高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中數(shù)值計(jì)算的引介
——以積分為例

任澤民 李慶玉 黎 彬

（重慶科技學(xué)院數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院 重慶 401331）

一、現(xiàn)狀分析

高等數(shù)學(xué)是各理工和財(cái)經(jīng)專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課，在學(xué)生培養(yǎng)中具有重要地位。如何教好高等數(shù)學(xué)成為許多高校急需解決的難題。目前，教學(xué)現(xiàn)狀主要有：1.學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，基本理論掌握不扎實(shí)；2.數(shù)據(jù)表明，高等數(shù)學(xué)考試卷面成績(jī)不及格率居高不下；3.學(xué)生不能運(yùn)用高等數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題。本文擬從第三點(diǎn)出發(fā)，探索高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，主要措施是教學(xué)中融入數(shù)值計(jì)算思想。數(shù)值計(jì)算是計(jì)算數(shù)學(xué)和大數(shù)據(jù)技術(shù)的重要工具[1]。當(dāng)今，大部分高校開(kāi)展的高等數(shù)學(xué)是按照傳統(tǒng)的課程體系進(jìn)行授課的。我們?cè)趥鹘y(tǒng)體系的基礎(chǔ)上，將數(shù)值分析的一些基本知識(shí)作為學(xué)生的拓展訓(xùn)練材料，引導(dǎo)學(xué)生去思考。筆者擬以定積分為例開(kāi)展教學(xué)探索。

二、實(shí)例分析：定積分與數(shù)值積分

定積分是高等數(shù)學(xué)課程中重要的基本概念[2]，在實(shí)際中具有重要的價(jià)值。在劃分、求和、取極限等過(guò)程后，定積分可以表示為。定積分的計(jì)算方法有很多種，主要包括定義方法、換元方法和分部積分方法。積分中值定理是這些方法的理論基礎(chǔ)。具體內(nèi)容為：如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在該區(qū)間上至少存在一點(diǎn)使得。此理論無(wú)論在高等數(shù)學(xué)還是在數(shù)值分析課程中都具有重要的地位。在高等數(shù)學(xué)課程中，定積分的計(jì)算主要基于牛頓—萊布尼茨方法。該方法需要找到被積函數(shù)的原函數(shù)。這一點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題求解過(guò)程中是十分困難的，原因主要有：1.被積函數(shù)的原函數(shù)不能利用初等函數(shù)進(jìn)行表達(dá)；2.通過(guò)傳統(tǒng)方法計(jì)算出的原函數(shù)表達(dá)形式復(fù)雜，難于計(jì)算。在這種情況，我們應(yīng)該考慮數(shù)值方法進(jìn)行求解相應(yīng)的定積分。

接下來(lái)，我們擬從積分中值定理出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展若干簡(jiǎn)單的定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算公式。在高等數(shù)學(xué)課程中，積分中值定理告訴我們：定積分的值可以由區(qū)間的長(zhǎng)度和函數(shù)在該區(qū)間上某一點(diǎn)函數(shù)值乘積來(lái)表示。但該定理未告訴學(xué)生是何點(diǎn)處的函數(shù)值。根據(jù)定積分的幾何意義，在損失一定誤差的情況下，數(shù)值上該點(diǎn)選擇是多樣的，可供選擇的方案有：1.區(qū)間中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；2.區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值的平均值；3.區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，從而形成如下的各種定積分的近似計(jì)算公式：1）中矩形公式；2）中矩形公式；3）左矩形公式；4）右矩形公式。四個(gè)定積分的數(shù)值公式是數(shù)值分析課程關(guān)于定積分求解的帶有誤差的經(jīng)典近似公式，其相應(yīng)的誤差可由高等數(shù)學(xué)的泰勒公式進(jìn)行估計(jì)。學(xué)生可根據(jù)自己的實(shí)際情況開(kāi)展相關(guān)的拓展訓(xùn)練。

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本文的探索，學(xué)生可以提高對(duì)高等數(shù)學(xué)基本理論知識(shí)的理解，還可以增強(qiáng)自己在數(shù)值計(jì)算方面的意識(shí)。這方面的研究，不僅對(duì)本科階段的學(xué)生有益，還對(duì)數(shù)學(xué)功底較差的研究生也有很大的幫助，幫助其完成學(xué)術(shù)研究中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題。