等截面彈塑性回轉(zhuǎn)體截面翹曲變形分析

劉明君

摘要：研究等截面彈塑性回轉(zhuǎn)體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，針對(duì)不同截面形狀，給出了兩種求解方法：一種是基于邊界方程的半逆解法，另一種是傅里葉解法，兩種方法均是通過(guò)構(gòu)造滿(mǎn)足控制相容方程的應(yīng)力函數(shù)，反推出截面翹曲位移表達(dá)式，可將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單問(wèn)題，并給出具體實(shí)例，得到仿真結(jié)果圖。

關(guān)鍵詞：回轉(zhuǎn)體;扭轉(zhuǎn);翹曲位移

中圖分類(lèi)號(hào)：TU313

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-5922（2020）12-0121-06

0 引言

等截面回轉(zhuǎn)體的自由扭轉(zhuǎn)是彈性扭轉(zhuǎn)中常見(jiàn)的問(wèn)題，扭轉(zhuǎn)模型本質(zhì)上是三維的，通常很難確定解析解[1]。根據(jù)Saint Venant原理[2， 3]，在回轉(zhuǎn)體中心位置上，彈性場(chǎng)的特性主要受荷載的合力和合力矩的影響，而荷載的具體分布只影響荷載作用區(qū)附近的應(yīng)力分布，因此在回轉(zhuǎn)體原理末端的位置尋求近似解。從應(yīng)力函數(shù)出發(fā)，已有的求解方法包括松弛法，有限元法，非正交曲線查分法等，這些方法均根據(jù)三維彈性力學(xué)中Kelvin解構(gòu)造基本解[4-6]。

本文研究等截面彈塑性回轉(zhuǎn)體側(cè)面無(wú)外部載荷僅受底端平面受力下的特殊解問(wèn)題，首先建立回轉(zhuǎn)體基本方程[7]，從相容關(guān)系出發(fā)，針對(duì)橢圓形截面和三角形截面，根據(jù)邊界條件構(gòu)造滿(mǎn)足條件的應(yīng)力函數(shù)，反推出應(yīng)變表達(dá)式，求解截面翹曲位移。針對(duì)矩形截面，將應(yīng)力函數(shù)寫(xiě)成齊次拉普拉斯方程的通解加上非齊次方程特解的形式，并根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)變量分離法，將齊次解構(gòu)造成傅里葉余弦級(jí)數(shù)的形式，反推出截面翹曲位移。以上兩種方法都是采用半逆解法推導(dǎo)翹曲位移表達(dá)式，使其滿(mǎn)足控制方程，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單問(wèn)題，并最終給出仿真結(jié)果圖。

1 回轉(zhuǎn)體基本方程

對(duì)于如圖1所示的等截面彈性回轉(zhuǎn)體，側(cè)面S上無(wú)約束，僅在底面R上施加載荷力Q和力矩M，則滿(mǎn)足如下條件[8]：

5 翹曲變形求解方法

5.1 基于邊界方程的半逆解法

當(dāng)截面形狀為橢圓形時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸半徑為a，短軸半徑為b，則邊界方程為：

取橢圓的長(zhǎng)軸半徑為a=1，短軸半徑為b=0.5，單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角a=1，圖4給出了截面位移等高線圖，圖5為翹曲位移三維圖。

圖9給出了邊長(zhǎng)比a/b=1時(shí)的截面位移等高線圖，對(duì)于正方形截面形狀，產(chǎn)生了八個(gè)位移相似區(qū)域，圖10為邊長(zhǎng)比a/b= 0.5時(shí)的截面位移等高線圖，隨著邊長(zhǎng)比的減小，四個(gè)位移區(qū)域消失，得到的等高線圖類(lèi)似橢圓截面的位移等高線圖。

6 結(jié)語(yǔ)

文章給出了等截面彈塑性回轉(zhuǎn)體截面翹曲位移的求解方法，針對(duì)橢圓形截面和三角形截面，采用基于邊界方程的半逆解法，擬合出滿(mǎn)足控制相容方程的直力函數(shù)，結(jié)合應(yīng)變方程推導(dǎo)出截面位移變形量;針對(duì)矩形截面，無(wú)法根據(jù)邊界方程擬合出滿(mǎn)足條件的應(yīng)力函數(shù)，此時(shí)采用傅里葉解法，將應(yīng)力函數(shù)分解為齊次和非齊次拉普拉斯方程解之和的形式，根據(jù)變量分離法構(gòu)造傅里葉級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)，滿(mǎn)足控制相容方程，最終推導(dǎo)出截面位移變形量。結(jié)合實(shí)例給出具體推導(dǎo)過(guò)程，并進(jìn)行仿真求解，畫(huà)出截面位移等高線圖。

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