淺談一道橢圓離心率問題的多種解法

■河南省潢川縣高級中學高三(15)班

對于一個數(shù)學問題,若能從不同角度多思多想,激活思維的源泉,往往能獲得多種不同的解題途徑。下面以一道橢圓離心率問題的求解為例加以說明,以供大家參考。

題目：已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,若橢圓上存在點P,使∠F1PF2=90°,求橢圓的離心率的取值范圍。

方法一：利用曲線的范圍建立不等關(guān)系求解

點評： 確定橢圓上點P(x,y)與a,b,c的等量關(guān)系,由橢圓的取值范圍,即|x|≤a,|y|≤b,建立不等關(guān)系求解。

方法二：利用基本不等式建立不等關(guān)系求解

解：設|PF1|=m,|PF2|=n。在△PF1F2中,由勾股定理可知,4c2=m2+n2。因為m+n=2a,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn。4c2=4a2-2mn,即2mn=4a2-4c2。

點評： 根據(jù)已知條件建立兩個方程,利用基本不等式建立a,c的齊次不等式,從而化為關(guān)于e的不等式求解。

方法三：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系求解

解：已知橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c。因為∠F1PF2=90°,所以點P的軌跡為以原點為圓心,半徑為c的圓。因為點P在橢圓上,所以c＞b,c2＞b2=a2-

點評： 找出本題的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵。在橢圓中線段長度的不等關(guān)系有：|PF1|+|PF2|≥2c。

方法四：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系求解

解：設橢圓的短軸的一個端點為B,則∠F1BF2≥90°。在△BF1F2中,sin∠OBF2

點評：將數(shù)用形來體現(xiàn),直接得到a,b,c的不等關(guān)系,這恰好是解決數(shù)學問題較好的一種方法,也是重要的解題途徑之一。

方法五：利用判別式確定不等關(guān)系求解

解：設|PF1|=m,|PF2|=n。由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=m+n=2a,所以m2+n2+2mn=4a2。在△PF1F2中,由勾股定理可知,m2+n2=4c2,所以mn=2(a2-c2)。m,n是方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的兩個實根,Δ=4a2-8(a2-c2)≥0,2c2＞a2,e2

點評：根據(jù)題中條件隱含著的一元二次方程的存在性,利用判別式建立不等式關(guān)系,來求離心率的取值范圍。

小結(jié)：這一道橢圓離心率取值范圍求解的五種解法,很好地鍛煉了同學們的思維,開拓了同學們的視野,提高了同學們的學習興趣,培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新精神和實踐能力。