基于邊光滑有限元的復(fù)合空腔聲振特性分析

陳正軒，陸靜,2*，袁麗蕓,2，陳莎

(1.廣西科技大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，柳州 545006; 2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室，柳州 545006)

彈性空腔結(jié)構(gòu)廣泛存在于工程領(lǐng)域，大到汽車的車廂，小到家電產(chǎn)品的外箱都可簡化為彈性空腔結(jié)構(gòu)。在外力、外聲源的作用下，彈性空腔會產(chǎn)生振動并向空腔內(nèi)部輻射噪聲，嚴(yán)重影響產(chǎn)品性能和舒適性。約束層阻尼結(jié)構(gòu)(constrained layer damping，CLD)是一個由黏彈層和約束層組成的夾層結(jié)構(gòu)，在空腔上敷設(shè)CLD結(jié)構(gòu)可以達(dá)到減振降噪的目的。因此，研究敷設(shè)CLD結(jié)構(gòu)復(fù)合彈性空腔的聲振特性具有重要工程意義。

復(fù)合空腔的聲振特性一直是中外學(xué)者的研究熱點之一。伍松[1]對敷設(shè)主動約束阻尼層彈性空腔聲振特性和噪聲控制進(jìn)行了研究；陸靜等[2]結(jié)合傳遞函數(shù)和精細(xì)積分用一種半數(shù)值半解析法分析了二維敷設(shè)約束層阻尼空腔的模態(tài)和阻尼特性。張超等[3]通過構(gòu)建駕駛室空腔聲學(xué)模型對內(nèi)燃機(jī)車駕駛室聲振特性進(jìn)行了分析。Gladwell等[4]提出聲-結(jié)構(gòu)能量公式，首次將有限元法用于聲固耦合方面的分析。Neffske等[5]考慮車身和聲場的耦合，建立了車身的聲固耦合有限元模型，分析了結(jié)構(gòu)對空腔聲學(xué)的影響，并通過實驗驗證了方法的正確性。楊年炯等[6]針對駕駛室噪聲問題使用有限元方法對引氣管仿真并優(yōu)化，有效控制了駕駛室的噪音。然而，傳統(tǒng)有限元法在頻率較高時需要大量的細(xì)化網(wǎng)格以保證模擬精度，且色散誤差也會影響中高頻段內(nèi)的數(shù)值模擬精度，因此，傳統(tǒng)有限元法在中高頻范圍內(nèi)的聲振計算精度和穩(wěn)定性較差。為了克服這一缺點，Liu等[7]提出了一系列基于梯度光滑的有限元算法(smoothed finite element method，SFEM)，通過軟化系統(tǒng)的剛度提高計算精度，且因不用進(jìn)行等參變化，可有效避免由網(wǎng)格畸變問題造成的精度缺失，采用低階單元和較少數(shù)量的網(wǎng)格就可獲得高精度，非常適合于較高頻段內(nèi)的聲學(xué)模擬。He等[8]應(yīng)用基于邊的有限元(edge-based smoothed finite element method，ES-FEM)方法研究了中高頻聲學(xué)問題，數(shù)值結(jié)果表明，ES-FEM可有效克服色散誤差，其在中高頻段的計算精度優(yōu)于傳統(tǒng)有限元高階單元的計算精度。

因此，現(xiàn)以敷設(shè)CLD結(jié)構(gòu)的彈性空腔為研究對象，考慮彈性空腔、CLD結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，黏彈層結(jié)構(gòu)中的黏彈性材料采用GHM模型，建立二維CLD空腔結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型。將ES-FEM引入空腔的聲場建模中，考慮腔內(nèi)聲場和結(jié)構(gòu)場的相互作用，建立分析CLD彈性空腔聲振耦合特性的數(shù)值模型。在此基礎(chǔ)上，通過編程計算驗證各個模型的有效性，并分析參數(shù)對空腔聲振響應(yīng)的影響，以期為敷設(shè)CLD結(jié)構(gòu)復(fù)合空腔的聲振特性研究和優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)。

1 二維敷設(shè)CLD彈性空腔建模

1.1 二維CLD空腔聲場建模

二維CLD彈性空腔由聲腔域，彈性層和CLD覆蓋層組成，如圖1所示。

圖1 二維CLD彈性空腔示意圖

諧激勵下，傳統(tǒng)的聲學(xué)有限元方程為

(1)

為了提高聲場在中高頻的計算精度，采用ESFEM的原理對聲壓梯度進(jìn)行梯度光滑處理，其中，光滑整體剛度矩陣由每個光滑域的剛度矩陣組裝得到，具體過程如下。

用三角形單元(即T3單元)離散問題域，得到域內(nèi)Ne個單元、Ns條邊和Nn個節(jié)點。問題域任意兩個單元，基于邊AB所形成的光滑域EABF是由兩個三角形光滑子域ABE和AFB組成，如圖2所示。

圖2 第k個光滑域

采用光滑梯度技術(shù)，聲學(xué)問題的光滑聲壓梯度為

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 CLD空腔結(jié)構(gòu)有限元模型

CLD梁由空腔結(jié)構(gòu)、黏彈層和約束層構(gòu)成，結(jié)構(gòu)如圖3所示。為了便于分析，假設(shè)約束層阻尼梁單元滿足如下條件[10]：①基層梁和約束層梁不考慮剪切變形，黏彈層只考慮剪切變形；②同一截面任意點的撓度和轉(zhuǎn)角相同；③僅阻尼層有耗散能量；④不計轉(zhuǎn)動慣性；⑤層間位移連續(xù)。

L和b為梁單元的長和寬；hp、hv和hc分別為結(jié)構(gòu)層、黏彈層和約束層的厚度；w和θ為梁單元的撓度和轉(zhuǎn)角；uc和up為約束層和結(jié)構(gòu)層的軸向位移；i、j為梁單元的左右兩個端點

(6)

式(6)中：ue=[wi,θi,uci,upi,wj,θj,ucj,upj]T為約束層和結(jié)構(gòu)層單元節(jié)點位移向量；Ν1、N2、N3為梁單元任意點單元型函數(shù)；N′1為轉(zhuǎn)角θ的型函數(shù)。

黏彈層采用一階剪切變形理論，根據(jù)層間位移連續(xù)性理論[11]，可得

(7)

(8)

由變分原理和哈密頓原理可得到CLD梁單元運(yùn)動方程為

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Λv為黏性剛度矩陣kv的正特征值組成的對角矩陣；Rv為相應(yīng)的正交特征向量矩陣。由此可得式(9)的二階等價模型為

(13)

(14)

1.3 二維結(jié)構(gòu)-聲耦合模型

部分覆蓋CLD空腔結(jié)構(gòu)域包含彈性梁和CLD梁兩部分，聲學(xué)域被彈性結(jié)構(gòu)和CLD結(jié)構(gòu)包圍。在考慮結(jié)構(gòu)與聲的耦合作用時，彈性梁的振動方程可以改寫為

(15)

Ffb=Hbp

(16)

式(16)中：p為聲壓；Hb為空腔與彈性結(jié)構(gòu)的耦合矩陣。

(17)

式(17)中：Γbf為彈性耦合邊界；Nsb為彈性結(jié)構(gòu)在邊界處的位移型函數(shù)分量；n為耦合邊界處的單位外法線方向；Nf為空腔在邊界處的型函數(shù)分量。

采用同樣的方法可以求出考慮結(jié)構(gòu)與聲的耦合作用時CLD梁的振動方程為

(18)

考慮結(jié)構(gòu)與聲的耦合作用，耦合系統(tǒng)中的空腔聲學(xué)光滑有限元方程也可改寫為

(19)

結(jié)合式(15)、式(18)和式(19)，可獲得部分敷設(shè)CLD彈性空腔的聲振耦合控制方程為

(20)

2 數(shù)值算例

2.1 基于邊光滑有限元的二維聲腔模型驗證

二維空腔的固有頻率的理論公式[13]可簡化為

(21)

式(21)中：c為聲速；lx、ly分別為空腔在x、y方向的尺寸大小。

考慮一個尺寸為2.0 m×1.0 m的矩形剛性空腔，采用三角形網(wǎng)格離散為400個單元，231個節(jié)點，聲速為340 m/s，分別采用傳統(tǒng)有限元(finite element method，F(xiàn)EM)、ES-FEM和解析法進(jìn)行模態(tài)分析，得到聲腔的固有頻率比較如表1所示。由表1可知，ES-FEM得到的固有頻率與解析解的誤差均小于1%，證明方法的有效性。隨著固有頻率的增大，F(xiàn)EM的精度逐漸降低，而ES-FEM的計算誤差基本保持穩(wěn)定，表明該方法在中高頻段內(nèi)的計算精度和穩(wěn)定性優(yōu)于傳統(tǒng)FEM。

表1 聲腔固有頻率的比較

2.2 CLD梁的模型驗證

本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)值的比較如表2所示。由表2可知，本文所得到的前四階固有頻率和損耗因子與文獻(xiàn)值吻合較好，誤差均小于4%，驗證了CLD模型的準(zhǔn)確性。

表2 本文計算結(jié)果與參考文獻(xiàn)[11]的比較

2.3 二維空腔彈性結(jié)構(gòu)模型驗證

考慮一個由四根彈性梁圍成的2.0 m×1.0 m矩形彈性空腔，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：E=205.8×109Pa，ρ=7 840 kg/m3，μ=0.3，h=0.001 m，b=0.003 m,采用2節(jié)點單元離散，單元長度為0.1 m。采用Ansys軟件中的beam188單元仿真的結(jié)果與本文方法得到固有頻率的比較如表3所示，由表3可以看出，兩者的相對誤差不超過3%，證明了本文方法的有效性。

表3 二維彈性空腔固有頻率的比較

2.4 二維CLD彈性空腔耦合模型聲振特性

考慮圖4所示部分敷設(shè)CLD彈性空腔，下邊兩角點鉸支，空腔長寬分別為a=2.0 m,b=1.0 m，左側(cè)中間部分0.2 m處施加振速為v0=0.001m/s的激勵?？諝庵械穆曀贋?40 m/s，空氣密度為1.29 kg/m3，基梁、約束梁和黏彈層梁的參數(shù)與2.2節(jié)相同。空腔內(nèi)部采用三角形網(wǎng)格進(jìn)行離散(424個單元，252個節(jié)點)，邊界梁單元和CLD梁單元的長度均為0.1 m。令聲壓參考點的坐標(biāo)是A(0.93 m，0.55 m)，振動參考點的坐標(biāo)是B(1.0 m，0 m)。同時，定義聲壓級為

圖4 二維部分敷設(shè)CLD空腔示意圖

(22)

式(22)中：pref為聲壓參考值，取pref=2×10-5Pa；PA為A點聲壓響應(yīng)。

定義結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)為

(23)

式(23)中：uref為位移參考值，uref=10-12m;uB為B點聲壓響應(yīng)。

基于同網(wǎng)格背景，分別采用ES-FEM和FEM計算二維CLD空腔耦合模型A點的聲學(xué)響應(yīng)隨頻率fre的變化，如圖5所示。由圖5可知：在0～300 Hz內(nèi)，兩種方法的計算結(jié)果都吻合良好。但是，隨著頻率的增加，兩種方法的差別逐漸增大。

圖5 聲壓響應(yīng)驗證

基于同網(wǎng)格背景，分別采用ES-FEM和FEM計算二維CLD空腔耦合模型A點的聲學(xué)響應(yīng)隨頻率fre的變化，如圖5所示。由圖5可知：在0～300 Hz內(nèi)，兩種方法的計算結(jié)果都吻合良好。但是，隨著頻率的增加，兩種方法的差別逐漸增大。

為比較兩種方法在中高頻段的精度，采用傳統(tǒng)有限元加密網(wǎng)格(1 600個單元，816個節(jié)點)的解作為參考解，三種算法結(jié)果如圖6所示。由圖6可以看出，相比傳統(tǒng)FEM，ES-FEM解與參考解更接近，表明ES-FEM在中高頻段內(nèi)計算精度優(yōu)于FEM。

圖6 不同方法的參考點聲壓響應(yīng)

為了研究CLD對結(jié)構(gòu)的降噪效果，采用ESFEM分別對彈性空腔和側(cè)面敷設(shè)CLD彈性空腔的A點聲壓響應(yīng)進(jìn)行求解，如圖7所示。由圖7可知，在絕大多數(shù)頻段內(nèi)，CLD空腔的腔內(nèi)聲壓明顯低于彈性空腔，表明CLD結(jié)構(gòu)具有良好的降噪作用。

圖7 不同空腔內(nèi)參考點的聲壓級響應(yīng)

令空腔結(jié)構(gòu)的厚度為0.003 m，約束層的厚度為0.001 2 m，黏彈層厚度分別為0.002、0.003、0.005 m，其余材料參數(shù)不變，分別計算不同厚度黏彈層時內(nèi)部聲場點A的聲壓響應(yīng)和振動參考點B的振動響應(yīng)，結(jié)果如圖8所示。圖8(a)表明增加黏彈層厚度可以降低空腔內(nèi)的聲壓，而圖8(b)表明增加黏彈層厚度對結(jié)構(gòu)共振頻率處的位移響應(yīng)幅值有較明顯的衰減。由此可知，適當(dāng)增加黏彈層厚度可增加振動能量的衰減，進(jìn)而提高彈性空腔的減振降噪的水平。

圖8 黏彈層厚度對空腔聲壓和振動影響

令黏彈層的厚度為0.002 m，約束層厚度分別為0.001 2、0.002、0.003 m，其余參數(shù)不變，分別計算內(nèi)部聲場點A的聲壓響應(yīng)和B點的振動響應(yīng)，如圖9所示。由圖9可知，在部分頻率范圍內(nèi)增加約束層厚度能起到減振降噪的作用，但是，在一些頻率范圍內(nèi)，增加約束層的厚度反而會產(chǎn)生較大的聲壓，即較厚的約束層不一定能獲得較好的減振降噪效果。

圖9 約束層厚度對空腔聲壓和振動影響

3 結(jié)論

基于ES-FEM建立了二維聲場的計算模型，結(jié)合GHM模型推導(dǎo)了約束層阻尼梁的動力學(xué)有限元模型，并由耦合條件建立了二維CLD彈性空腔的結(jié)構(gòu)-聲耦合模型。運(yùn)用算例對所建模型進(jìn)行驗證分析，討論了參數(shù)對CLD彈性空腔振動及噪聲的影響，得出如下結(jié)論。

(1)與傳統(tǒng)有限元法相比，本文建立的CLD彈性空腔耦合模型在中高頻內(nèi)具有更高的精度和穩(wěn)定性，可為此類復(fù)合空腔的中高頻段聲振特性分析提供一種方法。

(2)約束層阻尼結(jié)構(gòu)可以有效減小彈性空腔的振動和聲學(xué)響應(yīng)，但黏彈層和約束層對其聲振特性的影響不同：在文中計算頻段內(nèi)，增加黏彈層厚度可以有效抑制彈性空腔的結(jié)構(gòu)振動、降低腔內(nèi)噪聲；不同頻率范圍內(nèi)約束層厚度對CLD空腔的減振降噪效果呈現(xiàn)出不同的影響，增加約束層厚度不一定能獲得較好的效果。