統(tǒng)計(jì)與概率擴(kuò)大“朋友圈”

■廣西來賓高級(jí)中學(xué) 覃尚猷 楊 佶 胡利潔

在大數(shù)據(jù)時(shí)代，科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，隨著高中數(shù)學(xué)課程不斷改革，“統(tǒng)計(jì)與概率”既是高中階段數(shù)學(xué)課程的主線，又是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)課程，成了高考出題的新亮點(diǎn)，特別是2019年全國Ⅰ卷將“統(tǒng)計(jì)與概率”題放在第21題，讓人刮目相看。近年來，有不少的統(tǒng)計(jì)與概率題注重情境生活化、素材新穎化、問題實(shí)用化，同學(xué)們分析問題與解決問題的能力不斷提升才能解決“朋友圈”不斷擴(kuò)大的統(tǒng)計(jì)與概率問題，下面選取幾道題與大家共同賞析。

一、概率與數(shù)列交匯

例1為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α 和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。

(1)求X 的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假設(shè)α=0.5，β=0.8。

①證明：{pi+1-pi}(i=0，1，2，…，7)為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理。

解析：(1)由題意可知X 的所有可能取值為-1，0，1，所以P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β)。

所以X 的分布列為表1：

(2)因?yàn)棣?0.5，β=0.8，所以a=0.5×0.8=0.4，b=0.5×0.8+0.5×0.2=0.5，c=0.5×0.2=0.1。

①因?yàn)閜i=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，…，7)，即pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1，2，…，7)，整理可得5pi=4pi-1+pi+1(i=1，2，…，7)，所以pi+1-pi=4(pi-pi-1)(i=1，2，…，7)。

所以{pi+1-pi}(i=0，1，2，…，7)是以p1-p0為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列。

②由①知pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i，所以p8-p7=p1·47，p7-p6=p1·46，…，p1-p0=p1·40。

以上各式相加可得p8-p0=p1·(40+41+…+47)

p4表示最終認(rèn)為甲藥是更有效的。由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為≈0.003 9，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理。

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、等比數(shù)列的證明、求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問題。本題是在概率與數(shù)列知識(shí)交匯處出題，具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)同學(xué)們分析和解決問題的能力有較高要求。要過三關(guān)：(1)閱讀關(guān)；(2)數(shù)列關(guān)；(3)概率運(yùn)算關(guān)。

二、概率與立體幾何交叉

例2設(shè)ξ 為隨機(jī)變量。從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ=0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ 的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ=1。

(1)求概率P(ξ=0)；

(2)求ξ 的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)。

解析：(1)若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3 條棱，所以共有對(duì)相交棱，因此

所以隨機(jī)變量ξ 的分布列為表2：

表2

點(diǎn)評(píng)：本題在立體幾何知識(shí)的環(huán)境下考查概率、分布列、數(shù)學(xué)期望，是概率、立體幾何、組合等知識(shí)的綜合，能否“翻譯”成概率知識(shí)成為關(guān)鍵。要過三關(guān)：(1)立體幾何關(guān)；(2)概率關(guān)；(3)排列組合運(yùn)算關(guān)。

三、概率與面積相伴

例3設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)為單位圓上的六等分點(diǎn)?，F(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S。

(2)求S 的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)。

解析：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有種不同選法，其中S=的是有一個(gè)角為30°的直角三角形，共6×2=12(種)，所以

(2)S 的所有可能取值

結(jié)合(1)知S 的分布列為表3：

表3

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是概率與面積、組合等相關(guān)知識(shí)的綜合題，難度不是很大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，其中“翻譯成“有一個(gè)角是30°的直角三角形”是解題的關(guān)鍵，畫出圖形有助于問題的解決，注意排列組合知識(shí)的運(yùn)用。要過三關(guān)：(1)理解“翻譯”關(guān)；(2)平面幾何關(guān)；(3)概率、排列組合運(yùn)算關(guān)。

觀察近幾年高考題中的統(tǒng)計(jì)概率題，具有情境新、素材新、題型新等特點(diǎn)，與數(shù)列交匯，同立體幾何交叉，與面積相伴，“朋友圈”不斷擴(kuò)大，在統(tǒng)計(jì)概率不斷招兵買馬擴(kuò)大隊(duì)伍的同時(shí)，對(duì)同學(xué)們綜合解題能力的要求不斷提升，需要在題目特定的情境下冷靜分析題目，學(xué)會(huì)將復(fù)雜的題意簡單地“翻譯”出來，再用概率的知識(shí)解決。