,k=0.2,Tg=0.4。

將計(jì)算參數(shù)代入公式進(jìn)行求解，并和有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表2，3。

表1 計(jì)算參數(shù)

表2 一階縱漂周期/頻率結(jié)果對(duì)比

表3 橋塔剪力結(jié)果對(duì)比

從表2,3對(duì)比分析可以看出:簡(jiǎn)化公式和有限元模型計(jì)算得到結(jié)構(gòu)一階縱向振動(dòng)自振周期誤差在7%以內(nèi),橋塔的剪力誤差在9%以內(nèi)。

3 參數(shù)分析

現(xiàn)以巴拿馬四橋?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)其橋塔地震剪力進(jìn)行參數(shù)分析。函數(shù)F(μ,η)表達(dá)式為：

(21)

當(dāng)ib，mb確定時(shí)，圖6a為塔梁質(zhì)量比μ固定時(shí)，橋塔剪力F隨著塔梁線剛度比η的變化情況，可以看出，剪力F呈遞增趨勢(shì)。圖6b與其變化趨勢(shì)相同，但遞增速度更快。為進(jìn)一步觀測(cè)兩個(gè)參數(shù)對(duì)橋塔剪力的影響，將μ,η∈(0,10]時(shí)，函數(shù)F(μ,η)的變化繪制如圖6c所示。由圖可看出，F(xiàn)(μ,η)在兩個(gè)方向均為單調(diào)遞增趨勢(shì)，最大值發(fā)生在點(diǎn)(10,10)處。在設(shè)計(jì)中，為了控制固結(jié)體系斜拉橋橋塔地震剪力，須優(yōu)化塔梁質(zhì)量比、塔梁線剛度比，以上結(jié)論具有一定參考意義。

圖6 參數(shù)分析

4 結(jié) 論

(1)基于力學(xué)原理，本文推導(dǎo)了固結(jié)體系斜拉橋一階縱向振動(dòng)周期和橋塔地震剪力的簡(jiǎn)化公式。該公式建立了結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)與塔梁質(zhì)量比和塔梁線剛度比的數(shù)學(xué)關(guān)系，能快速估算橋塔地震響應(yīng)。利用本公式，可將繁瑣的動(dòng)力有限元試算問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的理論公式求值問題，從而避免了大量的建模和數(shù)據(jù)分析工作，有效提高設(shè)計(jì)效率，可為固結(jié)體系斜拉橋抗震概念設(shè)計(jì)提供技術(shù)參考。

(2)結(jié)構(gòu)一階縱向振動(dòng)周期簡(jiǎn)化公式和有限元計(jì)算結(jié)果誤差在7%以內(nèi),橋塔剪力簡(jiǎn)化公式和有限元計(jì)算結(jié)果誤差在9%以內(nèi)，說明簡(jiǎn)化公式是實(shí)用可行的。

(3)橋塔地震剪力隨著塔梁質(zhì)量比、塔梁線剛度比增加時(shí)增加，在今后的橋塔抗剪設(shè)計(jì)中，合理選取這兩個(gè)參數(shù)至關(guān)重要。