注重基礎性綜合性，體現引導教學功能

陳潤鑫

【摘要】解三角形和數列是中學數學的重要知識板塊，是高考考查的重點內容。高考數學考查解三角形和數列內容的主要特征有：貼近教材，注重基礎性;各知識內容交叉、滲透，體現綜合性;嘗試創(chuàng)新試題結構，引入探究性，突出引導性。中學數學教學要重視基礎知識，著力培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，提高學生分析和解決問題的能力。

【關鍵詞】高考;數學;核心素養(yǎng);解三角形;數列

解三角形和數列是高中數學的基礎且重要的內容，現行中學課程標準中，這些內容都是在必修課程中教授的，可見其基礎性和重要性。高考數學對解三角形及數列的考查，在注重基礎性，體現綜合性的同時，迎合中國新高考評價體系，突出引導性。

一、解三角形和數列內容的考查特點

1.注重基礎性

解三角形和數列是高考數學的必考內容。歷年高考數學試題全面覆蓋正余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形中的邊、角、面積的計算和有關的求范圍問題。對于數列，特別是等差、等比數列的基本運算和性質更是高考考查熱點。通過對數列的求通項、求前n項和基本原理和基本方法的考查，增強了考察內容的基礎性，使學生牢固掌握解決問題的基本思想和方法，為學科核心素養(yǎng)的提升創(chuàng)造條件，打牢基礎。

2.體現綜合性

解三角形和數列涉及的內容多，高考由于試卷容量的限制，不可能涉及很多的試題，往往會通過試題的綜合設計，將解三角形及數列的不同內容進行銜接或聯系起來考查。如將解三角形的有關范圍問題與不等式相結合;將解三角形的平面幾何問題與立體幾何中的幾何體相結合;將數列與函數、不等式相結合等。注重試題的綜合性，強調了各分支內容的相互交叉與滲透。要求學生將學過的基礎知識、基本原理和基本方法綜合運用起來，分析問題，解決問題，從而引導學生注重認識事物整體的結構功能和作用，鼓勵學生從整體上分析各種現象的本質和規(guī)律，促進學生形成更全面、完整的知識結構。

3.突出引導性

新的高考評價體系中明確提出，高考圍繞學科主干知識內容，加強對基本概念、基本思想方法的考查，杜絕偏題怪題和繁難試題，引導學生重視教材，夯實學生學習基礎，給學生提供深度學習和思考空間。高考試題在設置上通過創(chuàng)設新穎的試題情境，引導學生進行深入思考和探究，實現從解題到解決問題的轉變;引導教學應注重學生核心素養(yǎng)水平的提升，著力提高學生學科關鍵能力。

二、解三角形和數列內容的考查實踐

1.回歸教材，考查基本概念

例1（2020年高考數學全國Ⅲ卷理科第7題）

例1考查的是解三角形中的已知兩邊和一角，求另一角的余弦值問題，屬于基礎題型?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)目標是直觀想象和數學運算素養(yǎng)。在解決此類問題時只要能熟練掌握解三角形中的余弦定理，基本就能算出正確結果。

例2（2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第17題）

例2考查的是數列中的基本量計算和利用錯位相減法求數列前n項和問題，屬于基礎題型?？疾楹诵乃仞B(yǎng)目標是邏輯推理和數學運算素養(yǎng)。題目較為簡單，筆者在此不再詳解。

以上例子都屬于基礎題型，考察學生對解三角形及數列基礎知識的掌握程度，同時，通過一些簡單的、常見的課本知識內容，甚至是課本的類似題型來考查學生的數學運算能力，直觀想象能力以及分析問題、解決問題的能力，充分體現了基礎性，引導教學要回歸課本，注重基本概念和基本知識點的學習和掌握。

2.重視通性，考查思維層次

例3（2020年高考數學山東卷第14題）

例3考查的是數列求前n項和問題，但題目解法并非簡單利用遞推關系式或簡單的等差等比數列基本量運算后求和，而是要先列舉，并通過一定的邏輯推理，再利用化歸的方法得出新數列的通項公式，從而求出前n項和。

例4（2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第16題）

例4考查的是解三角形中的求角問題，以三棱錐的平面展開圖為載體，考查學生的直觀想象和邏輯推理，以及數學運算等素養(yǎng)。該題需要直觀想象出相應的空間幾何體，理清三棱錐中的線面關系，以及展開成平面圖后保持不變的量，才能進一步解決問題。解題過程中，應緊緊抓住三個相等關系：

以上例子考查了數列及解三角形中重要的內容，對學生的邏輯推理、直觀想象和數學運算等關鍵能力以及思維層次都提出了更高的要求。通過對學生解題通性通法的考查，充分體現了綜合性。

3.引導教學，考查應變創(chuàng)新

例5（2020年高考數學山東卷第17題）

該題的解題方案有三種：

例5考察的是解三角形的問題，以解三角形為背景設計，給定若干條件，讓學生在給出的幾個條件中選擇并進行解答或說明理由。屬于新穎的結構不全試題，此類試題有效考查學生構建數學問題的能力，以及分析問題、解決問題的能力，具有很好的開放性。結構不全試題的命制，引導學生思維從知識的習得與記憶更多地轉向問題的解決、策略的選擇，使得數學應用在思維層面真正發(fā)生。

例6（2020年高考數學山東卷第18題）

例6第二個問題分析如下：

例6考查的知識內容：第一個為數列基本量的計算問題，通過聯立方程組進行求解;第二個問題則要求學生有更高層次的邏輯推理以及類比整合和數學運算等核心素養(yǎng)。通過分類列舉，將前100項的具體情況做概括性分析。試題引導中學數學應提高學生的綜合分析能力，問題轉化能力和邏輯推理能力等數學學科關鍵能力。

三、解三角形和數列內容的教學建議

通過以上分析可以看出，高考對解三角形和數列內容的考查，一方面是作為重要的基礎知識，考查學生對基本概念和基本方法的掌握程度，同時，更重要的是考查學生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，以起到引導教學的功能。

利用解三角形和數列知識可以深入考查學生的數學運算、直觀想象、數學抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。（1）對數學運算的考查，可以是在解三角形中利用正余弦定理進行三角形的邊長或面積以及范圍的計算中，也可以是在等差、等比數列的基本量計算中，還可以是在數列的求通項、求前n項和的處理中;（2）對直觀想象、邏輯推理的考查，主要是立體幾何中的解三角形問題，通過對幾何體中點線面位置關系的不變量進行考察，將空間幾何問題化為平面的幾何問題來處理;（3）數學抽象的考查，主要是在解三角形的實際應用題中，通過對問題的分析，將實際的問題，如測量寬度、高度等問題，抽象成解三角形的數學問題，再利用基本方法加以解決。

根據高考中對解三角形和數列內容的考查要求和特點，中學數學要全面學習基礎知識，對解三角形的兩個基本定理的運用，以及數列中等差、等比基本量的計算和求通項、求前n項和的基本方法與思想，一定要全面細致地過關。在教學上，對此部分內容應當認真細致落實教學進度，避免灌輸難題怪題和偏題，同時也要給學生做練習和思考的時間與空間。通過全面教學，使學生了解知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程。夯實學生的知識基礎，使學生能夠進行知識間的綜合，從而達到對知識的靈活應用，充分培養(yǎng)學生的數學學科核心素養(yǎng)，著力提高學生的解決問題能力，進而推動數學學科核心素養(yǎng)和關鍵能力在教學中的落實。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].人民教育出版社，2020.

[3]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].人民教育出版社，2020.

[4]廣東省教育考試院.2019年廣東高考年報[M].廣東高等教育出版社，2019.