厘清數(shù)學(xué)教學(xué)中的四個(gè)基本問題*
——以蘇科版八上“5.2 平面直角坐標(biāo)系（3）”為例

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前階段，筆者擔(dān)任無錫市教育學(xué)會(huì)組織的青年教師賽課的評(píng)委，聽取了其中一組青年教師的課堂教學(xué)，本次賽課的課題是蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“5.2平面直角坐標(biāo)系（3）”。每位參賽教師都具有比較扎實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)基本功，具體體現(xiàn)在課堂教學(xué)中目標(biāo)定位合理、教學(xué)主線清晰、教學(xué)環(huán)節(jié)完整、教學(xué)語言簡潔、重點(diǎn)難點(diǎn)突出、板書設(shè)計(jì)合理等等方面。但每位教師在處理某些環(huán)節(jié)時(shí)，或多或少暴露出一些問題，體現(xiàn)了部分教師備課不足，對(duì)課堂教學(xué)的一些基本問題還沒有厘清，致使課堂教學(xué)中還是留下了不少遺憾。我們知道，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)由教師的教、學(xué)生的學(xué)、教學(xué)內(nèi)容三部分組成，他們互相融合構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的統(tǒng)一整體，只有根據(jù)教學(xué)內(nèi)容把教師的教、學(xué)生的學(xué)都把握好，才能真正體現(xiàn)課堂教學(xué)效能的最大化?，F(xiàn)把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中必須厘清的四個(gè)基本問題再次進(jìn)行闡述，同時(shí)修正上述活動(dòng)中參賽教師在課堂教學(xué)中暴露出的問題，希望廣大青年教師能從中獲得一些啟發(fā)和收獲。

一、厘清“教（學(xué)）什么”的問題

“教（學(xué)）什么”主要解決教學(xué)的內(nèi)容問題。每課時(shí)要教學(xué)什么內(nèi)容，對(duì)教師來說是一個(gè)比較容易認(rèn)識(shí)到位的問題，但僅認(rèn)識(shí)本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容是成體系的，具有整體性，從宏觀看是成面狀結(jié)構(gòu)的；而每一章內(nèi)容都是整體中的一個(gè)部分，具有關(guān)聯(lián)性，從中觀看是成線狀結(jié)構(gòu)的；每一課時(shí)內(nèi)容都是單元關(guān)聯(lián)知識(shí)鏈上的一環(huán)，具有獨(dú)立性，從微觀看是成點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)的。［1］基于上述對(duì)知識(shí)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，當(dāng)我們思考其中一課時(shí)知識(shí)內(nèi)容的時(shí)候，還應(yīng)該搞清楚的是知識(shí)“點(diǎn)線面”結(jié)構(gòu)，尤其是知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展線。即本課內(nèi)容是什么？找到“知識(shí)點(diǎn)”的位置，它從哪里來？將向哪里去？通過前后關(guān)聯(lián)，找到“知識(shí)線”所在。

從上可以看出，“教（學(xué)）什么”的問題伴隨而來的就是“課堂教學(xué)開始時(shí)溫故什么”和“如何進(jìn)行前后知識(shí)關(guān)聯(lián)”的問題。就“平面直角坐標(biāo)系”這節(jié)內(nèi)容來說，共分三個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)是直角平面坐標(biāo)系概念的形成、通過坐標(biāo)系這個(gè)工具進(jìn)行點(diǎn)與坐標(biāo)之間的數(shù)形相互轉(zhuǎn)換；第二課時(shí)是利用直角平面坐標(biāo)系這個(gè)工具結(jié)合數(shù)學(xué)中最常見的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折三種變換再次對(duì)點(diǎn)與坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)換提高認(rèn)識(shí)；第三課時(shí)是利用坐標(biāo)系的工具屬性，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用前面所學(xué)的知識(shí)解決生活與數(shù)學(xué)中的簡單問題。

可見，本課內(nèi)容“建系”是前面兩課時(shí)知識(shí)的延續(xù)，也可以看成是前面知識(shí)的運(yùn)用和應(yīng)用。有了上面的知識(shí)內(nèi)容認(rèn)識(shí)，就可以解決部分教師賽課中暴露的第一個(gè)問題，那就是如何溫故？部分青年教師只知道把前面兩課的核心內(nèi)容在課堂伊始進(jìn)行回顧，卻不知溫故的目的在于知新。從上述知識(shí)發(fā)展線分析可以看出，只有服務(wù)于本課學(xué)習(xí)所需的學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（含知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)）與生活現(xiàn)實(shí)（含實(shí)際問題情境認(rèn)識(shí)），才是最需要溫故的內(nèi)容。還可以解決部分教師賽課中暴露的另一個(gè)問題，那就是拋開前面兩課時(shí)的知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，把本課看作獨(dú)立的一課時(shí)，缺少前后課時(shí)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。

二、厘清“為什么要教（學(xué)）”的問題

“為什么要教（學(xué)）”主要解決教學(xué)的必要性問題。蘇科版教材通常在每一課時(shí)的第一部分呈現(xiàn)的就是情境，情境必須具有有趣、有用、有挑戰(zhàn)性的特點(diǎn)。解讀情境時(shí)，如果給出的是數(shù)學(xué)情境，那就按照數(shù)學(xué)發(fā)展線提出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而按照問題要求分析問題、解決問題；如果給出的是生活情境，可以先從生活情境中提出生活問題，再把生活問題變成數(shù)學(xué)問題，然后按照數(shù)學(xué)問題的解決思路展開教學(xué)。［2］不管是數(shù)學(xué)問題還是生活問題，最重要的一點(diǎn)就是在課堂教學(xué)中一定要讓學(xué)生充分體會(huì)到學(xué)習(xí)今天這個(gè)內(nèi)容的必要性。

就本課時(shí)而言，教材素材一共提供了3 塊內(nèi)容，一是“電腦線路板機(jī)械手操作”問題，二是“旅游需要準(zhǔn)確說出各景點(diǎn)的位置”問題，三是“正方形建立坐標(biāo)系后求頂點(diǎn)坐標(biāo)”問題。有的教師選擇“電腦線路板上機(jī)械手如何準(zhǔn)確插孔”作為情境，有的教師選擇“游覽區(qū)如何準(zhǔn)確說出各旅游景點(diǎn)位置”作為情境，這些選擇都沒有任何問題。部分參賽教師的問題就出在解讀生活情境時(shí)沒有讓學(xué)生充分體會(huì)到“建系的必要性”，或告知要“建系”或簡單問答后就“建系”，沒有充分體現(xiàn)出情境的價(jià)值。

我們以“如果你站在中心廣場，你能根據(jù)這張旅游景點(diǎn)分布圖說清各景點(diǎn)的準(zhǔn)確位置嗎？（見下頁圖1）”為例。要充分利用好這個(gè)情境，可以先讓學(xué)生說一說，如果在現(xiàn)實(shí)生活中，你會(huì)怎么做？由于學(xué)生已有了“5.1 位置的確定”的知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生肯定會(huì)提供各種各樣的辦法，教師需要指出這些方法存在的困難或局限，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提問，在數(shù)學(xué)中，我們可以怎么做？由于學(xué)生有了“5.2平面直角坐標(biāo)系（1）（2）”的知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生必然會(huì)想到“建系”。只要建立了平面直角坐標(biāo)系，那么就可以把每一個(gè)景點(diǎn)抽象成平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，通過點(diǎn)的坐標(biāo)就可以準(zhǔn)確說出每一個(gè)景點(diǎn)的位置。接下去就可以研究如何建系的問題。

三、厘清“怎么教（學(xué)）、為什么這樣教（學(xué)）”的問題

“怎樣教（學(xué)）、為什么這樣教（學(xué)）”主要解決教學(xué)的過程性問題和思維性問題。課堂教學(xué)中的這個(gè)問題基于每課時(shí)的過程性目標(biāo)和結(jié)果性目標(biāo)（包括知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、素養(yǎng)目標(biāo)），把數(shù)學(xué)學(xué)科形態(tài)的素材變成教學(xué)形態(tài)的素材，需要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的設(shè)計(jì)，有效地實(shí)施，過程性與思維性相輔相成。

就本課時(shí)而言，可以在利用上述旅游景點(diǎn)情境讓學(xué)生體會(huì)建系必要性的基礎(chǔ)上，再通過“如何建系”問題的系列研究，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)例題的最大功能。就以課本“例4：已知正方形ABCD的邊長為4，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，分別寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)?！睘槔總€(gè)賽課教師都介紹了可以把頂點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)中的任意一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，或把正方形對(duì)角線交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，或一般性取一個(gè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)等情形建立坐標(biāo)系，換句話來說，所有賽課教師都帶領(lǐng)學(xué)生研究了“建系的多元性”，體現(xiàn)了思考的過程，但部分教師沒有讓學(xué)生進(jìn)一步研究不同建系后的效果，即研究“建系的優(yōu)劣性”，相當(dāng)于對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)的題目的解法只進(jìn)行一題多解的研究，最后沒有進(jìn)行最優(yōu)化方法的決策，沒有充分體現(xiàn)出“建系的思維性”。最簡、最優(yōu)、最美是數(shù)學(xué)的追求，部分教師賽課中暴露的上述問題，實(shí)際上丟失了利用問題解決培養(yǎng)學(xué)生思維這一數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)。

四、厘清“教（學(xué)）了之后有什么好處”的問題

“教（學(xué)）了之后有什么好處”主要解決教學(xué)的價(jià)值性問題。數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)體現(xiàn)在如下三個(gè)方面，一是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中掌握必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法，二是在應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中提高學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，三是在學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。［3］

每一課時(shí)的教學(xué)，從現(xiàn)象上看，首先解決了學(xué)生在現(xiàn)有數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)上可以對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)一步深入和向前發(fā)展的可能。其次解決了學(xué)生利用當(dāng)前知識(shí)可以解決相匹配的生活問題和數(shù)學(xué)問題。從本質(zhì)上看，學(xué)生在每一課時(shí)的學(xué)習(xí)過程中知識(shí)、能力、素養(yǎng)都獲得了發(fā)展。就本課時(shí)而言，“建系的重要性”主要體現(xiàn)在學(xué)生懂得建系的必要性，懂得如何建系，懂得如何優(yōu)化建系，懂得利用建系可以解決與建系有關(guān)的生活問題（如教材上電腦線路板上機(jī)械手如何準(zhǔn)確插孔）和數(shù)學(xué)問題（如教材上通過建系寫出等腰三角形、等邊三角形、直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)）。當(dāng)然，本課時(shí)的學(xué)習(xí)既為本章內(nèi)容做了一個(gè)結(jié)尾，也為下一章一次函數(shù)的學(xué)習(xí)做好了奠基。因?yàn)楸菊n時(shí)可以看作是前面2 課時(shí)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用和應(yīng)用，部分賽課教師對(duì)本課的小結(jié)沒有引起足夠的重視，有的教師沒有做任何小結(jié)就匆忙結(jié)束，從環(huán)節(jié)的完整性角度來看也是賽課中的遺憾。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)工程，影響課堂教學(xué)效能的因素很多，有可能是教師本身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)所限，有可能是知識(shí)內(nèi)容的解讀不到位，有可能是教的方法不恰當(dāng)，有可能是學(xué)的方式不對(duì)應(yīng)等，但作為青年教師在實(shí)施每一課時(shí)課堂教學(xué)之前，先要研究清楚“教（學(xué)）什么”“為什么要教（學(xué)）”“怎么教（學(xué)）、為什么這樣教（學(xué)）”“教（學(xué)）了之后有什么好處”等這些基本問題，這些基本問題將有助于你的課堂教學(xué)快速成型、不斷提高。如果一個(gè)青年教師能夠做到針對(duì)每一課時(shí)的教學(xué)都能思考清楚這些問題，那么上出一堂高質(zhì)量的好課就指日可待。