因子von Neumann代數(shù)上完全保持交換性的映射

趙紅利,黃 麗

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

對于von Neumann代數(shù)我們已經(jīng)做了很多的研究，2002年，崔建蓮和侯晉川[1]利用線性保持給出了von Neumann代數(shù)上同態(tài)的一些性質(zhì)，2003年，M.Radjabalipour[2]在von Neumann代數(shù)上的保持絕對值的可加性映射進行了刻畫，更多在von Neumann代數(shù)上的研究成果可以查閱文獻[3-5].因子von Neumann代數(shù)作為特殊的von Neumann代數(shù)，多數(shù)學(xué)者對在因子von Neumann代數(shù)上相關(guān)保持問題的進行了探討與研究。2009年，崔建蓮等[6]對因子von Neumann代數(shù)上的非線性雙射保*積的映射進行了刻畫；2014年，焦美艷[7]刻畫了因子von Neumann代數(shù)的套子代數(shù)上的保單位且滿足AB=ξBA?Φ(A)Φ(B)=ξΦ(B)Φ(A)的線性映射Φ:AlgMα→AlgMβ，其中A,B∈AlgMα,ξ∈.

對于：?A,B∈B(H),有AB=BA成立，稱A和B具有交換性，若一個映射Φ滿足:

AB=BA?Φ(A)Φ(B)=Φ(B)Φ(A),

則稱Φ雙邊保交換性.1987年，M.D.Choi等人在文獻[8]中對所有實對稱或復(fù)自伴矩陣的實空間上保交換的映射進行了刻畫；2008年，P.emrl在文獻[9]中對全矩陣代數(shù)上保交換的單射連續(xù)映射進行了刻畫。

下面介紹完全保持的概念：令X和Y是數(shù)域(=或)上的Banach空間.對于線性子空間∈B(X),∈B(X)，映射Φ:→，以及每個n∈，定義映射Φn:?Mn(F)→B?Mn(F)為

Φn((Sij)n×n)=(Φ(Sij))n×n.

若Φn保交換性，則稱Φ是n-保交換性的；若對于每個n∈N，Φ都是n-保交換性的，則稱Φ是完全保交換性的。

算子代數(shù)和算子理論上的一些完全保持問題已經(jīng)被許多學(xué)者研究.利用完全保持的方法，2009年侯晉川和黃麗[10]在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上刻畫了雙邊完全?？赡嫘院捅ＷV的滿射；2012年，侯晉川，張秀玲[11]刻畫了在有限von Neumann代數(shù)完全跡秩不增(完全保跡秩)映射；2014年，黃麗和劉艷曉[12]在Banach空間的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上對完全保交換性和Jordan零積的滿射進行了刻畫；2016年，劉艷曉等[13]在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保立方零元的可加映射進行了刻畫。鑒于此，本文將在完全保持的框架下討論交換性。證明了因子von Neumann代數(shù)上雙邊完全保交換性的滿射是一個線性同構(gòu)或共軛線性同構(gòu)的非零常數(shù)倍。

1 主要結(jié)果及定理證明

(i)Φ是雙邊完全保交換的映射;

(ii)Φ是雙邊2-保交換的映射;

(iii)Φ是一個線性同構(gòu)或共軛線性同構(gòu)的非零常數(shù)倍。

證明：滿足敘述(iii)的映射是雙邊完全保交換的，從而(iii)?(i)?(ii)是顯然的,所以只需證明(ii)?(iii).接下來假設(shè)Φ是雙邊2-保交換的。

斷言1 Φ(0)=0；Φ(I)=cI，對某一非零數(shù)c.

首先證明Φ(0)=0，對于任意的T∈，由

將Φ2應(yīng)用于上述等式，可以得到

Φ(T)Φ(0)=Φ(0)2.

(1)

由Φ的滿射性，存在某個T0∈，令T=T0，使得Φ(T0)=I帶入(1)式中，可得Φ(0)2=Φ(0).存在另一個T1∈，使得Φ(T1)=0，再 令T=T1，帶入(1)式中，可得Φ(0)2=0，因此得到Φ(0)=0.

下證Φ(I)=cI，對某一非零數(shù)c成立。

對于任意的T∈，由

將Φ2應(yīng)用于上述等式可以得到

Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)

斷言2 Φ是單射，對于任意的T,S∈,假設(shè)Φ(T)=Φ(S).由

可得

用Φ(S)代替Φ(T)，我們得到

由此得到

此蘊涵T=S，所以Φ是單射，從而Φ是雙射。

斷言3 Φ(-T)=-Φ(T)，對于任意的T∈.由:

將Φ2應(yīng)用于上述等式，從而得Φ(T)+Φ(-T)=0，即Φ(-T)=-Φ(T).

斷言4 Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S)，?T,S∈.

將Φ2應(yīng)用于上述等式，從而有Φ(S+T)=Φ(S)+Φ(T)

斷言5 Φ(TS)=Φ(T)Φ(S)，?T,S∈.

將Φ2應(yīng)用于上述等式，從而有Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).

斷言7 Φ是線性或共軛線性。

如果α是實數(shù)，則Φ(αI)=αI. 那么

Φ(αT)=Φ((αI)T)=Φ((αI))Φ(T)=

αΦ(T),T∈.

如果α是復(fù)數(shù)，則令α=a+bi，由于Φ的可加性和可乘性,可以得到

Φ(αI)=Φ((a+bi)I)=Φ(aI)+Φ(b·iI).