具有跳躍項(xiàng)的Duffing方程的擬周期解?

張新麗

(1.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100; 2.青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 山東 青島 266061)

0 引言

近年來，具有跳躍項(xiàng)的半線性Duffing 方程

x″+ax+-bx-=f(x,t)

(1)

已成為非線性振動(dòng)理論研究的熱點(diǎn)(見文獻(xiàn)[1-10])，其中a和b是正常數(shù)，且a≠b；x+=max{x,0}，x-=max{-x,0}，當(dāng)方程中f(x,t)只與t有關(guān)時(shí)，方程(1)變?yōu)?/p>

x″+ax+-bx-=f(t)。

(2)

Dancer[1]和Fucik[2]研究了方程(2)的邊值問題。Ortega[3]研究了方程

x″+ax+-bx-=1+εh(t)。

(3)

他證明了當(dāng)|ε|充分小，h(t)∈C4(R/2πZ)時(shí)，一切解是有界的，即對(duì)于任意t∈R，解x(t)

Liu[7]將方程(2)中f(t)是周期情形的結(jié)果推廣到了擬周期情形。他首先建立了擬周期反轉(zhuǎn)映射的不變曲線的存在性定理，并利用它證明了當(dāng)f(t)是實(shí)解析擬周期函數(shù)時(shí)，方程(2)擬周期解的存在性和任意解的有界性。

文獻(xiàn)[8]建立了光滑擬周期映射的不變曲線的存在性定理，并證明了當(dāng)f(t)是光滑擬周期函數(shù)時(shí)，方程(2)的擬周期解的存在性和任意解的有界性。

Wang[9]研究了方程(1)中函數(shù)f(x,t)=p(t)-φ(x)的情況，其中p(t)為光滑的2π周期函數(shù)，擾動(dòng)項(xiàng)φ(x)為有界函數(shù)，利用Ortega建立的扭轉(zhuǎn)定理，證明了周期解的有界性。

文獻(xiàn)[10]研究了方程

x″+ax+-bx-=Gx(x,t)+p(t)。

(4)

式中：p(t)∈C23(R/2πZ)；G(x,t)∈C21(R×R/2πZ)，利用Moser 小扭轉(zhuǎn)定理證明了方程任意解的有界性。

受文獻(xiàn)[8-9]啟發(fā)，本文研究方程

x″+ax+-bx-+φ(x)=p(t)。

(5)

式中：擾動(dòng)項(xiàng)φ(x)為有界函數(shù)，且φ(0)=0；p(t)是光滑擬周期函數(shù)，其頻率ω=(ω1，ω2，…，ωn)滿足Diophantine條件

(6)

式中：|k|=|k1|+|k2|+…+|kn|；常數(shù)σ0；μ>0。利用文獻(xiàn)[8]中的扭轉(zhuǎn)定理，證明了方程(5)的擬周期解的存在性和任意解的有界性。

先引入輔助函數(shù)[4]

C(t)是初值問題

的解。記S(t)=-C′(t)，則

(Ⅰ)C(-t)=C(t),S(-t)=-S(t)。

(Ⅲ)S2(t)+a(C+(t))2+b(C-(t))2≡a。

本文的主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)對(duì)任意的k∈Zn{0}有〈k,ωω0〉?Z，若(H1)p(t)∈Cq+1(q>2n+1)，且

(H3)bφ(+∞)-aφ(-∞)≠p0(b-a)。

則方程(5)有無窮多個(gè)擬周期解，且所有解是有界的。

(H4)p(t)∈Cq+1(q>2n+3)，且

則方程(5)有無窮多個(gè)擬周期解，且所有解是有界的。

在下文中，規(guī)定c<1和C>1是兩個(gè)通用的正常數(shù)。

1 準(zhǔn)備工作

方程(5)等價(jià)于下面的非自治Hamilton系統(tǒng)

(7)

其中

容易證明下面的引理：

引理1對(duì)任意(x0,y0)∈R2,t0∈R，哈密頓系統(tǒng)(7)在整個(gè)t軸上存在滿足z(t0)=(x0,y0)的解為z(t)=(x(t;t0,x0,y0),y(t;t0,x0,y0))。

利用變換

(8)

其中

(9)

(10)

由φ(x)∈Cq(R),p(t)∈Cq+1(R/2πZ)知，I1,I2關(guān)于r,θ分別為Cq+1,C2。記

(11)

有如下結(jié)論(見文獻(xiàn)[4])：

(12)

(Ⅱ)

(13)

(Ⅲ)若函數(shù)

(14)

(15)

(Ⅳ)若假設(shè)

(16)

其中

(17)

則

(18)

(Ⅴ)

(19)

(20)

(Ⅶ)令

(21)

(22)

下面對(duì)哈密頓系統(tǒng)(8)做正則變換。系統(tǒng)(8)的Hamilton函數(shù)h(r,θ,t)由(9)式給出。由于

rdθ-hdt=-(hdt-rdθ)，

這意味著若從(9)式能解出r=r(h,t,θ)作為h,t和θ的函數(shù)，于是

(23)

方程(23)是一個(gè)Hamilton系統(tǒng)，它以r=r(h,t,θ)為其Hamilton函數(shù)，以h,t和θ分別作為作用變量、角變量和時(shí)間變量。由(9)知

且當(dāng)r>>1時(shí)，

(24)

由隱函數(shù)定理知，存在函數(shù)R=R(h,t,θ)，使得

r(h,t,θ)=ω0h-R(h,t,θ)，

(25)

其中R1(h,t,θ)滿足(18)。因此系統(tǒng)(8)轉(zhuǎn)化為

(26)

引理2[9]存在正則變換Φ1：h=ρ,t=τ+T(ρ,θ)，其中T(ρ,θ+2π)=T(ρ,θ)。在此變換下，Hamilton函數(shù)(25)變換為

(27)

2 定理的證明

本節(jié)利用文獻(xiàn)[8]中的小扭轉(zhuǎn)定理來證明2個(gè)定理?？紤]正則變換后的Hamilton系統(tǒng)

(28)

(29)

顯然，系統(tǒng)(28)變換為

(30)

其中

由(21)知

(31)

將J(ω0δ-2v)代入Hamilton函數(shù)H(v,τ,θ,δ)，得

其中

由注釋(Ⅶ)和引理2得到

(32)

新的Hamilton函數(shù)H(v,τ,θ,δ)代入系統(tǒng)(29)得到

(33)

在初始條件(v(v0,τ0,0),τ(v0,τ0,0))=(v0,τ0)下，系統(tǒng)(33)存在解(v(v0,τ0,θ),τ(v0,τ0,θ))，可設(shè)它有如下表達(dá)式

(34)

因此系統(tǒng)(33)的Poincare映射P1為

P1(v0,τ0)=(v0+δF2(v0,τ0,θ),τ0+ω0θ+

δF1(v0,τ0,θ))。

對(duì)(34)兩邊求導(dǎo)得

(35)

由式(32)和(35)可得，當(dāng)δ→0+,k+l≤q-2,時(shí)，

其中C0是與δ無關(guān)的常數(shù)。此時(shí)記作

F1(v0,τ0,θ)=Oq-2(1),F2(v0,τ0,θ)=Oq-2(1)。

若當(dāng)δ→0+，k+l≤q-2時(shí)

記作

F1(v0,τ0,θ)=oq-2(1),F2(v0,τ0,θ)=oq-2(1)。

因此

v(v0,τ0,θ)=v0+δOq-2(1),
τ(v0,τ0,θ)=τ0+ω0θ+δOq-2(1)。

(36)

由式(35)直接計(jì)算知

F1(v0,τ0,2π)=

F2(v0,τ0,2π)=

故Poincare映射P1的表達(dá)式為：

(37)

其中

(38)

(39)

(40)

假設(shè)函數(shù)p(t)具有如下Fourier展開式

定理1的證明：若對(duì)任意的k∈Zn{0}有〈k,ωω0〉?Z，由文獻(xiàn)[8]中的定理3.1知，若δ充分小且

即bφ(+∞)-aφ(-∞)≠p0(b-a)；

由式(8)及Fubini定理知

滿足文獻(xiàn)[8]中定理3.1的所有條件，因此系統(tǒng)(33)的Poincare映射有擬周期不變曲線，頻率為(ω1，ω2，…，ωn)。從而系統(tǒng)(7)有無窮多個(gè)擬周期解，且所有解都是有界的。定理證畢。

注1：從定理1的證明過程知，系統(tǒng)(7)有無窮多個(gè)頻率為

的擬周期解，其中α滿足下面的條件

其中常數(shù)γ，δ充分小，

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中定理3.4證明過程知，

l=l1(u0,τ0),m=l2(u0,τ0)，

由于?τ0∈R，

不妨設(shè)

令

則

滿足了文獻(xiàn)[8]中定理3.4的所有條件，因此系統(tǒng)(33)的Poincare映射有擬周期不變曲線，頻率為(ω1，ω2，…，ωn)。因此系統(tǒng)(7)有無窮多個(gè)擬周期解，且所有解都是有界的。定理證畢。

注2：從定理2的證明過程知，系統(tǒng)(7)有無窮多個(gè)擬周期解，其頻率為

其中α滿足下面的條件

α∈[Ω(1)+12-3γ,Ω(2)-12-3γ],

致謝:本文的研究和寫作過程中，樸大雄教授給予了悉心地指導(dǎo)，并提出了很多寶貴意見，作者在此向他表示誠(chéng)摯的謝意。