巖石各向異性Biot系數(shù)的獲取方法及應(yīng)用

夏宏泉,彭夢(mèng),宋二超

(西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都610500)

0 引 言

Biot系數(shù)是指孔隙壓力對(duì)有效應(yīng)力的貢獻(xiàn),其物理意義是流體流動(dòng)狀態(tài)變化對(duì)巖石變形的影響。Biot系數(shù)各向異性特征指Biot系數(shù)在水平向與垂向上具有明顯差異。程遠(yuǎn)方等[1]認(rèn)為基于三軸壓縮實(shí)驗(yàn)的排水法無(wú)法測(cè)量低孔隙度低滲透率巖心的Biot系數(shù)。李忠平[2]等研究發(fā)現(xiàn)可以利用聲波時(shí)差的測(cè)井值或者實(shí)驗(yàn)值計(jì)算Biot系數(shù)。徐欣[3]等認(rèn)為Biot系數(shù)的動(dòng)態(tài)測(cè)試值小于靜態(tài)測(cè)試值。A.Nur[4]等得出砂巖的Biot系數(shù)是小于1的常數(shù)。Terzaghi[5]認(rèn)為未固結(jié)巖石或松散沉積物的有效應(yīng)力是巖石所承受的總應(yīng)力與孔隙壓力的差值,即σe=σ-pp,其中σe為有效應(yīng)力,σ為巖石總應(yīng)力,pp為孔隙壓力。Biot[6-7]在Terzaghi公式上進(jìn)行了修正,提出有效應(yīng)力理論公式,即σe=σ-αpp,其中α稱為Biot系數(shù),定義為靜態(tài)孔隙空間變形量與巖石總體積變化量的比值,取值范圍為[0,1]。從本質(zhì)上來(lái)講,Biot系數(shù)是因孔隙流體支撐載荷而引起的巖石剛度增加量。

目前,對(duì)低孔隙度低滲透率儲(chǔ)層Biot系數(shù)各向異性研究較少,因此,針對(duì)低孔隙度低滲透率巖樣,開展了三軸壓縮、聲速各向異性測(cè)定等工作。通過數(shù)學(xué)關(guān)系σe=σij-αpp將巖石有效應(yīng)力和其剛度矩陣聯(lián)系起來(lái),利用剛度系數(shù)計(jì)算垂向和水平向的彈性模量、體積模量和泊松比及Biot系數(shù)。并引入各向異性Biot系數(shù)建立水平地應(yīng)力計(jì)算新模型,為儲(chǔ)層巖石力學(xué)精細(xì)評(píng)價(jià)提供可靠的力學(xué)參數(shù)。

1 排水法測(cè)量Biot系數(shù)

孔隙彈性理論認(rèn)為,巖石的應(yīng)力狀態(tài)或者孔隙壓力的變化受有效應(yīng)力控制,因此Biot系數(shù)本身也會(huì)受到有效應(yīng)力值的影響[8]。普遍使用的Biot系數(shù)預(yù)測(cè)方程為α=α0/(1+ζσe),其中,α0為沒有應(yīng)力的Biot系數(shù)值,ζ為有效應(yīng)力的影響系數(shù)[9]。Biot彈性系數(shù)的物理定義計(jì)算式為

α=1-Kb/Kma

(1)

式中,α為Biot系數(shù);Kma為巖石骨架體積模量;Kb為巖石體積模量。

在模擬地層條件下(溫度50 ℃～75 ℃,圍壓20～45 MPa),利用GCTS-RTR-1000型三軸巖石力學(xué)測(cè)試系統(tǒng)得到巖樣的Biot系數(shù)。實(shí)驗(yàn)用的6塊巖樣來(lái)自鄂爾多斯盆地隴東地區(qū)長(zhǎng)7段,將巖心制成端面平整的直徑25 mm、高度50 mm的標(biāo)準(zhǔn)巖心。實(shí)驗(yàn)步驟:①在巖樣端面上涂抹耦合劑,凝固后,在2個(gè)端面上安裝封油塞,最后安裝熱縮管,用熱風(fēng)槍加熱,使其包緊巖心。②保持孔隙壓力不變,圍壓以0.005 MPa/s速率增加,應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線的斜率即為巖石體積壓縮系數(shù)Kb。③巖心自由放置,以相同的速率0.005 MPa/s增加圍壓和孔隙壓力,體積應(yīng)變與圍壓關(guān)系曲線的斜率即為骨架壓縮系數(shù)Kma。④由公式(1)可計(jì)算出靜態(tài)Biot彈性系數(shù)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析:三軸壓縮實(shí)驗(yàn)的排水法得到的Biot系數(shù)α1幾乎為零,這不符合巖石力學(xué)參數(shù)的孔隙彈性理論,且與聲波實(shí)驗(yàn)結(jié)果αv2、αh2也存在明顯差異。導(dǎo)致Biot系數(shù)計(jì)算結(jié)果為0的原因,主要是致密砂巖的滲透率和孔隙度低、滲流能力差,三軸壓縮實(shí)驗(yàn)過程中壓力傳遞效率低甚至不傳遞。

2 聲波法測(cè)量Biot系數(shù)

2.1 由聲波時(shí)差直接計(jì)算各向異性Biot系數(shù)

聲波法是在Biot-Gassmann[10-11]理論基礎(chǔ)上形成的間接計(jì)算方法,它可以直觀反映巖石的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。從全直徑巖心上分別鉆取水平樣、45°傾斜樣和垂直巖樣,加工成直徑為25 mm、高度為50 mm的圓柱體。利用SCMS-E聲學(xué)參數(shù)測(cè)試儀測(cè)量3塊巖樣在不同圍壓、6塊巖樣模擬地層條件下的縱橫波波速,波速隨著圍壓的增加而增加,且水平向的波速大于垂向的波速。圖1為2號(hào)巖樣垂向、水平向縱橫波的波形圖。由圖1可以知道地層存在TIV各向異性。利用測(cè)得的縱橫波波速或時(shí)差數(shù)據(jù)直接計(jì)算不同方向巖樣的Biot系數(shù)方法,見公式(2)～公式(4)

(2)

(3)

(4)

式中,Kbv、Kbh分別為垂直樣、水平樣的體積模量,GPa;Δtc、Δts分別為縱波時(shí)差與橫波時(shí)差,μs/m;β為單位換算系數(shù)106;αv2、αh2分別為垂直樣、水平樣的Biot系數(shù);ρb為巖石體積密度,g/cm3;取致密石英砂巖密度ρma=2.65 g/cm3,致密砂巖骨架的縱波、橫波時(shí)差Δtc,ma=55 μs/ft(1)非法定計(jì)量單位,1 ft=12 in=0.304 8 m,下同、Δts,ma=95 μs/ft,致密砂巖骨架體積模量Kma=45.034 5 GPa。

圖1 2號(hào)巖樣垂向、水平向縱橫波的波形圖

圖2 聲波傳播方向(箭頭方向)的示意圖

2.2 基于剛度矩陣計(jì)算各向異性Biot系數(shù)

彈性波的傳播特征與巖石的力學(xué)特征相關(guān),任一點(diǎn)處應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系見公式(5),由于應(yīng)力、應(yīng)變和剛度矩陣具有對(duì)稱性,式(5)可以簡(jiǎn)化為式(6)。TIV各向異性彈性材料的Biot系數(shù)可以用公式(7)計(jì)算得到[12-13],聲波傳播的3個(gè)方向見圖2。 剛度矩陣C計(jì)算方法見公式(8)

σij=CijkLεkL

(5)

σi=Cijεj

(6)

αi=σi-Cij/3Kma

(7)

(8)

式中,σij為應(yīng)力,i、j=1～6,MPa;CijkL為剛度矩陣,i、j、k、L=1～6,MPa;εkL為應(yīng)變,k、L=1～6,無(wú)因次量。

剛度矩陣中的彈性參數(shù)可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到的不同方向的縱橫波時(shí)差以及巖樣的體積密度計(jì)算出來(lái)[14-15],如公式(9)所示。計(jì)算出實(shí)驗(yàn)巖樣的5個(gè)獨(dú)立剛度系數(shù),其中,C11>C33>C66>C44(見表1)

(9)

式中,ρb為巖樣的體積密度,g/cm3;vph為平行層理面的縱波速度,km/s;vpQ為與層理面成45°夾角的縱波速度,km/s;vpv為垂直層理面的縱波速度,km/s;vsh為平行層理面的橫波速度, km/s;vsv為垂直層理面的橫波速度,km/s;C11為橫向傳播的縱波剛度,GPa;C33為沿井軸傳播的縱波剛度,GPa;C44、C55分別為沿井軸(縱向)傳播的橫波剛度,GPa;C66為沿水平方向傳播的橫波剛度,GPa。

表1 不同方向巖樣的剛度系數(shù)的計(jì)算結(jié)果

由式(10)～式(12)可求出TIV地層中對(duì)應(yīng)的垂向和水平向的彈性模量、泊松比和Biot系數(shù)[16-17]

(10)

(11)

(12)

式中,Ev、Eh為垂直層理面、平行層理面的彈性模量,GPa;μv、μh為垂直層理面、平行層理面的泊松比;αv3、αh3為垂直層理面、平行層理面的Biot系數(shù)。

2.3 各向異性Biot系數(shù)計(jì)算結(jié)果分析

利用排水法無(wú)法得到低孔隙度低滲透率巖心的Biot系數(shù)。由聲波時(shí)差實(shí)驗(yàn)值計(jì)算的垂向、水平向的Biot系數(shù)大于由剛度矩陣計(jì)算的Biot系數(shù),但二者相差不大,證明基于剛度矩陣計(jì)算Biot系數(shù)是可行的,即αh2>αh3、αv2>αv3(見表2)。低孔隙度低滲透率砂巖的Biot系數(shù)為0.35～0.75(見圖3)。

表2 不同方法計(jì)算的Biot系數(shù)

圖3 動(dòng)靜態(tài)Biot系數(shù)結(jié)果對(duì)比

A、B、C這3個(gè)巖樣實(shí)驗(yàn)結(jié)果:動(dòng)態(tài)彈性模量、體積模量、泊松比隨圍壓的增大而增大,而Biot系數(shù)隨圍壓的增大而減小,且Kbh>Kbv、μh>μv、αv>αh(見圖4、圖5、圖6)。

圖4 動(dòng)態(tài)體積模量與圍壓的關(guān)系

圖5 動(dòng)態(tài)泊松比與圍壓的關(guān)系

圖6 動(dòng)態(tài)Biot系數(shù)與圍壓的關(guān)系

3 建立地應(yīng)力計(jì)算新模型

Shannon[18]為了彌補(bǔ)以前模型的不足,取消“假設(shè)地層沉積過程只發(fā)生垂向變形,水平方向變形受限,不發(fā)生形變量”的限定條件,假定沉積后期地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)過程中,層間不發(fā)生相對(duì)位移,Biot系數(shù)不存在各向異性,而彈性參數(shù)(E、μ)存在各向異性,推導(dǎo)建立了TIV各向異性地層水平主應(yīng)力計(jì)算模型

(13)

式中,σSH、σSh分別為水平最大、最小主應(yīng)力,MPa;pSv為上覆地層壓力,MPa;pp為孔隙壓力,MPa;εH、εh分別為沿水平最大、最小主應(yīng)力方向的總應(yīng)變;α為Biot系數(shù)。

式(13)雖然考慮了各向異性彈性模量、泊松比對(duì)地應(yīng)力的影響,但沒有考慮各向異性Biot系數(shù)的影響。鄂爾多斯盆地延長(zhǎng)組的巖石力學(xué)特性在垂直、平行層理面上表現(xiàn)出較強(qiáng)的各向異性[19-20],用公式(13)計(jì)算地應(yīng)力會(huì)造成明顯的偏差。結(jié)合地應(yīng)力實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),引入地層各向異性Biot系數(shù)和剛度系數(shù),建立地應(yīng)力計(jì)算新模型(簡(jiǎn)稱α-C模型),如式(14)所示[21-23]。該式適用于存在垂直和水平主應(yīng)力軸、且垂直對(duì)稱軸為主要應(yīng)力軸的TIV各向異性地層。

(14)

式中,σSH,N、σSh,N分別為水平最大、最小主應(yīng)力,MPa。

4 實(shí)例分析

將地應(yīng)力計(jì)算新模型運(yùn)用到實(shí)驗(yàn)巖樣中,考慮到Ordos盆地隴東地區(qū)延長(zhǎng)組地層的構(gòu)造活動(dòng)強(qiáng)度,實(shí)驗(yàn)的6塊巖樣的構(gòu)造應(yīng)變?yōu)槌?shù)(取εεH=0.000 5、εh=0.000 2),pp、pSv由測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)得到,α=0.75,αv和αh由剛度系數(shù)模型求出,計(jì)算結(jié)果見表3。結(jié)果表明,當(dāng)α=0.75,時(shí)Shannon模型計(jì)算的水平地應(yīng)力(σSH、σSh)值偏大,而α-C模型計(jì)算的水平地應(yīng)力(σSH,N、σSh,N)更接近凱塞爾(Kaiser)的實(shí)測(cè)值(σSH,T、σSh,T),說(shuō)明新模型合理可靠。即:σSH>σSH,N>σSH,T,σSh>σSh,N>σSh,T。

表3 地應(yīng)力模型的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比

5 結(jié) 論

(1)只需鉆取平行樣、45°樣和垂直樣,通過聲波實(shí)驗(yàn)測(cè)得其不同方向縱橫波速度,就可以利用本文給出的公式計(jì)算得到各向異性Biot系數(shù)。

(2)采用三軸壓縮實(shí)驗(yàn)的排水法無(wú)法得到低孔隙度低滲透率地層的Biot系數(shù),通過聲波法其Biot系數(shù)為0.35～0.75。由聲速直接計(jì)算的Biot系數(shù)略大于由剛度系數(shù)模型計(jì)算的Biot系數(shù),即αv2>αv3、αh2>αh3,但二者相差不大,證明基于剛度矩陣計(jì)算Biot系數(shù)是可行的。

(3)對(duì)于TIV各向異性地層,水平向的動(dòng)態(tài)彈性模量、泊松比、體積模量大于垂向的動(dòng)態(tài)彈性模量、泊松比、體積模量,而垂向的Biot系數(shù)大于水平向的Biot系數(shù),即Eh>Ev、μh>μv、Kbh>Kbv、αv>αh。隨著圍壓增大,彈性模量E、泊松比μ、體積模量Kb呈現(xiàn)增大趨勢(shì),而Biot系數(shù)呈現(xiàn)減小趨勢(shì)。αv>αh說(shuō)明波速和動(dòng)態(tài)彈性模量的各向異性轉(zhuǎn)化為了Biot系數(shù)的各向異性。

(4)引入地層各向異性Biot系數(shù)和剛度系數(shù),建立地應(yīng)力計(jì)算新模型,α-C模型較Shannon模型能更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)水平地應(yīng)力。