連續(xù)切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與L1增益控制

黃麗瓊

（商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛 726000）

切換正系統(tǒng)是由有限個正系統(tǒng)和一個切換信號組成，其中切換信號協(xié)調(diào)各子系統(tǒng)之間的運行，切換正系統(tǒng)在網(wǎng)絡、經(jīng)濟學及人口模型等要求狀態(tài)模型為非負的領(lǐng)域內(nèi)應用非常廣泛[1-3]。近幾年來對于切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題研究結(jié)果非常多[4-6]，同時對于切換正系統(tǒng)，信號向量的絕對值之和具有一定的物理意義，因此對正系統(tǒng)進行L1增益分析是很有必要的。文獻[7]利用線性余正Lyapunov 泛函給出雙時滯線性切換正系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的且具有抑制干擾能力γ 的充分條件，文獻[8]提出了一種時變分段定長線性Lyapunov 函數(shù)方法，給出了離散線性切換系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性的充分條件，并利用此方法得到系統(tǒng)的L2增益分析。文獻[9]利用文獻[8]中的時變分段定長線性Lyapunov 函數(shù)，給出了離散正切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，同時利用線性矩陣不等式方法求解使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的最小駐留時間。

本文主要將文獻[8]中的方法推廣到連續(xù)正切換線性系統(tǒng)中，借助時變分段余正Lyapunov 函數(shù)方法，得到一個帶駐留時間約束的連續(xù)線性切換正系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，并進一步利用此方法給出系統(tǒng)具有L1增益的充分條件。文中符號說明：Ai?0（Ai≥0，Ai?0）表示矩陣Ai中每一個元素都是正（非負，負）的表示由所有元素都是非負的n 維向量組成的集合，‖x‖1表示向量1-范數(shù)，‖x‖=表示向量的L1范數(shù)。

1 預備知識

本文主要考察如下一類連續(xù)時間切換正系統(tǒng)：

引理1[9]系統(tǒng)(1)為正系統(tǒng)，當且僅當下列條件成立

1）系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)非負。

2）Ai為 Metzler 矩陣，即 Ai的所有非對角元素全是非負的，Bσ(ti)，Cσ(ti)，Dσ(ti)，Eσ(ti)，i∈N 均為相容維數(shù)的非負矩陣。

定義1對任意切換信號σ(t)，假設σ(t)對應的切換序列為 t0,t1，…，tk，…，k∈N+，如果存在常數(shù) t*滿足則稱 t*為系統(tǒng)(1)的最小的駐留時間。

定義2給定常數(shù)γ＞0，稱系統(tǒng)(1)有一個標準L1增益，如果下列兩個條件滿足：

1）當 ω(t)=0，u(t)=0 時，系統(tǒng)(1)是漸進穩(wěn)定的。

2）在零初始狀態(tài)下，系統(tǒng)(1)滿足

定義3若系統(tǒng)(1)滿足初始狀態(tài)且是漸進穩(wěn)定的，那么對任意的切換信號σ(t)，都有‖x(t)‖→0(t→∞)。

2 主要結(jié)果

定理1考慮連續(xù)切換正系統(tǒng)(1)，其中ω(t)=0，u(t)=0,給定一個標量 d＞0，假設存在一系列的向量 λi,m,m=0,1,…,d-1，i∈N 使得下列條件成立：

那么系統(tǒng)(1)在滿足如下條件的切換信號下，是漸進穩(wěn)定的。

證明取Lyapunov 函數(shù)如Vi（x(t)）=x(t)Tλi(t)，其中

λi（t）在區(qū)間[tn,tn+d)上為時變向量λi,m，在區(qū)間[tn+d,tn+1)為不變常值 λi,d，假設系統(tǒng)(1)的切換序列為 t0，t1，…,tk,…，k∈N+，在區(qū)間[tn,tn+1)上第i 個子系統(tǒng)被激活，即σ(ti)=i，由于最小駐留時間為d,那么駐留時間區(qū)間被分成了兩部分。

當 t∈[tn,tn+d)時，從式(2)可以得到

當 t∈[tn+d,tn+1)時，由式(3)得

假設在時刻tn，系統(tǒng)從第i 個子系統(tǒng)切換到第j 系統(tǒng)，從式(4)

由式(6)(7)(8)可以知道函數(shù)Vσ(t)x(t)隨著時間趨向于無窮最終收斂到零，從而說明系統(tǒng)（1）在切換信號(5)下是漸進穩(wěn)定的。

定理2考慮連續(xù)時間切換正系統(tǒng) (1)，其中 u(t)=0，給定一個標量 γ＞0,d＞0，如果存在一系列的向量λi,m,m=0,1,…,d-1,i∈N 使得下列條件成立：

那么連續(xù)時間切換正系統(tǒng)(1)在ω(t)=0 的條件下為漸進穩(wěn)定的，并在如下切換信號下有一個不超過γ 的標準L1增益表現(xiàn)系數(shù)。

證明令ω(t)=0，根據(jù)定理1 可得到系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，下面主要證明系統(tǒng)的L1增益性。

當t∈[tn+d,tn+1)時，相似的可以得到

由式(10)(12)Vσ(t)x(t)＜-(‖y(t)‖1-γ‖ω(t)‖1)，t∈[tn＋d,tn＋1)。

由上述兩部分證明結(jié)果可得出

通過式(13)，可得

對區(qū)間[t0,t]，對式(14)兩端進行積分得

由式(15)可得

在零初始條件下，當t→∞有

3 結(jié)論

本文討論了帶有駐留時間約束的切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出了使所討論的系統(tǒng)在漸進穩(wěn)定所容許的最小駐留時間的求解方法，同時把此方法推廣到切換系統(tǒng)的L1增益分析中，給出了駐留時間與γ-L1增益之間的關(guān)系。