一類參數(shù)方程的研究

趙院娥，吳 靜，徐 杰

(1.延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000；2.佳縣中學，陜西 榆林 719000)

極坐標參數(shù)方程的研究在整個數(shù)學的學習過程中都是非常重要的，它是幾何與代數(shù)緊密聯(lián)系的紐帶，特別是在解決圓錐曲線的相關(guān)問題時，極坐標參數(shù)方程的優(yōu)越性就十分明顯。如今，極坐標參數(shù)方程的學習越來越重要，考察的方式也越多樣。以下就以例題分析的形式給出三種常見的極坐標參數(shù)方程的考察方式，并就每種方式給出多種解決方法。

1 參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化

直角方程、參數(shù)方程、極坐標方程是不同坐標系下的三種不同的常見方程，每種方程都有各自的特點。常見的就是直線、圓錐曲線與圓的三種方程的相互轉(zhuǎn)化。這種考查方法比較靈活，做法簡單，解題模式固定。

思路探究：根據(jù)圖像及題設，三段圓弧均為過圓心，直徑為2的圓的部分圖像組合而成，因此只需將三個過原點的圓的方程列出，并且注意的方程中θ的取值范圍。

方法一：借助圓的極坐標方程

方法二：直角坐標與參數(shù)方程之間的相互轉(zhuǎn)化

由題意知，

M1:(x-1)2+y2=1x∈(1,2)，

M2：(X-1)2+(y-1)2=1x∈(-1,1)，

M3：(x+1)2+y2=1x∈(-2,-1)。

由直角坐標與參數(shù)方程之間的相互轉(zhuǎn)化易知：

方法解析：本題在極坐標與參數(shù)方程中屬常規(guī)題，主要考察在極坐標下根據(jù)圖像求方程，由極坐標的幾何意義，及圖像的特殊性，可以較為容易的求解函數(shù)方程，對于大部分學生而言，更為熟悉的是直角坐標方程，由于直角坐標系與極坐標系之間聯(lián)系的特殊性，直接以極軸為直角坐標的x軸的非負半軸，極點作為坐標原點構(gòu)建直角坐標系，在直角坐標系中求曲線方程在依據(jù)直角坐標與極坐標之間的轉(zhuǎn)化求曲線的極坐標方程，也不失為一種方法，但解法一簡潔明了，方法二方便學生理解。

2 極坐標系下的弦長問題

求圓錐曲線的弦長，是常見得一種考查方式。常見求解弦長得方法有以下三種，每種方法都有各自的應用范圍，且考查的能力也不相同。

例2(2018江蘇)[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]

方法一：借助極坐標的幾何意義，結(jié)合函數(shù)圖像，根據(jù)題設構(gòu)建特殊三角形求解。

方法二：聯(lián)立直線與曲線的參數(shù)方程求兩交點的坐標，進而解決弦長問題。

方法三：將極坐標參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，利用弦長公式解決問題將直線L與曲線C的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程[3]。

C的直角坐標方程為：(x-2)2+y2=2

根據(jù)弦長公式

方法解析：本題主要考察了在極坐標下的弦長問題，解法多樣，涉及知識點廣泛，既考查了極坐標中極徑和極角的幾何意義，又考察了弦長公式，有利于拓寬學生視眼，更有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，其中方法二的使用為舊題新解，通常意義上講，弦長問題的解決可借助聯(lián)立方程組利用弦長公式和求交點坐標來解，這是針對直角坐標中，但對于極坐標下的弦長問題仍然可以借助聯(lián)立方程求交點來解決問題，其中較為難理解的地方是ρ的正負取值和θ的不唯一性。至于方法三主要是“極”化“直”的常規(guī)應用，再利用弦長公式解決問題，方法簡單易理解，本題也有第四種解法，將極坐標方程化為參數(shù)方程聯(lián)立利用弦長公式求解，但是適用性不強，運算繁瑣，故筆者未作解釋[4]。

3 軌跡方程

動點軌跡方程的考查是難度較高的考查，這類方程的的復雜性較高，考查較為全面，靈活性較強。以下給出一道例題，并通過兩種方法解讀這類題的本質(zhì)。

例3[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]

(1)求α的取值范圍；

(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程。

解析：(1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1。

解得k<-1或k>1，

(2)方法一：聯(lián)立直線與圓的參數(shù)方程，求A、B的坐標，利用中點坐標公式求P的軌跡的參數(shù)方程

所以點P的軌跡的參數(shù)方程是

又因為p在直線上，

即為p的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程(也可將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程化為型如方法一的參數(shù)方程)。

方法解析：(Ⅰ)由于直線與圓有兩個交點，設直線的斜率為k構(gòu)建直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑可以確定k的取值范圍，利用斜率與傾斜角的關(guān)系可以求α的取值范圍，(Ⅱ)方法一：聯(lián)立直線與圓的參數(shù)方程，求A、B的坐標，利用中點坐標公式求P的坐標，將坐標點帶回直線方程，以α為參數(shù)求軌跡的參數(shù)方程[6]：聯(lián)立直線與圓的直角坐標方程，求A、B的坐標，利用中方點坐標公式求P的坐標，用參數(shù)k來表示軌跡的參數(shù)方程。也可以利用二次轉(zhuǎn)化，化為形如方法一的參數(shù)方程。

4 結(jié)語

極坐標與參數(shù)方程作為數(shù)學學習階段的重要內(nèi)容，其的重要性不言而喻，它是幾何與代數(shù)之間的紐帶，正是對于極坐標與參數(shù)方程的研究，極大的拓寬了數(shù)學的深度和廣度，為方程和函數(shù)注入了鮮活的生命力，大大簡化了部分函數(shù)問題，也為解決實際問題提供了便利。本文總結(jié)的三種常見考察方式及其多種解決方法，實際點明了極坐標參數(shù)方程與直角坐標方程的聯(lián)系與區(qū)別，而參數(shù)方程的綜合性很強，它實際上為解決曲線與直線問題提供了一種更為便捷的方法，同時體現(xiàn)了多種數(shù)學思想方法。