半素?cái)M環(huán)Lie理想上的導(dǎo)子的研究

鐘佩伶

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000)

0 引言

Bell和Kappe[1]證明了，若d為R上的導(dǎo)子，在R的非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0.在2003年，Asma和 Shakir[2]將Bell和Kappe[1]的結(jié)果推廣到2-扭自由素環(huán)的Lie理想上，證明了：如果2-扭自由素環(huán)R上的導(dǎo)子d在R的非零平方封閉Lie理想U上作為同態(tài)或反同態(tài)，則有d=0或U?Z(R).在2007年Oukhtite[3]等人將Asma和Shakir[2]的結(jié)果推廣到σ-素環(huán)上，證明了：如果2-扭自由σ-素環(huán)R上的導(dǎo)子d(d與σ是可交換的)在R的非零平方封閉σ-Lie理想U上作為同態(tài)或反同態(tài)，則有d=0或U?Z(R). 此定理一出，對眾多學(xué)者產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，特別是在環(huán)的一些特殊理想上作為同態(tài)和反同態(tài)的導(dǎo)子的一些性質(zhì)，更是學(xué)者們熱議的課題.他們將此定理進(jìn)行了推廣[4-11]，為研究導(dǎo)子在環(huán)上的一些性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).由于半素環(huán)比素環(huán)更具一般性，本文將Asma和 Shakir[2]的部分結(jié)果推廣到半素?cái)M環(huán)上，得到如下研究結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè)R為結(jié)合環(huán).對任意的a,b∈R,若由aRb=0,必有a=0或b=0，則稱R為素環(huán).如果環(huán)R為2-扭自由的，則對任意的a∈R，若2a=0，則必有a=0.設(shè)R是環(huán),d:R→R是加性映射.若對任意的x,y∈R,滿足：d(xy)=d(x)y+xd(y),則稱d是R上的導(dǎo)子.若映射σ:R→R滿足：

1)σ(x)?R,x∈R;

2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R;

3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R,則稱σ為R的自同構(gòu)．設(shè)R是結(jié)合環(huán),g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構(gòu). 若對任意的x,y∈R，滿足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) ，則稱g為R上的(θ,φ)-導(dǎo)子. 設(shè)R是環(huán)，I?R是R的可加子群，若對任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，則稱I為R的理想.?x,y,z∈R，有

[x,y]=xy-yx； [xy,z]=x[y,z]+[x,z]y； [x,yz]=y[x,z]+[x,y]z.

設(shè)N是非空集合，若滿足:

(i)(N,+)是一個群;

(ii)(N,·)是一個子群;

(iii)(n1+n2)·n3=n1·n3+n2·n3,?n1,n2,n3∈N,則稱N為擬環(huán).設(shè)N是擬環(huán).若xNy=0，x,y∈N,則稱N為素?cái)M環(huán). 設(shè)N是擬環(huán).若xNx=0,x∈N,則稱N為半素?cái)M環(huán).

2 主要結(jié)果

引理1[4]設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由素環(huán),U?Z(R)是R上的非零Lie理想.若對任意的a,b∈R,滿足aUb=0,則a=0或b=0．

將引理1推廣到半素?cái)M環(huán)上得到如下定理.

定理1設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由半素?cái)M環(huán),U?Z(R)是R上的非零Lie理想.若對任意的a∈R,滿足aUa=0,則a=0．

證明 由已知,可得

aua=o， ?a∈R,?u∈U.

(1)

在(1)中,用[u,r]替換u,可得a[u,r]a=o，?a,r∈R,?u∈U.

又可得a(ur-ru)a=o，?a,r∈R,?u∈U.

又可得aura-arua=o，?a,r∈R,?u∈U.

用ra來替換r，可得

auraa-araua=o,?a,r∈R,?u∈U.

(2)

由(1)和(2)可得auraa=o，?a,r∈R,?u∈U.

用u-1ra-1來替換r，可得aRa=o，?a∈R.

由R是半素?cái)M環(huán),可得a=o.

證畢.

引理2[7]設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由素環(huán),U?Z(R)是R上的非零Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子,且d(U)=0，則d=0.

將引理2推廣到半素?cái)M環(huán)上得到如下定理.

定理2設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由半素?cái)M環(huán),U?Z(R)是R上的非零Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子,且d(U)=0，則d=0.

證明 由已知可得

d(u)=0 ,?u∈U.

(3)

用[u,r]來替換u，可得d([u,r])=0 ,?u∈U,?r∈R.

又可得d(ur-ru)=0,?u∈U,?r∈R.

又可得d(ur)-d(ru)=0,?u∈U,?r∈R.

又可得d(u)r+rd(u)-d(r)u-rd(u)=0,?u∈U,?r∈R.

由(3)可得ud(r)-d(r)u=0,?u∈U,?r∈R.

又可得

[u,d(r)]=0,?u∈U,?r∈R.

(4)

在(4)中用r2來替換r，可得[u,d(r)r+rd(r)]=0,?u∈U,?r∈R.

又可得[u,d(r)r]+[u,rd(r)]=0,?u∈U,?r∈R.

又可得[u,d(r)]r+d(r)[u,r]+[u,r]d(r)+r[u,d(r)]=0,?u∈U,?r∈R.

由(4)可得

d(r)[u,r]+[u,r]d(r)=0,?u∈U,?r∈R.

(5)

又由(4)可知 [[u,r],d(r)]=0,?u∈U,?r∈R.

又可得[u,r]d(r)-d(r)[u,r]=0,?u∈U,?r∈R.

又可得

[u,r]d(r)=d(r)[u,r],?u∈U,?r∈R.

(6)

又由(5)可得(6)可得2[u,r]d(r)=0,?u∈U,?r∈R.

由R是2-扭自由的，可得 [u,r]d(r)=0,?u∈U,?r∈R.

又可得

Ud(r)=0,?r∈R.

(7)

將(7)右乘d(r)可得d(r)Ud(r)=0,?r∈R.

由定理1可得d(r)=o.

故d=0.

證畢.

3 結(jié)語

本文研究了設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由半素?cái)M環(huán),U?Z(R)是R上的非零Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子,且d(U)=0，則d=0.把素環(huán)的相關(guān)結(jié)果推廣到了半素?cái)M環(huán)上，對進(jìn)一步研究半素?cái)M環(huán)的其他性質(zhì)是很有幫助的.