5～7歲兒童數(shù)學過程性能力的發(fā)展水平與年齡特點

周晶 趙振國 郭力平

[摘 要] 數(shù)學過程性能力強調兒童獲得和運用數(shù)學知識的方法，對兒童的數(shù)學學習、創(chuàng)造力和自我效能感、批判性思維、學習動機、自尊和自信等都具有積極的影響。本研究對200名5～7歲兒童在數(shù)學運算、統(tǒng)計兩個學習活動任務中的表現(xiàn)進行編碼，以考察該年齡段兒童數(shù)學過程性能力的發(fā)展水平和年齡特點。結果表明5～7歲兒童的數(shù)學過程性能力存在顯著的年齡與性別差異，幼兒園大班兒童在各項數(shù)學過程性能力上的得分均高于小學一年級兒童，男生的各項數(shù)學過程性能力得分顯著高于女生。此外，數(shù)學活動內容上也有顯著差異，兒童在統(tǒng)計活動中的得分顯著高于運算活動。我國數(shù)學教育長期存在“重知識、輕能力”的問題，這是我國兒童數(shù)學過程性能力表現(xiàn)不佳的重要原因。為此，有必要提高教師對兒童學習與發(fā)展的認識，轉變教師數(shù)學教學與評價的思路，多方協(xié)作促進數(shù)學教育改革，如在政策上要明確提出重視數(shù)學過程性能力的發(fā)展與監(jiān)測，在教師培養(yǎng)培訓課程中加入與數(shù)學過程性能力相關的內容;小學低年級應向幼兒園教育靠攏，改變以教師傳授為主的傳統(tǒng)教育模式，鼓勵學生通過操作實物、討論等途徑探求解題策略和答案，以改變小學兒童的數(shù)學過程性能力反不如學前兒童的現(xiàn)狀。

[關鍵詞] 5～7歲兒童;數(shù)學過程性能力;數(shù)學能力;數(shù)學教育

一、問題提出

2000年，全美數(shù)學教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics， NCTM）頒布了《學校數(shù)學教育的原則和標準》，將幼兒園到12年級的數(shù)學教育標準分為數(shù)學內容標準和數(shù)學過程標準兩部分，并相應地將數(shù)學能力分為內容性能力和過程性能力。其中，內容性能力描述的是兒童在學習應該知道的數(shù)學內容時表現(xiàn)出的能力，包括數(shù)與運算、代數(shù)、幾何、測量、數(shù)據(jù)分析與概率等五項能力;過程性能力是指兒童獲得和運用數(shù)學知識、技能所需要的能力，[1]是兒童獲得數(shù)學學習內容的有力支撐，它強調了獲得和運用知識的方法，[2]包括問題解決、推理與驗證、交流、聯(lián)系、表征等五項內容。

我國古語有云：授人以魚不如授人以漁，學習方法的獲得遠比知識內容本身的獲得重要。從這個角度出發(fā)，數(shù)學過程性能力由于強調了知識獲得和運用的方法，其重要性不言而喻。從數(shù)學學習的過程來看，年幼兒童獲得和應用數(shù)學概念的過程，是幼兒從不同情境和多種具體事物中逐步排除其他特征的干擾，發(fā)現(xiàn)其共同的數(shù)學特征的過程。這一過程，也正是幼兒思維的抽象概括能力逐步發(fā)展、邏輯推理能力開始萌芽的過程，也是幼兒運用數(shù)學語言符號交流、表達和記錄表征的過程，更是發(fā)現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系、嘗試運用數(shù)學解決實際問題的過程。而幼兒能夠學習的數(shù)學知識范圍是有限的，理解程度也是初步的、啟蒙性質的。因此，從未來的數(shù)學學習著眼，幼兒數(shù)學教育應十分重視通過數(shù)學知識的學習過程，發(fā)展幼兒的數(shù)學思維能力，即過程性能力。[3]盡管NCTM的數(shù)學教育標準將數(shù)學過程與數(shù)學內容分開論述，但是二者必須是緊密聯(lián)系的，[4]過程性能力是幼兒掌握數(shù)學知識不可缺少的保證和支持，同時又在掌握數(shù)學知識的過程中得到不斷發(fā)展。[5]大量實證研究也指出，良好的數(shù)學過程性能力對兒童的數(shù)學學習、[6][7][8][9]創(chuàng)造力和自我效能感、[10]批判性思維、學習動機、自尊和自信[11]有正向的影響。過程性能力水平高的兒童在焦慮、壓力、缺勤、拖拉等方面的水平較低。[12]由于過程性能力對兒童數(shù)學學習以及其他領域發(fā)展的具有重要性，美國國家研究理事會幼兒數(shù)學委員會（Committee on Early Childhood Mathematics/National Research Council）在2009年出版的《早期幼兒數(shù)學學習：通向卓越與公平》（Mathematics Learning in Early Childhood： Paths toward Excellence and Equity）一書中明確指出，在幼兒數(shù)學教育中應培養(yǎng)幼兒的數(shù)學過程性能力。[13]各國在兒童早期發(fā)展的質量監(jiān)測評估體系中，一個趨勢也是將數(shù)學思維、數(shù)學推理和問題解決等過程性能力作為重要的評價指標。[14]

有研究指出，在法國、德國等國家的數(shù)學教育大綱中，數(shù)學目標也是一種指向發(fā)展方向的過程性目標，強調數(shù)學素養(yǎng)由解決問題、邏輯推理和信息交流等要素構成。[15]但是，世界各國及地區(qū)提出的過程性能力的構成要素在數(shù)量和成分上不盡相同。如德國于2003年提出的針對小學四年級至初中九年級畢業(yè)生的數(shù)學教育標準指出，學校數(shù)學教育要能夠培養(yǎng)學生數(shù)學論證、解決數(shù)學問題、數(shù)學建模、數(shù)學表征、數(shù)學符號公式以及技巧的熟練掌握、數(shù)學交流等6大宏觀的數(shù)學能力。[16]日本文部科學省頒布的《新學習指導要領》則提出了數(shù)學教育要能夠使日本的中小學生具備數(shù)學應用能力、思考力、判斷力和表達能力。[17]英國威爾士政府在2003年頒布的《學習型社會：基礎階段——3～7歲》中指出，要幫助3～7歲兒童在利用和運用數(shù)學的過程中，使隱含于數(shù)字、尺度、形狀和空間中的數(shù)學概念變得有意義。利用和運用數(shù)學的教學內容應包括解決問題、交流和數(shù)學推理。[18]作為加拿大人口最多，幼兒教育最發(fā)達的省份，安大略省在2010年頒布的《全日制幼兒園大綱（草案）》中指出，為了使幼兒有效地學習數(shù)學，應關注問題解決、推理證明、反思、選擇工具和策略、聯(lián)系、呈現(xiàn)、交流等7個重要的學習過程。[19]從過程性能力的提出過程來看，各國的過程性能力及其要素均是在長期的數(shù)學教育實踐與理論研究基礎上形成的，從方法上講，是基于理論和經驗上的建構。[20]這種建構的方法有時會因為地區(qū)、文化的差異而存在合理性和適宜性的問題。

我國研究者首次通過因素分析法，對5～7歲兒童在數(shù)學活動中表現(xiàn)出的過程性能力要素進行了因素分析，提出數(shù)學過程性能力由數(shù)學表征、數(shù)學交流、推理與驗證、關聯(lián)四項要素構成，而且數(shù)學過程性能力的構成要素并不存在活動和年齡的差異。[21]然而尚未有實證研究對如下問題進行考察：數(shù)學過程性能力發(fā)展的影響要素有哪些？數(shù)學過程性能力及其構成要素是否會因為兒童的年齡以及兒童參與的數(shù)學活動內容不同而存在發(fā)展水平的差異？本研究對5～7歲兒童數(shù)學過程性能力及各項要素的發(fā)展水平及年齡特點進行研究，以描述不同年齡段的兒童在不同數(shù)學活動中的過程性能力及各要素的發(fā)展水平。本研究擬解決如下研究問題：5～7歲兒童的數(shù)學過程性能力及其構成要素的發(fā)展水平如何？5～7歲兒童的數(shù)學過程性能力及其構成要素的發(fā)展水平是否存在年齡差異？5～7歲兒童數(shù)學過程性能力及其構成要素是否存在性別差異？數(shù)學過程性能力的發(fā)展是否會因為活動內容的不同而存在差異？

為了考察活動內容與年齡的交互效應情況，研究進一步進行了簡單效應檢驗，檢驗結果見表5和表6。由表可知，大班和一年級兒童兩種數(shù)學內容上的過程性能力間的差異均顯著，均是統(tǒng)計活動中的過程性能力要好于運算活動中的過程性能力，但大班兒童兩個內容之間的差異（MD=4.790）要大于一年級兒童兩個內容上的差異（MD=2.900）。而兩種內容上的年齡差異也均顯著，均表現(xiàn)為大班顯著好于一年級，但統(tǒng)計活動中兩個年齡間的差異（MD=3.689）要大于運算活動中兩個年齡間的差異（MD=1.799）。

四、討論

（一）5～7歲兒童數(shù)學過程性能力的發(fā)展特點

本研究考察了5～7歲兒童數(shù)學過程性能力的發(fā)展狀況。從總體上看，大班兒童的過程性能力得分顯著高于一年級兒童。我們可以從兩方面原因理解這一研究結果。

第一，這一結果反映了我國數(shù)學教育存在的“重內容，輕能力”“重結果、輕過程”的傾向和問題。一直以來，在我國早期教育中，對數(shù)學教育的含義的理解有一定的偏差，常常把數(shù)學教育理解為算術教育或計算教育，[24]教師在數(shù)學教學和評價過程中對知識內容給予了過多的關注，忽視了兒童的學習過程以及思維能力的培養(yǎng)。[25][26]也有研究者對幼兒園大班和學前班幼兒數(shù)學知識和能力水平進行研究，發(fā)現(xiàn)雖然學前期末的兒童已經較好地具備了小學初期的數(shù)學知識，但學前兒童數(shù)學思維能力的發(fā)展明顯不足。[27]這種現(xiàn)象在基礎教育階段更為明顯，有研究者指出，在很長的一段時間以來，我國數(shù)學教育的“雙基”教學實際上是流于形式的演算和推理，特別是在升學形勢嚴峻，高考、中考競爭激烈的背景下，更進一步演變成題型的演練。這種訓練可以提高學生解決已知題型的速度以及準確度，但卻不能加深對數(shù)學的真正理解，這是造成我國學生“高分低能”的一個非常重要的原因。[28]

第二，幼兒園和小學的學習方式可能是導致這一結果的一個原因。在早期數(shù)學教育中，無論是正式的或是非正式的數(shù)學教育活動，讓兒童在與材料的互動操作中獲得數(shù)學知識已經毋庸置疑，然而教師會要求幼兒自己操作，不要和其他同伴交流，甚至在空間安排上有意制造一些隔斷，以避免幼兒之間的交流和相互影響。[29]在小學階段，數(shù)學學習是以教師講授為主的，以小組合作解決問題的方式進行數(shù)學學習并不是兒童習慣的學習方式。有趣的是，在研究過程中，當研究者要求一年級兒童合作想出盡可能多的問題答案時，有相當多的學生將記錄紙壓在胳膊下，并明確告訴小組其他成員：這是我的答案，你不許看。之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，可能是由于我們在數(shù)學教育過程中，并沒有采取小組學習的方式或鼓勵兒童合作尋找解題策略和問題答案。根據(jù)維果斯基的社會建構理論，在合作學習過程中，小組成員可以為他人提供認知沖突和挑戰(zhàn)，在解決認知沖突的過程中兒童獲得了更多解題的策略和問題的答案。這一理論也得到了實證研究的證實，斯基羅和勞倫（Schiro & Lawron）的研究指出，合作情境更有利于兒童的問題解決。[30]

本研究還發(fā)現(xiàn)，數(shù)學表征能力隨著年齡的增長而提高，這可能與兒童邏輯思維能力的發(fā)展相關。根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展階段理論，大班兒童正處于前運算階段，此時兒童邏輯思維能力的發(fā)展主要依賴于頭腦中形成的表象。因此在本研究中，大班兒童主要采用畫圖（畫出糖果和蛋糕、春游地點）的方式表征問題解決的過程和結果。隨著年齡的增長，兒童逐漸擺脫具體實物的限制，能夠把抽象的符號從具體事物中抽離出來并與數(shù)量建立聯(lián)系，開始運用圖形符號（比如一個圓圈表示一塊糖果）、數(shù)字、數(shù)學符號等表征方式。另外，經驗的累積作用也可能是導致這一結果的原因。在尊重兒童權利，提倡兒童主體性這一教育理念的指導下，現(xiàn)今的早期教育特別鼓勵兒童通過動作、繪畫、建構、拼貼、表演等“一百種語言”來表達觀點。早期數(shù)學教育領域也是如此，在兒童學會寫數(shù)字和列算式之前，我們鼓勵孩子用自己的方式去多元表征。從學前階段的多元表征，到正式數(shù)學學習中的數(shù)字與數(shù)學符號表征，兒童積累了大量表征數(shù)學問題的經驗。因此在問題解決過程中，一年級兒童可以調動更多的表征經驗、運用更多種表征方式去解決問題，并能夠順利在多種問題表征方式之間靈活地轉換。

（二）數(shù)學過程性能力發(fā)展的性別差異

本研究發(fā)現(xiàn)，從兩個年齡段來看，在兩個數(shù)學任務中，男生的過程性能力得分要高于女生，且男生的標準差也更大。這一結果驗證了前人的研究結果，即在數(shù)學學習過程中，男女生存在顯著差異，[31]男性的內部差異比女性的內部差異大，即得分特高和得分特低的男性人數(shù)多于女性。[32][33][34]從本研究的結果看，這一規(guī)律在數(shù)學過程性能力方面也是適用的。

我們可以從以下幾個方面理解男生和女生在數(shù)學能力發(fā)展方面的差異。首先，這種差異可能存在生理基礎。研究指出，人類的左右半腦承擔的職責不同，左半腦主要負責言語思維，右半腦則主要負責人的空間感知等方面。[35]腦科學研究表明，左右半腦的成熟也存在性別差異，男生的大腦右半球在6歲左右趨向專業(yè)化，而女生則要到青春期才會達到與男生相同的發(fā)展水平。[36]發(fā)展更成熟、更專業(yè)化的大腦右半球為男生抽象概括能力的發(fā)展提供了生理基礎。

其次，這種差異還可能存在著文化因素。傳統(tǒng)上我們把數(shù)學看成是男性的領域，這種思維定式和性別刻板印象來自社會和家庭，具體表現(xiàn)在社會、家庭對男女兒童的教養(yǎng)方式以及期望的差異。[37]比如，在家庭中我們會為男孩兒提供積木并較多鼓勵男童參與搭建一類的活動，而女生則更多是操作娃娃等社會裝扮類的材料。兩種不同的材料和游戲可能導致兒童從學前期開始就對不同領域的學習產生了偏好并進而導致了學習能力上的差異。另外，研究表明，對男生和女生的期待不同，還會導致教師在對待男生和女生時存在差異。一般來說，男生受到教師的關注要比女生多，[38]從學前到大學，男生受到的注意的時間要比女生多1800小時。這種現(xiàn)象在數(shù)學學科中更為突出。[39]而且，男生在數(shù)學學科中也有更多的機會與教師互動，得到教師更多的反饋、表揚、指導以及傾聽等。[40]由性別刻板印象所帶來的期望差異以及教養(yǎng)差異，可能是導致男女在數(shù)學能力上存在發(fā)展差異的社會學因素。

然而，兩個年齡段的女生表征能力都要比男生得分高，這可能與女生的注意力、記憶力有更高的成熟水平相關。研究表明，在注意力方面，女生比男生的得分高。[41]另外，男生和女生的記憶力類型和水平也存在差異，女生一般偏重于機械記憶，記憶面較廣，量較大。[42]在數(shù)學表征過程中，兒童要運用多種表征方式并在各種表征方式之間進行轉換，這就要求兒童首先要記住更多類型的表征方式，女生較廣的記憶面和記憶量，為其表征過程中運用多種表征方式提供了前提條件。表征方式在轉換過程中，要求兒童付出更多的意志努力，女生較高水平的注意力發(fā)展水平，為表征方式的順利轉換提供了條件。

（三）數(shù)學活動內容對過程性能力的影響

本研究發(fā)現(xiàn)，與性別和年齡相比，數(shù)學活動內容對過程性能力的影響解釋力度更大。這一結果說明，在不同的數(shù)學活動中，由于兒童要學習理解、運用的數(shù)學知識不同，其所需要的過程性能力支撐是不同的。這一結果與前人的研究結果是一致的，[43][44]該研究指出，不是所有的數(shù)學過程性能力要素都會在同一個活動中出現(xiàn)，不同的活動對能力的需求是不一樣的。另外，兒童的學習與生活經驗可能也會對兒童問題解決造成影響。在我國傳統(tǒng)的數(shù)學教育中，運算經常是以唯一的固定答案的形式存在，不管是幼兒園大班最常見的口算應用題，還是一年級常見的數(shù)學算式，兒童要解決的運算問題的答案都是唯一的、固定的。但是，本研究要求兒童解決的問題答案是不唯一的，是有著多種可能性的。在研究過程中，經常有兒童找到了一種答案后就認為自己完成了任務并結束了解題過程。另外，在數(shù)學教育過程中，由于過分強調符號運算，可能導致兒童機械地記住了運算結果而并不理解實際意義。比如，有的兒童認為4+6=10和6+4=10表示的是相同的意思。此外，在幼兒園的日常生活中，很多幼兒都有種植和養(yǎng)殖并統(tǒng)計動植物生長變化的經歷，這種運用數(shù)關系表示量關系和空間關系的表征技能的練習過程，為兒童解決有關統(tǒng)計任務提供了經驗儲備。

（四）數(shù)學活動內容與年齡對過程性能力的交互效應

本研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學內容與年齡在過程性能力上存在顯著的交互效應。大班兒童兩個內容之間的差異大于一年級兒童兩個內容上的差異。這可能一方面進一步反映了兩種數(shù)學內容在過程性能力上的差異性，統(tǒng)計內容相比運算內容更有利于兒童過程性能力的體現(xiàn)，且更多追求過程性技能的評價，而運算內容相比較更多會追求結果性問題而忽視過程性能力的評價。另一方面這也進一步反映了過程性能力的年齡差異問題，這種年齡差異與活動內容有很大的關系。統(tǒng)計活動中兩個年齡間的差異大于運算活動中兩個年齡間的差異。說明從幼兒園大班到一年級，學習方式的改變可能造成了兒童過程性能力表現(xiàn)的暫時性的、表面性的下降。之所以說是暫時性的下降，因為我們僅僅考察了幼兒園大班和一年級兒童的差異情況，從發(fā)展的角度，兒童的過程性能力隨著認知水平的提高和學習經驗的增長會出現(xiàn)持續(xù)的發(fā)展。但這種發(fā)展特點需要后續(xù)的研究進一步展開探索。之所以說是表面性的下降，是因為這種過程性能力本質上是發(fā)展提升的，但所表現(xiàn)出來的過程性能力的水平與我們的測查方式有很大的關系。由于一年級兒童的學習過程和學習目標可能相比于幼兒園兒童更追求結果的準確性和獲得結果的效率，所以導致他們在測查中表現(xiàn)出過程性能力的下降。當然，該交互效應還需要在更大的年齡范圍進一步加以驗證。

五、教育建議

（一）提高教師對兒童學習與發(fā)展的認識，轉變教師數(shù)學教學與評價的思路

隨著兒童觀及學習觀的不斷更新，社會對人才素養(yǎng)的期待不斷變化，世界各國對兒童學習與發(fā)展的目標界定也發(fā)生了轉變。從發(fā)展的角度講，兒童的學習和發(fā)展是對越來越復雜的社會活動的參與，也就應該以一種綜合的應對和解決問題的能力表現(xiàn)出來，而不是某一方面的知識或技能。[45]因此學習內容不僅僅是以知識技能的形式存在，而且蘊含在與他人的關系之中，學習應該是豐富的知識和豐富的意向以復雜的方式融為一體的過程。[46]因此，數(shù)學教育不僅要幫助兒童“獲取何種數(shù)學知識以及為什么獲取知識，還要考慮在何時、何地、如何使用這些知識，這是個人成長和社會發(fā)展的基本問題”。[47]因此，數(shù)學教育所追求的培養(yǎng)的數(shù)學能力，應該表述為“在涉及數(shù)量、空間、概率或其他數(shù)學概念的多種情境中，在提出、解決和解釋數(shù)學問題時具有的分析、推理和有效交流的能力”。[48]

從這個角度出發(fā)，數(shù)學教育不僅應該把內容性知識作為重要的教育內容，還應同時對過程性能力要素進行思考與設計，這樣才能培養(yǎng)未來公民所需要的數(shù)學素養(yǎng)。教師是教育教學與評價的執(zhí)行者，教師對兒童學習與發(fā)展的認識直接影響到教育教學的目標制定、內容以及評價指標的選擇，因此，完善教師的兒童發(fā)展觀與學習觀，從強調兒童是否“做對”，轉向兒童“如何做對”以及“為何做對”是至關重要的。這一點對于小學教師尤其重要。從本研究的研究結果看，大班兒童的過程性能力的得分要好于一年級兒童，這從一個側面反映了小學數(shù)學教學更加關注數(shù)學知識內容本身，而忽略了從學前階段就已經發(fā)展起來的過程性能力。而從先前研究看，過程性能力是兒童獲得數(shù)學學習內容的有力支撐。在教學和評價過程中過分關注知識內容的獲得，而忽視過程性能力，不僅不利于數(shù)學過程性能力的發(fā)展，也不利于兒童去理解和運用數(shù)學知識，從而導致數(shù)學學習在整體上質量不高。

（二）多方協(xié)作促進數(shù)學教育改革，為過程性能力在實踐中的落地提供抓手

倡導的理論轉化為教師實踐中所采用的理論，并對教育教學產生實際的影響并非易事，這需要多方做出努力。首先，我國的《3～6歲兒童學習與發(fā)展指南》以及適用于中小學生的數(shù)學教育標準，明確地闡明了每個年齡段兒童應該獲得哪些數(shù)學知識內容，但沒有明確地指出兒童應該具備哪些過程性能力。這向教師傳遞的信念是：數(shù)學知識的學習比能力的獲得更重要。因此，在政策上明確提出過程性能力及培養(yǎng)方法，是改變教師觀念的必要一步。正如研究者指出，要改變“重結果、輕過程”的教學和評價實踐，最好是國家從上往下推政策，用政策告訴大家什么東西是最重要的，這樣才能改變整個教育環(huán)境。[49]其次，有必要改革幼兒園教師以及小學數(shù)學教師的培養(yǎng)模式，改變其學科至上的價值取向，使教師培養(yǎng)理念與關注幼兒未來長遠發(fā)展的價值取向一致。另外，師資培養(yǎng)單位的課程改革也要發(fā)揮適當?shù)淖饔?，[50]在數(shù)學教育課程中，加入與學習過程和過程性能力的相關內容，以保證教師獲得與教育實踐相適應的知識與能力，以提高教師對過程性能力的教學和評價能力。第三，小學低年級段可以相應地向幼兒園教育靠攏，改變傳統(tǒng)的以教師傳授為主的學習模式，采用小組合作式的形式，鼓勵學生通過操作實物、討論等途徑探求解題策略和答案，這有利于培養(yǎng)兒童的過程性能力，并最終促進兒童的數(shù)學學習。

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The Development of Mathematical Process Abilities on Children Aged 5～7

Jing Zhou，1 Zhenguo Zhao，2 Liping Guo3

（1School of Teacher Education， Ningbo University， Ningbo 315211 China; 2School of Educational Science， Henan University， Kaifeng 475004 China; 3Faculty of Education， East China Normal University， Shanghai 200062 China）

Abstract： Through the methods of quantitative research， this paper evaluated the development of mathematical process abilities on 200 5～7-year-old children in two mathematical activities named operation and statistics. The results showed that there were age and gender differences in childrens process abilities. 5～6-year-old children scored higher than 6～7-year-old children on mathematical process abilities and boys performed better than girls. There was content difference in childrens process abilities， for children scored higher in statistical activity than in arithmetic activity. These findings suggested that we focused too much on childrens learning results other than learning process and ignored the abilities needed during mathematic learning. Efforts should be made to improve teachers pedagogies of knowledge and ability to understand and implement process abilities in mathematical teaching and assessment.

Key words： 5～7-year-old children， mathematical process ability， mathematical ability， mathematical education