數(shù)學核心素養(yǎng)在回歸分析中的體現(xiàn)

■張志猛

題目新高考改革方案實施“3+3”的考試辦法，出現(xiàn)20種選科組合，于是“走班制”上課方案應(yīng)運而生，但教室數(shù)量少、師資人數(shù)少和優(yōu)化配置上課教室等新矛盾產(chǎn)生?！镀胀ㄖ行W校建設(shè)標準》(2015年征求意見稿)中增設(shè)機動教室、選修課教室配置等條款，進而增加生均建筑面積，以此緩解矛盾。其中第四章第二十四條“普通中小學必配生均建筑面積指標”表部分摘要如表1。

表1

試用回歸分析知識中最小二乘法求出回歸直線方程，并計算某學校班級數(shù)量設(shè)置為42個時，對應(yīng)的生均建筑面積是多少平方米。[注：對于具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線方程為=bx+a，其中斜率b=截距a=

正解：根據(jù)回歸分析中最小二乘法求回歸直線方程的基礎(chǔ)知識可知，y3+y4+y5)=10.14，所以=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5=77400，=。故b=。 因為a=y-bx=10.14-，于是可得當x=42時，故某學校班級數(shù)量為42個時，對應(yīng)生均建筑面積是9.45m2。

錯解：數(shù)據(jù)分析部分同上面正解，數(shù)學抽象部分改為五組數(shù)對坐標A(18，11.2)，B(24，10.6)，C(30，10.0)，D(36，9.6)，F(xiàn)(48，9.3)，求新數(shù)對坐標E(42，y)中y的值。運用最小二乘法求回歸直線方程，可得到^y=10.065，結(jié)果顯然是錯誤的。

錯解分析：原因之一是班級數(shù)量不是學生總體個數(shù)，與生均建筑面積組成數(shù)對后，再求生均建筑面積是本質(zhì)性錯誤。原因之二是由于表中增設(shè)機動教室或選修課教室，增加了普通教室數(shù)量和面積，進而也不同比例地改變了生均建筑面積。所以，這種抽象概括的五組數(shù)對坐標，對于運用最小二乘法先求回歸直線方程，再求生均建筑面積是錯誤的。

小結(jié)：若本題未要求“用回歸分析知識中最小二乘法求出回歸直線方程”，則可以借助回歸直線方程的結(jié)論思想，直接利用中學課本中向量的平行(共線)、向量坐標運算及拓展知識“定比分點坐標公式”，進行數(shù)學運算完成解答。高中數(shù)學中的回歸直線方程相對應(yīng)于大學數(shù)學中插值函數(shù)的線性插值法(線性插值法是指使用連接兩個已知量的直線來確定在這兩個已知量之間的一個未知量的值的方法)，此類題目也可以運用線性插值法進行計算。