自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波器載波環(huán)設(shè)計*

王福軍，丁小燕，王 前，白英廣

（1.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094；2.河北省科學(xué)院地理科學(xué)研究所河北省地理信息開發(fā)應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，石家莊 050000）

0 引言

載波跟蹤環(huán)路是衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)設(shè)計的核心環(huán)節(jié)，載波跟蹤環(huán)路設(shè)計要同時考慮動態(tài)適應(yīng)性和跟蹤精度指標(biāo)，自適應(yīng)跟蹤技術(shù)能夠較好地解決這個問題。傳統(tǒng)載波跟蹤環(huán)路自適應(yīng)跟蹤技術(shù)主要有兩類，一類是鎖相環(huán)變環(huán)路帶寬技術(shù)，通過在線檢測和估計信號和噪聲模型參數(shù)，自適應(yīng)地調(diào)整鎖相環(huán)路等效噪聲帶寬［1-2］。另一類是以鎖相環(huán)和鎖頻環(huán)組合為代表的自適應(yīng)階數(shù)技術(shù)。通過實時鑒頻判斷經(jīng)驗門限硬選擇，或自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重來確定鎖相環(huán)和鎖頻環(huán)在載波跟蹤環(huán)路中作用［3-5］。自適應(yīng)跟蹤技術(shù)在一定程度上能夠改善傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路的動態(tài)性能和穩(wěn)定性，但是傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路是在S 域建立對噪聲和信號的建模，對動態(tài)應(yīng)力、晶振抖動等非平穩(wěn)過程建模困難，因此，基于模型的自適應(yīng)跟蹤技術(shù)通常無法達(dá)到最優(yōu)且不穩(wěn)定，而且，在跟蹤過程中無法得到預(yù)測的跟蹤狀態(tài)誤差，實現(xiàn)自適應(yīng)跟蹤。

卡爾曼濾波算法能夠很好地對信號進(jìn)行估計和預(yù)測，而且對跟蹤環(huán)路中的信號很容易建模，近年來在GNSS 載波跟蹤環(huán)路中得到廣泛應(yīng)用。根據(jù)觀測量的不同可以分為兩類：一類是用鑒別器輸出結(jié)果作為觀測量，狀態(tài)方程和觀測方程均為線性的［6-7］；另一類直接用IQ 支路相關(guān)積分結(jié)果作為觀測量，觀測方程為非線性的［8-10］。兩類卡爾曼濾波算法的優(yōu)異性能均是建立在對載波跟蹤環(huán)路的準(zhǔn)確建模和噪聲模型參數(shù)的準(zhǔn)確估計基礎(chǔ)上的，否則，卡爾曼濾波器的性能就會下降甚至發(fā)散。因此，同樣需要研究適合應(yīng)用到GNSS 載波跟蹤環(huán)路的自適應(yīng)卡爾曼濾波技術(shù)。

線性自適應(yīng)卡爾曼濾波算法具有實時性好、可靠性高、易于在基帶處理中實現(xiàn)等優(yōu)點。本文結(jié)合線性模型的自適應(yīng)Qk/Rk算法［10］和強(qiáng)跟蹤算法［7-9］，提出了一種線性自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤濾波算法。在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動場景下，采用自適應(yīng)Qk/Rk卡爾曼濾波濾波器跟蹤環(huán)路，實現(xiàn)自適應(yīng)場景噪聲變化，當(dāng)場景切換時，利用強(qiáng)跟蹤技術(shù)提高跟蹤環(huán)路魯棒性。

1 基于卡爾曼濾波器的跟蹤環(huán)設(shè)計

1.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程

跟蹤環(huán)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可表示為

qk為載波多普勒頻率變化率噪聲（即多普勒頻率二次變化率）功率譜密度，可以根據(jù)載波相位動態(tài)性進(jìn)行估計。

觀測方程可以表示為

1.2 卡爾曼濾波器模型

則xk的估計可按下述過程求解：

1）時間更新方程

2）測量更新方程

1.3 數(shù)控振蕩器（NCO）更新

NCO 控制量應(yīng)該與第k+1 步環(huán)路輸入信號相位匹配，其中載波頻率估計可以由式（11）求得，但第k+1 步的卡爾曼增益和測量殘差在第k 步是未知的，可以認(rèn)為第k 步和第k+1 步的卡爾曼增益和測量殘差近似不變，則第k 步輸入的NCO 控制量表達(dá)式為［13］

1.4 小結(jié)

對于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，在初始時刻，卡爾曼增益和估計誤差依賴于先驗估計誤差的協(xié)方差P0和觀測噪聲方差Rk的相對權(quán)重，即P0/Rk，為了保證環(huán)路的魯棒性，通常會取一個比較大的P0，此時環(huán)路等效噪聲帶寬和卡爾曼增益Kk比較大。隨著跟蹤算法的遞推，初始時刻的P0值估計誤差將被快速校正并收斂，環(huán)路等效噪聲帶寬和卡爾曼增益隨著P0/ Rk的減小而下降。當(dāng)跟蹤環(huán)路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)區(qū)域后，P0值穩(wěn)定，其值取決于過程噪聲協(xié)方差Qk與和觀測噪聲方差Rk的相對權(quán)重，即Qk/Rk。研究表明［7］，當(dāng)環(huán)路穩(wěn)定后，卡爾曼濾波器與3 階PLL等價，其增益為：

因此，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波不具備自適應(yīng)等效噪聲帶寬的能力。

2 自適應(yīng)跟蹤技術(shù)

2.1 算法分析

載波跟蹤環(huán)路的最終設(shè)計目標(biāo)是在保證穩(wěn)定跟蹤的同時，在盡量多的時間內(nèi)具有較高的跟蹤精度，也就是說，自適應(yīng)卡爾曼濾波要解決兩個問題，一是在場景切換時濾波器要具有穩(wěn)健的跟蹤能力；二是在場景穩(wěn)定后濾波器又具有較高的跟蹤精度。針對第1 個問題，通過上面對標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器工作原理分析可知，在初始時刻，通過選取比較大的P0值可使環(huán)路具有較大的等效噪聲帶寬，因此，可以將場景切換過程類似于初始階段，通過強(qiáng)制調(diào)整Pk值來改變環(huán)路等效噪聲帶寬。強(qiáng)跟蹤濾波器就是通過實時估計新息統(tǒng)計量調(diào)整狀態(tài)預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣Pk，提高環(huán)路的穩(wěn)定性。針對第2 個問題，穩(wěn)態(tài)跟蹤精度主要依賴于與場景相匹配的Qk/Rk值，不同場景的Qk/Rk一般是不同的，為了保證穩(wěn)態(tài)跟蹤精度需要實時在線估計Qk和Rk。自適應(yīng)Qk/Rk卡爾曼濾波算法能夠給出Qk和Rk值的估計。

2.2 強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法

強(qiáng)跟蹤濾波器是針對擴(kuò)展卡爾曼濾波器對系統(tǒng)模型不確定性、初始狀態(tài)統(tǒng)計不準(zhǔn)確和應(yīng)對突變等不確定因素魯棒性較差而提出的［8］。它通過實時估計新息統(tǒng)計量調(diào)整狀態(tài)預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣以及相應(yīng)的增益矩陣，強(qiáng)制使不同時刻的新息序列保持相互正交，即將基本卡爾曼濾波器遞推方程中的式（8）修改為

式中，Pek為卡爾曼濾波新息協(xié)方差，其值為

滑動窗口寬度m 可以根據(jù)實際場景需要確定，窗口寬度越大，估計值越準(zhǔn)確，但算法響應(yīng)能力越差。

2.3 自適應(yīng)Qk/Rk 卡爾曼濾波算法

目前應(yīng)用比較廣泛的基于極大后驗（MAP）估計準(zhǔn)則的sage-Husa［14］方法能夠?qū)k和Rk值進(jìn)行無偏估計，但該方法很容易引起發(fā)散，且對初始條件的選取非常敏感［15］，如果應(yīng)用到載波環(huán)路中需要增加條件限制。本文參考文獻(xiàn)［10］提出Qk值改進(jìn)估計方法，其表達(dá)式如下：

式中，θe3PLL量綱為Hz，fL為載波頻率，c 為光速，jerk為動態(tài)信號的視距加加速度，則載波多普勒頻率二次變化率為：

綜合式（14）、式（23）和式（24）可得

測量噪聲矩陣Rk可以通過載噪比來估計［7］：

式中，（C/N0）k可以根據(jù)信號加噪聲的功率在不同噪聲帶寬上的差異進(jìn)行估計［12］，計算方法為

式中，Pwb（k）為帶寬為1/Tcoh的寬帶帶寬功率，Pnb（k）帶寬為1/（MTcoh）的窄帶帶寬功率，Pnw（k）窄帶功率Pnb（k）與寬帶功率Pwb的比值，μp為k 個時刻Pnw（k）的平均值，主要為了降低比率的噪聲量，Tcoh為相關(guān)積分時間，M 值和K 值根據(jù)經(jīng)驗確定。

2.4 小結(jié)

通過以上分析，自適應(yīng)Qk/Rk卡爾曼濾波算法能夠?qū)崟r在線估計系統(tǒng)噪聲方差Qk和觀測噪聲方差Rk，相比標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，具有較好的跟蹤精度和一定的動態(tài)適應(yīng)性。但是，當(dāng)初始參數(shù)設(shè)置誤差較大或載體進(jìn)行劇烈運(yùn)動場景切換時，由于算法對Qk值和Rk值估計收斂速度慢，跟蹤環(huán)路仍然可能失鎖，因此，算法適合載體運(yùn)動狀態(tài)變化不劇烈的運(yùn)動場景內(nèi)跟蹤。而強(qiáng)跟蹤算法是在載體運(yùn)動狀態(tài)劇烈變化時，通過強(qiáng)制調(diào)整狀態(tài)預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣以及相應(yīng)的增益矩陣，提高算法魯棒性。當(dāng)載體運(yùn)動狀態(tài)劇烈變化結(jié)束后，仍然通過初始設(shè)定的固定Qk值和Rk值對載體進(jìn)行跟蹤，一般不同運(yùn)動場景的Qk值和Rk值是不同的，因此，不能保證跟蹤精度，該算法適合載體運(yùn)動場景切換時的暫態(tài)跟蹤。

針對以上問題，本文提出了自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤濾波算法。通過實時在線估計新息y～k統(tǒng)計量，根據(jù)新息y～k統(tǒng)計量大小調(diào)整Qk值、Rk值、Pk，k-1值以及相應(yīng)的增益矩陣，因此，算法既能保證跟蹤環(huán)路跟蹤精度，也提高了動態(tài)適應(yīng)性。

3 仿真與比較

本文用于GPS L1 頻點信號仿真的數(shù)據(jù)有2 組：實測靜態(tài)數(shù)據(jù)和由仿真軟件生成的動態(tài)仿真數(shù)據(jù)，中頻信號頻率為9.548 MHz，采樣率為38.192 MHz，環(huán)路更新率為1 ms。為了驗證本文提出算法的有效性，分別對標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波（簡稱算法1）、強(qiáng)跟蹤濾波（簡稱算法2）、自適應(yīng)Qk/Rk濾波（簡稱算法3）和自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤濾波（簡稱算法4）4 種算法進(jìn)行仿真。為了確保公平性，設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波和強(qiáng)跟蹤濾波算法的qk和Rk值為相同的固定常數(shù)q0和R0，自適應(yīng)Qk/Rk濾波和自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤濾波算法的值也設(shè)置為q0值。動態(tài)場景仿真參數(shù)見表1。下頁圖1～圖3 是在不同仿真條件下，4 種跟蹤算法的載波相位誤差和多普勒頻率跟蹤效果對比圖，圖1～圖3 中階段1 的多普勒頻率不為0（大約38 Hz），主要是由捕獲引起的捕獲頻率誤差。

表1 仿真參數(shù)表

圖1 仿真條件1 載波相位誤差和多普勒頻率跟蹤效果對比圖

圖1 為算法1～算法4 對靜態(tài)實測數(shù)據(jù)跟蹤的載波相位誤差和多普勒頻率對比圖，載波相位誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.018 42 Hz，0.014 81 Hz、0.018 42 Hz和0.014 81 Hz。從圖1 中可以看出，1）在初始階段，算法1和算法3 跟蹤結(jié)果完全相同，算法2 和算法4 跟蹤結(jié)果完全相同，且算法2、算法4 比算法1、算法3 更快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。一是由于載波相位誤差大和初始化參數(shù)不準(zhǔn)確等原因，導(dǎo)致初始載波相位跟蹤誤差大，算法2、算法4 的自適應(yīng)衰減因子k 在跟蹤過程中發(fā)揮了作用，使環(huán)路有更寬的等效噪聲帶寬，因此，能夠更快地進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)；二是由于初始載波相位誤差還沒有大到使自適應(yīng)Qk/Rk估計算法認(rèn)為出現(xiàn)模型外系統(tǒng)噪聲程度，因此，算法3、算法4 中的自適應(yīng)Qk/Rk估計算法沒有發(fā)揮作用。2）在穩(wěn)定階段，算法1～算法4 的跟蹤精度基本相同。由于跟蹤精度主要依賴于Qk/Rk值，算法1、2 的qk和Rk值為固定常數(shù)q0和R0，且R0值是根據(jù)實測靜態(tài)場景的觀測噪聲方差統(tǒng)計量設(shè)置的，接近真實統(tǒng)計量；算法3 和算法4 的模型內(nèi)系統(tǒng)噪聲方差也為q0，實時估計的Rk也接近R0，因此，4 種算法的跟蹤精度基本相同。

圖2 仿真條件2 載波相位誤差和多普勒頻率跟蹤效果對比圖

圖2 為算法1～算法4 對仿真2 數(shù)據(jù)跟蹤的載波相位誤差和多普勒頻率對比圖，載波相位誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.036 21 Hz，0.020 01 Hz 和0.023 57 Hz、0.016 83 Hz。從圖中可以看出，1）在初始階段，4 種算法按照跟蹤精度（由低到高）、收斂時間（由長到短）、等效噪聲帶寬（由小到大）指標(biāo)排序依次為算法1、算法3、算法2 和算法4。算法3 好于算法1 是由于自適應(yīng)Qk/Rk算法實時估計的Rk值更接近真實值；算法2 好于前兩種算法是由于自適應(yīng)衰減因子k 在跟蹤過程中發(fā)揮了作用，說明針對較大的載波相位誤差，強(qiáng)跟蹤算法比自適應(yīng)Qk/Rk算法更靈敏；算法4 好于前三種算法是由于自適應(yīng)衰減因子k和自適應(yīng)Qk/Rk算法同時發(fā)揮作用。2）在場景切換階段，4 種算法的跟蹤效果排序與初始階段相同，不同點是算法3、算法4 中自適應(yīng)Qk/Rk算法不但實時估計Rk值，而且由于跟蹤誤差比較大，也估計出存在模型外系統(tǒng)噪聲，提高相應(yīng)的Qk值及等效噪聲帶寬，進(jìn)一步提高算法的動態(tài)性能。

圖3 為算法1～4 對仿真3 數(shù)據(jù)跟蹤載波相位誤差和多普勒頻率對比圖，載波相位誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.102 8 Hz，0.025 01 Hz、0.105 1 Hz 和0.019 86 Hz。從圖中可以看出，在遇到運(yùn)動狀態(tài)變化較大的場景切換時，算法1 和算法3 失鎖，而算法2 和算法4 仍能穩(wěn)定跟蹤，且算法4 動態(tài)適應(yīng)能力強(qiáng)于算法2。

圖3 仿真條件3 載波相位誤差和多普勒頻率跟蹤效果對比圖

4 結(jié)論

本文提出的自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤算法對于初始狀態(tài)統(tǒng)計不準(zhǔn)確、場景切換（運(yùn)動狀態(tài)突變）和噪聲變化等不確定因素表現(xiàn)出良好的濾波性能。利用自適應(yīng)Qk/Rk濾波算法實時估計和修正噪聲統(tǒng)計量來自適應(yīng)跟蹤過程中的噪聲變化，引入強(qiáng)跟蹤技術(shù)有效解決算法對初始值敏感、容易發(fā)散等問題。該算法比自適應(yīng)Qk/Rk濾波算法具有較強(qiáng)的魯棒性，比強(qiáng)跟蹤算法具有較強(qiáng)的噪聲自適應(yīng)性，在GNSS 載波跟蹤環(huán)路應(yīng)用中有廣闊的前景。