經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)視角下睡眠模型的建立
——基于因子分析和主成分分析

■廖國(guó)威（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)）

一、引言

睡眠對(duì)人體健康有不可忽視的影響，每個(gè)人一生花費(fèi)在睡眠上的時(shí)間約占生命總長(zhǎng)度的1/3，另外2/3的人生旅程直接受這1/3時(shí)間的影響，也就是說(shuō)和睡眠質(zhì)量息息相關(guān)。人的精神狀態(tài)取決于睡眠質(zhì)量，高質(zhì)量睡眠自然保證了人們保持充沛的精力。然而，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，目前我國(guó)正有38.2%的成年人飽受失眠癥的摧殘，青少年失眠率也在同時(shí)上升。

造成失眠的諸多復(fù)雜因素通?？梢员环譃榭陀^和主觀兩方面?？陀^因素包括茶或咖啡等提神物質(zhì)的影響以及外部環(huán)境的變化等；而主觀因素可以分為：情感上的失落、生活上的壓力和精神上的興奮和其他的精神因素。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在利用數(shù)據(jù)對(duì)睡眠進(jìn)行模型分析的領(lǐng)域稍顯空白，現(xiàn)有的文獻(xiàn)屈指可數(shù)。呂曉萌等學(xué)者基于多元分類(lèi) logistic 回歸、判別分析等分析方法分別建立了睡眠質(zhì)量等次分類(lèi)及疾病診斷模型，制定出一套切實(shí)可行的睡眠計(jì)劃，并提出相應(yīng)措施對(duì)睡眠計(jì)劃方案進(jìn)行有依據(jù)的優(yōu)化；李浩然等學(xué)者結(jié)合睡眠等指標(biāo)利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)睡眠進(jìn)行了健康的規(guī)劃，建立起神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型視角的睡眠模型；米碩等學(xué)者基于LSTM循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型探究了患病概率與睡眠之間的關(guān)系。本文的創(chuàng)新之處在于從較為新穎的因子分析和主成分分析角度出發(fā)，結(jié)合數(shù)據(jù)建立起精度較高的睡眠模型，對(duì)睡眠時(shí)間進(jìn)行科學(xué)的規(guī)劃。

二、主成分分析模型的建立

主成分分析法是在盡可能少減少或不減少問(wèn)題內(nèi)涵蓋的信息和指標(biāo)的前提下，找到N個(gè)能夠控制原本變量的隨機(jī)變量，將原來(lái)復(fù)雜的多個(gè)因子變量抽絲剝繭成幾個(gè)因子變量來(lái)研究問(wèn)題，而這幾個(gè)變量必須能夠精確表述問(wèn)題的內(nèi)部關(guān)聯(lián)性。其主要思想就是將幾個(gè)有關(guān)聯(lián)的指標(biāo)縮小成幾個(gè)綜合指標(biāo)，繼而通過(guò)主成分分析，選出 K個(gè)主要的因子對(duì)其進(jìn)行分析，考慮這K個(gè)主因子與原始指標(biāo)間的關(guān)系，然后確定每個(gè)主因子的含義，主成分分析法的評(píng)價(jià)模型是由每一個(gè)主因子的方差貢獻(xiàn)率作為權(quán)重得到的。該分析方法的數(shù)學(xué)模型是：設(shè)問(wèn)題有P個(gè)變量每個(gè)變量的平均值是0，標(biāo)準(zhǔn)差是1，獲得的數(shù)據(jù)矩陣是Xn*p，這個(gè)變量分別用的線性組合來(lái)表示，將到如下的方程組：

其中Xp×n是原始變量構(gòu)成的矩陣轉(zhuǎn)置，因子載荷矩陣是Ap×m，公共因子是，元素ijα是因子載荷，同時(shí)用代表無(wú)法測(cè)量的特殊因子，代表無(wú)法解釋的那部分量，的平均值為 0。由于載荷矩陣被用來(lái)反映公共因子的重要程度，因此要求 A 的元素的取值方便客觀的解釋?zhuān)硐肭闆r是每列兩極分化。

取正交矩陣Tm×m(叫做旋轉(zhuǎn)矩陣)其中是做旋轉(zhuǎn)的單位矩陣：

在經(jīng)過(guò)主成分分析的步驟將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后，根據(jù)表1的相關(guān)數(shù)據(jù)可以看出，各項(xiàng)指標(biāo)相關(guān)系數(shù)小。這說(shuō)明他們無(wú)法完全滿足主成分分析法在信息重疊方面的要求，因此本文接下來(lái)選擇因子分析模型

三、因子分析模型

（一）模型描述

因子分析法借助分析N個(gè)變量間相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部之間的依存關(guān)系，以期找出少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)涵蓋所有的變量信息，以此替換所有初始變量去解答原來(lái)的問(wèn)題。

因子的形成取決于變量的相關(guān)性，并且具有較大相關(guān)性的變量被組合在一起，使得因子彼此不相關(guān)，并且所有變量都是公因子的線性組合。

其數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：設(shè)有 N 個(gè)樣本，P 個(gè)指標(biāo)，隨機(jī)變量為是要尋找得到的公因子，因子模型為：因子載荷矩陣為：A=（aij），因子載荷是aij，其本質(zhì)即為公因子iF和Xi變量之間的相關(guān)系數(shù)。特殊因子ε代表那些在實(shí)際分析時(shí)不可避免的、幾乎可以忽略不計(jì)的誤差以及公因子以外的影響因素。首先通過(guò)各指標(biāo)的載荷矩陣可以得出各公因子的實(shí)際意義，接著旋轉(zhuǎn)因子可將其更加清晰的說(shuō)明。得到所選取變量的公因子后，利用回歸估計(jì)等方法列出數(shù)學(xué)表達(dá)式對(duì)因子得分進(jìn)行描述，即各公因子是所選變量的線性形式，進(jìn)一步測(cè)算出因子得分，并對(duì)各案例進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

（二）因子模型分析

（1）表2的KMO檢驗(yàn)和Barlett檢驗(yàn)結(jié)果表明：KMO值為0.774表示可以進(jìn)行因子分析。為了檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否服從多元正態(tài)分布的總體是Barlett檢驗(yàn)的主要目的。由表2可知本例子中SIG值為0，說(shuō)明正態(tài)分布總體是數(shù)據(jù)來(lái)源，適合進(jìn)一步分析。

（2）變量共同度：表3變量共同度是用來(lái)說(shuō)明各變量中所包含初始信息能被提取的公因子所描述的程度。不難看出，本例中變量共同度較好，因此上述所提取的公因子可以對(duì)各變量進(jìn)行解釋。

（3）解釋的總方差：由表4可知，只有前兩個(gè)初始特征值大于1，所以SPSS只挑選了前兩個(gè)主成分進(jìn)行分析；由表中第一欄“提取載荷平方和”的數(shù)據(jù)可知第一主成分的貢獻(xiàn)率為38.042%；表中數(shù)據(jù)顯示，前兩個(gè)主成分的方差占所有主成分方差的57.004%。由此可知，相對(duì)于主成分分析法，因子分析法有了進(jìn)步?！靶D(zhuǎn)載荷平方和”一欄顯示的是旋轉(zhuǎn)以后的因子提取效果，與未旋轉(zhuǎn)之前差別不大。

（4）碎石圖：圖1的碎石圖的結(jié)果也顯示，有兩個(gè)成分的特征值超過(guò)了1，只考慮兩個(gè)成分即可。

（5）旋轉(zhuǎn)成分矩陣

第一個(gè)因子在睡眠質(zhì)量、睡眠時(shí)間、睡眠障礙、入睡時(shí)間、睡眠效率有較大的負(fù)荷；第二個(gè)因子在年齡，睡眠藥物、日間功能障礙上有較大的負(fù)荷。

（6）成分得分系數(shù)矩陣

表1 KMO與Bartlett鑒定

表2 Communalities變量共同度

表3 說(shuō)明的變異數(shù)總計(jì)

表4 元件矩陣

可直接得到各因子的表達(dá)式。需要注意的是，表達(dá)式中呈現(xiàn)出的各個(gè)變量是標(biāo)準(zhǔn)化變量而不再是原始變量。兩成分因子的表達(dá)式如下：

圖1 碎石圖分析結(jié)果

F1=0.012*Zscore（年齡）+0.278*Zscore（睡眠質(zhì)量）+0.249*Zscore（入睡時(shí)間）+0.225*Zscore（睡眠時(shí)間）+0.241*Zscore（睡眠效率）+0.234*Zscore（睡眠障礙）+0.118*Zscore（催眠藥物）+0.156*Zscore（日間功能障礙）

F1=0.515*Zscore（年齡）-0.040*Zscore（睡眠質(zhì)量）-0.086*Zscore（入睡時(shí)間）+0.160*Zscore（睡眠時(shí)間）+0.076*Zscore（睡眠效率）-0.205*Zscore（睡眠障礙）+0.260*Zscore（催眠藥物）-0.481*Zscore（日間功能障礙）

利用每個(gè)主成分所對(duì)應(yīng)的特征值在所提取主成分總的特征值之和中占的比例作為權(quán)重計(jì)算主成分綜合模型。

四、結(jié)論與建議

睡眠模型分為離散時(shí)間情況和連續(xù)時(shí)間情況，我們討論離散時(shí)間情況，以便對(duì)休息時(shí)間進(jìn)行科學(xué)規(guī)劃。我們使用效用變量（U）來(lái)表示人們的健康狀況，并認(rèn)為睡眠計(jì)劃會(huì)影響人們的睡眠質(zhì)量。此外，人們的能量增加將受到咖啡等提神物品的影響。在此基礎(chǔ)上，建立睡眠模型，以確定人們最佳的睡眠時(shí)間。假設(shè)效用函數(shù)與通過(guò)睡眠獲得的能量A相關(guān)并表示為以下函數(shù)：

ts是睡眠時(shí)間，t是時(shí)間段T(T)中的非睡眠時(shí)間，滿足等式（2）。

C代表咖啡或茶等提神物品，當(dāng)C＞1時(shí)，表示使用提神物品，當(dāng)C≤1時(shí)表示沒(méi)有使用提神物品。能量A和t之間的關(guān)系是

其中，α等式（3）表明，睡眠時(shí)間越長(zhǎng)，精力越充沛，但非睡眠時(shí)間也隨之減少。

效用函數(shù)表示為：

獲得的最大效用的一階條件是：

非睡眠時(shí)間與C成正比，當(dāng)C增大時(shí)， 非睡眠時(shí)間變長(zhǎng)，根據(jù)所以在T 時(shí)間內(nèi)，睡眠時(shí)間減少。

結(jié)果表明，睡眠時(shí)間會(huì)影響能量，假設(shè) T是一天24小時(shí)：

因?yàn)門(mén)是常數(shù)，可以在T時(shí)間討論睡眠時(shí)間和能量A之間的關(guān)系，可得：又因?yàn)門(mén)是24小時(shí)，由上述關(guān)系可知當(dāng)睡眠時(shí)間=8.66小時(shí)的時(shí)候，人的精力最充沛。

因此，根據(jù)模型筆者建議科學(xué)的睡眠計(jì)劃應(yīng)該是在晚上十點(diǎn)半之后入睡，每天早上六點(diǎn)鐘左右起床，中午在有可能的條件下盡量保證一個(gè)小時(shí)的午休，通過(guò)以上途徑以保證一天充足的睡眠，為充沛的精力和良好的學(xué)習(xí)工作狀態(tài)打下基礎(chǔ)。